3.4实数的运算 同步讲义2025-2026学年七年级数学上册浙教版（2024）

第3章 实数 3.4实数的运算 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则，能准确进行运算。​ . 理解实数运算中的运算律，会运用运算律简化运算过程。​ . 学会在实数范围内解决简单的实际运算问题，提升应用能力。 . . . 一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 二：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 注意：0既不是正实数，也不是负实数. 三：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 四：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 五：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 考点一：无理数 1．下列各数：，，，，，，其中无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列实数中，不是无理数的是（  ） A． B． C． D． 3．下列实数中，无理数是（    ） A．2 B． C． D． 4．在下列各数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 考点二：无理数的大小估算 5．实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则大正方形的边长在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．下列实数中，最大的数是（　　） A．0 B． C．2 D． 8．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的小数部分是 考点三. 无理数整数部分的有关计算 9．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．若整数是80的算术平方根的整数部分，则（ ） A．9 B．8 C．6 D．2 11．在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 考点四.实数概念理解 13．在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 14．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．下列实数是负数的是（   ） A．7 B．1.9 C． D． 16．下列各数中，负数是（   ） A．2 B． C．0 D． 考点五.实数的分类 17．下列四个数中，属于有理数的是（   ） A． B． C．3.1010010001…（相邻1之间依次多一个0） D． 18．下列实数：．其中无理数是（　　） A． B． C． D． 19．下列实数中属于有理数的是（　　） A． B．2.3 C． D． 20．实数可分为（    ） A．正数和负数 B．整数和分数 C．分数和小数 D．有理数和无理数 考点六.实数的性质 21．的相反数是（    ） A． B． C． D． 22．的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 23．下列各数中，与实数6互为倒数的是（   ） A． B．6 C． D． 24．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 考点七.实数与数轴结合 25．直径为1个单位长度的圆，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点对应的数是（    ） A．3 B．3.14 C． D．3.2 26．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 28．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 考点八.实数的大小比较 29．下列各数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D． 30．下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 31．在，，，0四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 32．下列数字中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 考点九.实数的混合运算 33．如图，数轴上两点对应的实数分别是1和，若点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数为（   ） A． B． C． D． 34．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 35．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 36．如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（  ） A．1 B． C．2 D． 考点十. 实数运算的实际应用 37．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 38．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 39．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 40．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D． 2．在实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．估计的值在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 4．下列各数中，为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 5．如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则大正方形的边长在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 6．在，，，，，中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．利用教材中的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 8．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 9．计算 的结果是（　） A．0 B． C． D．8 2、 填空题 10．如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 11．已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 12．实数的相反数为 ． 14．计算： ． 13．若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 实数 3.4实数的运算 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算规则，能准确进行运算。​ . 理解实数运算中的运算律，会运用运算律简化运算过程。​ . 学会在实数范围内解决简单的实际运算问题，提升应用能力。 . . . 一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 二：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 注意：0既不是正实数，也不是负实数. 三：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 四：实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 五：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 考点一：无理数 1．下列各数：，，，，，，其中无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，根据这个概念逐一判断即可． 【详解】解：其中是无理数的有，，共两个． 故选：A ． 2．下列实数中，不是无理数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，求算术平方根．无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义，判断各选项是否为有理数即可。 【详解】解：A、是无理数，该选项不合题意； B、是无理数，该选项不合题意； C、是无理数，该选项不合题意； D、是整数，属于有理数，该选项符合题意； 故选：D． 3．下列实数中，无理数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像等有这样规律的数． 【详解】解：A、2是整数，属于有理数，故不符合题意； B、，其中是圆周率，为无限不循环小数，属于无理数，除以3后仍为无限不循环小数，因此是无理数，故符合题意； C、是分数，属于有理数，故不符合题意； D、是有限小数，可化为分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：B． 4．在下列各数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是无理数定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是无限不循环小数，不能表示为分数，属于无理数，故本选项符合题意； D、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 考点二：无理数的大小估算 5．实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（   ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示， 故选：C． 6．如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则大正方形的边长在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根以及估算无理数的大小，正方形的性质等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出大正方形的面积可得结论． 【详解】由题意大正方形的面积， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴大正方形的边长在5和6之间． 故选：C． 7．下列实数中，最大的数是（　　） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的大小比较，熟知负数小于0，正数大于0，正数大于负数是解答的关键．比较各选项对应数值的大小，先排除负数和0，再估算平方根的值进行比较。 【详解】解：∵，，，选项A、D不符合题意； ∵，， ∴， ∴是最大的数， 故选：B． 8．关于的叙述错误的是（   ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．的相反数是 D．的小数部分是 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，无理数的估算，实数的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为13的正方形的边长是，正确，不符合题意； B、在数轴上可以找到表示的点，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、∵ ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 考点三. 无理数整数部分的有关计算 9．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 10．若整数是80的算术平方根的整数部分，则（ ） A．9 B．8 C．6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了求无理数的整数部分．找到两个相邻的整数，使其平方分别小于和大于80即可 【详解】解：∵， ∴， 即． ∴的整数部分为8． 因此，整数m的值为8， 故选：B． 11．在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 首先确定和的近似值，再找出两者之间的所有整数即可． 【详解】解：，， 比大的最小整数是，比小的最大整数是， 因此，区间内的整数为，共4个， 故选：C． 12．若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 考点四.实数概念理解 13．在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可得，四个数中，只有是无理数， 故选；D． 14．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 15．下列实数是负数的是（   ） A．7 B．1.9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的意义，利用负数的意义即比0小的数为负数解答即可． 【详解】解：A、7是正数，不符合题意； B、1.9是正数，不符合题意； C、是负数，符合题意； D、是正数，不符合题意． 故选：C． 16．下列各数中，负数是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数，根据实数的分类解答即可． 【详解】解：2，是正数； 0既不是正数也不是负数； 是负数． 故选：B． 考点五.实数的分类 17．下列四个数中，属于有理数的是（   ） A． B． C．3.1010010001…（相邻1之间依次多一个0） D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数和有理数，掌握其定义是解决此题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，进行判断即可． 【详解】A：是圆周率，属于无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； B：是分数，属于有理数，故本选项符合题意； C：3.1010010001…（相邻1之间依次多一个0），属于无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； D：无法化简为整数或分数，属于无理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 18．下列实数：．其中无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念，掌握无理数的概念是解题的关键．根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数即可． 【详解】1. 选项A：， 是无限不循环小数，属于无理数，负数不改变其性质，故是无理数； 2. 选项B：， 分数形式，可化为无限循环小数（），属于有理数； 3. 选项C：， 表示无限循环小数，可写为，属于有理数； 4. 选项D：3.1415926， 该数为有限小数，属于有理数； 综上，只有选项A是无理数； 故选：A． 19．下列实数中属于有理数的是（　　） A． B．2.3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据有理数的定义，能表示为两个整数之比的数（包括有限小数和无限循环小数）即为有理数．对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．：是无理数，除以2后仍为无理数，故A错误． B．2.3：是有限小数，可化为分数，属于有理数，故B正确． C．：5不是立方数，无法表示为整数之比，属于无理数，故C错误． D．：是无理数，其负数仍为无理数，故D错误． 故选B． 20．实数可分为（    ） A．正数和负数 B．整数和分数 C．分数和小数 D．有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，实数可分为正实数和负实数以及0或实数可分为有理数和无理数．熟练掌握实数的分类是解题的关键． 根据实数的定义和分类进行判断． 【详解】解：实数可分为：有理数和无理数， A、B、C均不严谨，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 考点六.实数的性质 21．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 22．的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此，求的相反数只需改变其符号即可． 【详解】解：是一个正数，其相反数是在它前面添加负号，即． 故选：C． 23．下列各数中，与实数6互为倒数的是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数6的倒数为， 故选；A． 24．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类以及性质，根据实数的分类以及性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．实数分为正实数、负实数和零．所以原分类错误，故此选项不符合题意． B．两个无理数的和可能为有理数．例如，与的和为（有理数），所以原说法错误，故此选项不符合题意． C．负数没有最大值．例如，比大，所以原说法错误，故此选项不符合题意． D．根据实数定义，有理数和无理数统称为实数，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 考点七.实数与数轴结合 25．直径为1个单位长度的圆，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点对应的数是（    ） A．3 B．3.14 C． D．3.2 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，计算求出圆的周长，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长， 故点对应的数是， 故选：C． 26．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∵点表示的数为， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：． 27．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较大小是解题的关键．由数轴可得，，，再逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴， 结合选项可知，只有选项D正确． 故选：D． 28．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点表示无理数、无理数估算等知识，根据数轴上的点的位置得到当令点表示的无理数为，则，根据选项中各个无理数，估算其范围即可得到答案．熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，令数轴上的点表示的无理数为，则， A、由可得，则数轴上的点表示的无理数可能是，符合题意； B、由可得，则，故数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； C、由可得，则数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； D、由可知数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意； 故选：A． 考点八.实数的大小比较 29．下列各数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，解题关键是熟练掌握0大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 比较各选项与的大小关系，利用负数绝对值越大数值越小的性质判断． 【详解】解：A：， 故A不符合． B：， 绝对值， 因此， B不符合． C：， 绝对值， 因此， C符合． D：， 故D不符合． 故选：C． 30．下列实数比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，可排除A、B选项，然后比较和与的大小即可． 【详解】解：∵， ∴实数比小的是， 故选：D． 31．在，，，0四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，分别计算各选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，， 而， ∴最大的数是， 故选∶B． 32．下列数字中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较实数的大小，比较各选项的数值大小，确定最大值即可． 【详解】解：为负数，显然最小，，，， ∴最大的数为． 故选：B． 考点九.实数的混合运算 33．如图，数轴上两点对应的实数分别是1和，若点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选：B． 34．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的概念及实数的运算．根据算术平方根、平方根、立方根以及实数的加法逐项分析即可． 【详解】A．符号表示算术平方根，结果非负，故，而非，选项A错误． B．，选项B正确． C．表示正负两个结果，即，但等式右边仅写为2，未包含负值，选项C错误． D．根号表示立方根．若，则需满足，显然不成立，选项D错误． 故选B． 35．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的运算,涉及算术平方根，立方根，实数的性质等，熟练掌握各相关知识是解题的关键； 依据平方根、立方根、实数的运算及绝对值的性质进行判断，逐一分析各选项的运算是否正确，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C． ，故此选项不符合题意； D． ．，故此选项合题意． 故选：D． 36．如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据正方形面积计算公式可得正方形和正方形的边长分别为，1，据此可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1， ∴正方形和正方形的边长分别为，1， ∴， ∴ ， 故选：B． 考点十. 实数运算的实际应用 37．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 38．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、乘方、立方根以及实数运算，掌握相关定义和运算法则是解题关键．根据算术平方根、乘方、立方根以及实数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、和不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 39．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 40．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 一、单选题 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查实数的大小，比较各数的大小，正数大于零，零大于负数，再比较负数的绝对值，绝对值大的负数更小即可 【详解】解：0与均为非负数，一定比负数大， ∵，， ，， ∴， ∴，最小的数是， 故选：D 2．在实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小，常见的无理数的表示方法有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；用特殊规律的数，例如(相邻的两个之间依次增加一个). 【详解】解：是分数，是有理数， 是整数，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是用特殊字母表示的无限不循环小数，是无理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是有限小数，可以转化成分数，是有理数， 共有个无理数． 故选：C． 3．估计的值在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算： 求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间． 根据算术平方根的定义及无理数的估算计算判断即可； 【详解】解：∵，，， ∴， 故选： D． 4．下列各数中，为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，其中初中阶段接触到的无理数有三种形式：带根号且开不尽方的数，以及含的式子，无限不循环小数． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数和分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此可判断得解． 【详解】解：A．是分数，是有理数，不符合题意； B．是一个无限不循环小数，是无理数，符合题意； C．是整数，是有理数，不符合题意； D．是有限小数，是有理数，不符合题意． 故选：B 5．如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则大正方形的边长在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根以及估算无理数的大小，正方形的性质等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出大正方形的面积可得结论． 【详解】由题意大正方形的面积， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴大正方形的边长在5和6之间． 故选：C． 6．在，，，，，中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【详解】解∶ 在，，，，，中，无理数，，，共有3个， 故选∶C． 7．利用教材中的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器—基础知识，直接利用计算器计算即可，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【详解】解：根据按键顺序可得，， 故选：． 8．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 9．计算 的结果是（　） A．0 B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查的是实数的混合运算，掌握乘方的定义、立方根的定义和算术平方根的定义是解决此题的关键． 依次计算各部分的算术平方根、立方根及乘法，再合并结果． 【详解】 故选：B． 2、 填空题 10．如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 11．已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算，算术平方根，实数的混合运算等知识，由无理数的估算方法得，则有，，得到，，然后代入求出，最后通过算术平方根定义求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 12．实数的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的相反数，的相反数是，据此求解． 【详解】实数的相反数为， 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义、绝对值的性质分别化简，再相加减即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值： ． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的含义，实数的混合运算，根据m，n都是无理数，且，结合互为相反数的两数和为0，可得答案. 【详解】解：∵m，n都是无理数，且， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$