2.3 函数奇偶性及应用讲义-2026届高三数学一轮复习

2.3 函数奇偶性 知识梳理 1、 函数的奇偶性的定义与图象特征 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二、函数的奇偶性的判断方法 1.定义法： 若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． 2.图象法： 若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 3.性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。 ①先判断函数的定义域是否关于原点对称 ②再判断f(－x)与f(x)的关系，首先要特别注意f(－x)与f(x)的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式 ③将结果按奇偶函数的定义进行比较，从而确定奇偶性 【考点一 函数奇偶性的判断与证明】典例剖析 【题型一 函数奇偶性的判断与证明（具体函数）】 【总结归纳】判断函数奇偶性的方法 1.定义法 2.图象法 3.性质法 1．（24上海高一下期中）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； 2．（25浙江学业水平测试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【变式】（25内蒙古高二下期末）（多选）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 3．（25海南海口高二下期末）（多选）已知，，则（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C． D． 【变式】（25安徽高二下学业水平测试）已知函数 (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断在定义域内的单调性. 【归纳总结】分段函数奇偶性的判断——定义法 ①先判断函数的定义域是否关于原点对称 ②判断与的关系. 分段去看，如x＜0时，-x＞0，代入到原解析式中x＞0的那一段解析式，看化简后的解析式是否与原来x＜0的那段解析式，满足相等还是相反的关系，从而按奇偶函数的定义去判断。 4．判断下列函数的奇偶性 (1)； (2). 【题型二 函数奇偶性的判断与证明（抽象函数）】 【归纳总结】抽象函数奇偶性的判断与证明 1.关键：通过赋值，构造出含关系的式子 2.常用赋值方法：①出现，一般令y=-x ②出现，一般令y=-1 5．（24云南昭通高一上期中）（多选）函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 【练习】（25山东烟台高二下期末）定义在上的函数满足，，且时，． (1)判断并证明的奇偶性； (2)求关于t的不等式的解集． 6．（25云南昭通高一下期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式】（24安徽亳州高一上期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 7．（24湖南鄂州高一上期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 知识梳理 四、奇函数、偶函数的性质及应用 1.奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）定义域能取到0的奇函数，必有f(0)＝0． （4）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 2． 函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3． 函数的奇偶性与函数值及最值的关系 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【考点二 函数奇偶性的应用】典例剖析 【题型一 根据奇偶性求函数值】 【归纳总结】根据奇偶性求函数值 1. 方法1：先将要求自变量转化到已知区间上，利用解析式求出对于对应函数值，再根据奇偶性求解要求函数值； 2.方法2：先利用奇偶性求出对应范围的解析式，再直接代入求函数值 【注意】有时需要根据解析式特点，构造奇函数或偶函数，以便于求值． 8．（25陕西咸阳高一下期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【变式】（25河南新乡高一下期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（25重庆南开高二下期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型二 利用奇偶性求函数解析式】 【归纳总结】利用奇偶性求函数解析式 1.方程组法：已知两个函数f(x)，g(x)组合运算及它们的奇偶性，→ 把x换为－x，构造方程组求解． 2.定义法：已知一个函数在某区间上的解析式，求其对称区间上的函数的解析式。 →设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 10．（25全国高考二卷）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【练习】（25陕西榆林高二下月考）（多选）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极大值点 D．有5个零点 11．（25山东烟台高二下期末）已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为 ． 【变式】（25广东广州高三下月考）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【题型三 利用奇偶性求参数】 【归纳总结】利用奇偶性求参数 1.参数在定义域，根据定义域对称进行求解 2.参数在解析式 ①先求定义域，若定义含参（容易表示），则转化为定义域含参类型进行求解 ②特殊值法： 1)定义域可以取到0时，可利用进行求解； 2)一般特殊值，取定义域内对称的两个值，根据奇偶关系列出对应式子，进行求解。注意求解后要进行检验 ③通用法：定义法。确保定义域对称的情况下，根据与的关系列式求解 （定义域对称） 12．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【变式】（24河北高三下测试）已知函数为偶函数，则（    ） A． B．1 C．0 D． （奇函数特殊值） 13．（23北京高三下三模）已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式】（25江苏锡山高二下月考）函数是R上的奇函数，则实数a的值为 . （根本定义） 14．（25江西抚州高一下期中）已知函数是偶函数.则的值（   ） A． B． C． D．1 15．（25吉林高二下期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【变式】（25新疆高三下模拟）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【题型四 奇偶性、单调性综合解不等式】 16．（25陕西榆林高二下月考）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25福建高二下期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【练习】（吉林长春高二下期末）已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（25湖南怀化高一下期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25云南保山高一下期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 19．（24广东汕头高一上期中）（多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【变式】（25江西宜春高二下期末）若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 函数奇偶性 知识梳理 1、 函数的奇偶性的定义与图象特征 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2、 函数的奇偶性的判断方法 1.定义法： 若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． 2.图象法： 若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． 3.性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。 ①先判断函数的定义域是否关于原点对称 ②再判断f(－x)与f(x)的关系，首先要特别注意f(－x)与f(x)的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式 ③将结果按奇偶函数的定义进行比较，从而确定奇偶性 【考点一 函数奇偶性的判断与证明】典例剖析 【题型一 函数奇偶性的判断与证明（具体函数）】 【总结归纳】判断函数奇偶性的方法 1.定义法 2.图象法 3.性质法 1．（24上海高一下期中）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 (4)奇函数 (5)偶函数 【分析】先求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （5）定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数. 2．（25浙江学业水平测试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案. 【详解】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 【变式】（25内蒙古高二下期末）（多选）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由， 定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 3．（25海南海口高二下期末）（多选）已知，，则（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性，单调性概念判断AB，代式计算可判断CD. 【详解】对A，函数得定义域为，，所以为偶函数，正确； 对B，函数得定义域为，为增函数，为减函数，所以是增函数，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：ACD 【变式】（25安徽高二下学业水平测试）已知函数 (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断在定义域内的单调性. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析 【分析】（1）求出定义域，定义域关于原点对称，并得到，得到结论； （2）化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）奇函数，理由如下： 的定义域为R， 且， 故为奇函数； （2）单调递增，理由如下： ， 取任意的， 则， 因为，在R上单调递增，所以， 又， 故，， 所以在R上单调递增. 【归纳总结】分段函数奇偶性的判断——定义法 ①先判断函数的定义域是否关于原点对称 ②判断与的关系. 分段去看，如x＜0时，-x＞0，代入到原解析式中x＞0的那一段解析式，看化简后的解析式是否与原来x＜0的那段解析式，满足相等还是相反的关系，从而按奇偶函数的定义去判断。 4．判断下列函数的奇偶性 (1)； (2). 【答案】(1)是偶函数 (2)是奇函数 【分析】（1）（2）利用奇偶函数的定义，结合的解析式即可判断. 【详解】（1）对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，， 则， 当时，， 则， 综上，对于任意，都有， 所以是偶函数. （2）对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，满足， 综上所述，对于任意，都有， 所以为奇函数. 【题型二 函数奇偶性的判断与证明（抽象函数）】 【归纳总结】抽象函数奇偶性的判断与证明 1.关键：通过赋值，构造出含关系的式子 2.常用赋值方法：①出现，一般令y=-x ②出现，一般令y=-1 5．（24云南昭通高一上期中）（多选）函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】令，求出，再令，即可判断A；令，，且，根据定义法即可判断B；根据函数的单调性求出函数的最值，即可判断C；根据函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】对于A，取，则，解得， 令，则，即，且函数定义域是， 所以函数是奇函数，故A错误； 对于B，令，，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故B正确； 对于C，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故C错误； 对于D，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 【练习】（25山东烟台高二下期末）定义在上的函数满足，，且时，． (1)判断并证明的奇偶性； (2)求关于t的不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法整理化简等式，根据奇偶函数的定义，可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，根据单调性以及题意化简不等式，可得答案. 【详解】（1）令，可得，所以． 令，可得，所以． 又的定义域为，图象关于原点对称，故为奇函数． （2）任取，，且，则， 于是， 因为，所以，由题意， 又为奇函数，所以， 所以，即，在上单调递减． 因为为奇函数，所以在单调递减，所以在上单调递减． 由，可知． 所以不等式， 等价于， 所以，解得．所以，原不等式的解集为． 6．（25云南昭通高一下期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式】（24安徽亳州高一上期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 7．（24湖南鄂州高一上期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； （3）由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 知识梳理 四、奇函数、偶函数的性质及应用 1.奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）定义域能取到0的奇函数，必有f(0)＝0． （4）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 2． 函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3． 函数的奇偶性与函数值及最值的关系 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【考点二 函数奇偶性的应用】典例剖析 【题型一 根据奇偶性求函数值】 【归纳总结】根据奇偶性求函数值 1. 方法1：先将要求自变量转化到已知区间上，利用解析式求出对于对应函数值，再根据奇偶性求解要求函数值； 2.方法2：先利用奇偶性求出对应范围的解析式，再直接代入求函数值 【注意】有时需要根据解析式特点，构造奇函数或偶函数，以便于求值． 8．（25陕西咸阳高一下期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】偶函数满足 对所有定义域内的 成立，因此，求等价于求，因为 . 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以. 当，. 所以. 故选：B. 【变式】（25河南新乡高一下期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数，得到，代入求解即可. 【详解】由题意得， 所以． 故选：A 9．（25重庆南开高二下期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】在原函数的基础上，构造一个函数，通过构造函数的奇偶性说明最值之间的关系，进而求出原函数的最值之间的关系. 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. 【题型二 利用奇偶性求函数解析式】 【归纳总结】利用奇偶性求函数解析式 1.方程组法：已知两个函数f(x)，g(x)组合运算及它们的奇偶性，→ 把x换为－x，构造方程组求解． 2.定义法：已知一个函数在某区间上的解析式，求其对称区间上的函数的解析式。 →设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 10．（25全国高考二卷）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 【练习】（25陕西榆林高二下月考）（多选）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极大值点 D．有5个零点 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性求解析式，结合导数探究函数的极值与零点问题， 【详解】A选项：因为是定义在上的奇函数，所以，A选项正确； B选项：当时，，选项错误； C选项：解法1：当时，， 在上，，单调递增； 在上，，单调递减． 因此是的极大值点，C选项正确； 解法2：当时，， 在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 因此是的极小值点，图象如图所示．    又是定义在上的奇函数，故是的极大值点，C选项正确； D选项：，由图可知，有5个零点，D选项正确． 故选：ACD． 11．（25山东烟台高二下期末）已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数奇偶性得，再结合题设求出函数解析式结合指数、对数运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 【变式】（25广东广州高三下月考）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 【题型三 利用奇偶性求参数】 【归纳总结】利用奇偶性求参数 1.参数在定义域，根据定义域对称进行求解 2.参数在解析式 ①先求定义域，若定义含参（容易表示），则转化为定义域含参类型进行求解 ②特殊值法： 1)定义域可以取到0时，可利用进行求解； 2)一般特殊值，取定义域内对称的两个值，根据奇偶关系列出对应式子，进行求解。注意求解后要进行检验 ③通用法：定义法。确保定义域对称的情况下，根据与的关系列式求解 （定义域对称） 12．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 【变式】（24河北高三下测试）已知函数为偶函数，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，化简可得恒成立，可得的值. 【详解】根据题意，函数为偶函数，所以， 即， 也就是， 因为不恒为0， 所以恒成立， 即恒成立，则. 故选：B （奇函数特殊值） 13．（23北京高三下三模）已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求参数关系，结合充分、必要性的定义即可得. 【详解】若为奇函数，则， 所以，即恒成立， 所以. 综上，“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 【变式】（25江苏锡山高二下月考）函数是R上的奇函数，则实数a的值为 . 【答案】 【来源】江苏省锡山高级中学锡西分校 2024-2025学年高二下学期5月阶段性练习数学试题 【分析】根据奇函数的性质列方程，解方程求得的值，并检验；根据在区间上的单调性求得其最大值，根据分段函数的性质，求得在区间上的最小值，由此求得关于m的不等式，进而求得m的取值范围. 【详解】因为是R上的奇函数，所以， 即，解得，此时， 此时， 为奇函数，符合题意； 又奇函数，所以在上是减函数， 则在上的最大值为， 又，所以在上是增函数，在上是减函数， 则的最小值为和中的较小的一个. 因为，， 所以. 因为对恒成立，所以. 解得. 故的取值范围为. （根本定义） 14．（25江西抚州高一下期中）已知函数是偶函数.则的值（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数定义以及指数、对数运算法则计算可得结果. 【详解】因为为偶函数，所以； 易知； 即可得，因此， 即. 故选：B 15．（25吉林高二下期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 【变式】（25新疆高三下模拟）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 【题型四 奇偶性、单调性综合解不等式】 16．（25陕西榆林高二下月考）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 17．（25福建高二下期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原函数构造成奇函数部分与常数项，即，其中为奇函数，求导证明在上单调递增.利用奇函数性质将不等式转化成，再利用函数单调性转化为代数不等式，从而求解. 【详解】令，，，即为奇函数. 求导得：，根据均值不等式，且，故，当且仅当时，.故在上单调递增. 原不等式改写为，根据奇函数性质， 因为单调递增，所以，即 解不等式得： 故选：A. 【练习】（吉林长春高二下期末）已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，再由对数函数、复合函数的单调性判断函数的单调性，最后应用奇函数、单调性解不等式即可. 【详解】由题设，定义域为R， 所以，故在R上为奇函数， 根据复合函数的单调性，知在上单调递减，且在R上连续， 所以在R上单调递减， 由题设，即， 所以不等式解集为. 故选：B 18．（25湖南怀化高一下期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】由于，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 【变式】（25云南保山高一下期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】变形得到，得到是偶函数，且由定义法和复合函数单调性满足同增异减，得到在上单调递增，从而得到，求出解集. 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 19．（24广东汕头高一上期中）（多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可. 【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当 时，，当 时，， 当 时，，当 时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则 ，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 【变式】（25江西宜春高二下期末）若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围. 【详解】因为对，且有，所以在上单调递减， 因为是奇函数，所以在上也单调递减，且， 所以当时，，当时，，当时，， ①当时，要使得，则要求，所以，解得； ②当时，符合； ③当时，要使得，则要求，所以，解得； 综上，x的取值范围是， 故选：B. 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$