2026届高三数学一轮复习优生加练12：对数与对数函数

第12练　对数与对数函数 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.(2024·丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)等于(　　) A.-2 B. C. D.1 答案　B 解析　由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=log23,b=log35,c=log54, 所以abc=log23×log35×log54=××=2,则log4(abc)=log42=. 2.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在上单调递减 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是奇函数,且在上单调递减 答案　D 解析　由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|, 得f(x)的定义域为关于坐标原点对称, 又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x), ∴f(x)为定义域上的奇函数,故排除A,C； 当x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x), ∵y=ln(2x+1)在上单调递增,y=ln(1-2x)在上单调递减, ∴f(x)在上单调递增,故排除B； 当x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln ∵u=1+在上单调递减,f(u)=ln u在(0,+∞)上单调递增, 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减,故D正确. 3.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)=若x1,x2,x3,x4是方程f(x)=t的四个互不相等的实数根,则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f(x)的图象如图所示,设x1<x2<x3<x4, 结合图象可得x1<-1<x2<0,且x3+x4=6,0<t≤2, 而|log2(-x1)|==t,故x2=-2-t,x1=-2t, 故x1+x2+x3+x4=6-0<t≤2, 设s=2t∈(1,4],而y=s+在(1,4]上单调递增,所以2<s+≤ 故≤x1+x2+x3+x4<4. 二、多项选择题(共6分) 4.已知2a=5b=10,则下列关系正确的是(　　) A.ea-b>1 B.a+b<ab C.a+4b<9 D.+>8 答案　AD 解析　因为2a=5b=10, 所以a=log210=b=log510= 对于A,a-b=-=>0,所以ea-b>e0=1,故A正确； 对于B,a+b-ab=+-===0, 所以a+b=ab,故B不正确； 对于C,因为a>0,b>0+=lg 2+lg 5=1, 所以a+4b=(a+4b)=++5≥2+5=9, 而a≠2b,故上述不等式等号不成立,则a+4b>9,故C不正确； 对于D+=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1-lg 2+2)2 =2(lg 2)2-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8,故D正确. 三、填空题(共5分) 5.(2024·保定模拟)已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为　　　　　　.  答案　[-4,4] 解析　令g(x)=x2-ax+3a, ∵f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在(2,+∞)上单调递减, ∴g(x)在(2,+∞)上单调递增,且恒大于0, ∴≤2且g(2)≥0, ∴-4≤a≤4. 四、解答题(共14分) 6.(14分)(2025·上海模拟)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设g(x)=f(4x). (1)当a=1时,解不等式f(x)<-1；(5分) (2)对任意的x∈(0,2),函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的下方,求a的取值范围.(9分) 解　(1)由f(x)<-1,a=1,得log2(x+1)<-1=log2 则0<x+1<得-1<x<-即不等式的解集为. (2)g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0), 因为对任意的x∈(0,2),函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)图象的下方, 则f(x)<g(x)在(0,2)上恒成立, 即log2(x+a)<log2(4x+a)(a>0)在(0,2)上恒成立,2log2(x+a)<log2(4x+a), log2(x+a)2<log2(4x+a),(x+a)2<4x+a在(0,2)上恒成立, 整理得x2+2(a-2)x+a2-a<0在(0,2)上恒成立, 设m(x)=x2+2(a-2)x+a2-a,x∈(0,2), 则只需要即可,可得0≤a≤1, 又因为a>0, 所以0<a≤1,所以a的取值范围为(0,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12练　对数与对数函数 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.(2024·丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)等于(　　) A.-2 B. C. D.1 2.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在上单调递减 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是奇函数,且在上单调递减 3.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)=若x1,x2,x3,x4是方程f(x)=t的四个互不相等的实数根,则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(共6分) 4.已知2a=5b=10,则下列关系正确的是(　　) A.ea-b>1 B.a+b<ab C.a+4b<9 D.+>8 三、填空题(共5分) 5.(2024·保定模拟)已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为　　　　　　.  四、解答题(共14分) 6.(14分)(2025·上海模拟)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),设g(x)=f(4x). (1)当a=1时,解不等式f(x)<-1；(5分) (2)对任意的x∈(0,2),函数y=f(x)的图象总在函数y=g(x)的图象的下方,求a的取值范围.(9分) (2)g(x)=f(4x)=log2(4x+a)(a>0), 学科网（北京）股份有限公司 $$