2026届高三数学一轮复习优生加练8：函数的周期性与对称性

第8练　函数的周期性与对称性 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.(2025·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)等于(　　) A.1 B.2 C.- D.-2 2.(2024·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减,设a=f(2),b=fc=f(-1),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 3.(2024·宜春模拟)函数f(x)=ex+4-e-x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　) A.直线x=-e对称 B.点(-e,0)对称 C.直线x=-2对称 D.点(-2,0)对称 4.(2025·贵阳模拟)已知函数f(x-1)(x∈R)是偶函数,且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,当x∈[-1,1]时,f(x)=x-1,则f(2 025)等于(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)等于(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 6.(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)等于(　　) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 7.(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈(2,3)时,f(x)=|2x-5|,则下列结论正确的有(　　) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增 C.f(1)=0 D.f(2 025.5)=0 8.(2025·泉州模拟)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.现已知函数f(x)=ax++a,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x+1)-2a为奇函数 B.当a>0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增 C.若方程f(x)=0有实根,则a∈(-∞,0)∪[1,+∞) D.已知定义域为R的函数g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,若a=且f(x)与g(x)的图象共有2 026个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 026),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)的值为4 052 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(1-x)=f(x),且f(x)在上单调递减,则关于x的不等式f(x+1)>f(2-3x)的解集为　　　　　　　.  10.(2024·广安模拟)已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数,当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x,g(x)=f(x)+f(x+1),则g(x)的最大值为　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8练　函数的周期性与对称性 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.(2025·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)等于(　　) A.1 B.2 C.- D.-2 答案　B 解析　因为f(x+2)=- 所以f(x+4)=- =-=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log33=2. 2.(2024·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减,设a=f(2),b=fc=f(-1),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 答案　D 解析　由f(2-x)=f(x),可知f(x)关于直线x=1对称,所以a=f(2)=f(0), 又因为f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,1]上单调递增, 所以f(-1)<f(0)<f即c<a<b. 3.(2024·宜春模拟)函数f(x)=ex+4-e-x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　) A.直线x=-e对称 B.点(-e,0)对称 C.直线x=-2对称 D.点(-2,0)对称 答案　D 解析　由题意f(-2e-x)=e-x-2e+4-e-(-2e-x)=e-x-2e+4-e2e+x,它与f(x)之间没有恒等关系,相加也不为0,A,B均错, 而f(-4-x)=e-4-x+4-e-(-4-x)=e-x-e4+x=-f(x),所以f(x)的图象关于点(-2,0)对称. 4.(2025·贵阳模拟)已知函数f(x-1)(x∈R)是偶函数,且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,当x∈[-1,1]时,f(x)=x-1,则f(2 025)等于(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 答案　C 解析　根据题意,函数f(x-1)是偶函数, 则函数f(x)的对称轴为x=-1,则f(x)=f(-2-x). 又由函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称, 则有f(x)=-f(2-x), 所以f(-2-x)=-f(2-x),则f(x+4)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 则函数f(x)是周期为8的周期函数, 所以f(2 025)=f(253×8+1)=f(1)=0. 5.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)等于(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 答案　A 解析　因为f(1)=1, 所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中, 令y=1, 得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1), 所以f(x+1)+f(x-1)=f(x), ① 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1). ② 由①②相加,得f(x+2)+f(x-1)=0, 故f(x+3)+f(x)=0, 所以f(x+3)=-f(x), 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x), 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中, 令y=0,得f(x)+f(x)=f(x)f(0), 所以f(0)=2. 令x=y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1), 所以f(2)=-1. 由f(x+3)=-f(x), 得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1, f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2, 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0, 根据函数的周期性知f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3,故选A. 6.(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)等于(　　) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 答案　D 解析　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称, 可得g(2+x)=g(2-x). 在f(x)+g(2-x)=5中,用-x替换x, 可得f(-x)+g(2+x)=5, 可得f(-x)=f(x). 在g(x)-f(x-4)=7中,用2-x替换x,得g(2-x)=f(-x-2)+7, 代入f(x)+g(2-x)=5中, 得f(x)+f(-x-2)=-2, 可得f(x)+f(x+2)=-2, 所以f(x+2)+f(x+4)=-2, 所以f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5, 又g(2)=4,所以可得f(0)=1, 又f(x)+f(x+2)=-2, 所以f(0)+f(2)=-2, f(-1)+f(1)=-2, 得f(2)=-3,f(1)=f(-1)=-1, 又f(3)=f(-1)=-1,f(4)=f(0)=1, 所以f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选D. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 7.(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈(2,3)时,f(x)=|2x-5|,则下列结论正确的有(　　) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增 C.f(1)=0 D.f(2 025.5)=0 答案　ACD 解析　因为函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 故函数f(x)是周期函数,周期为2,故A选项正确； 由奇函数性质得,函数f(x)在区间(-1,0)与(0,1)上的单调性相同,由函数的周期性得函数f(x)在(0,1)上的单调性与在(2,3)上的单调性相同,因为当x∈(2,3)时,f(x)=|2x-5|=易知f(x)在(2,3)上不单调,故B选项错误； 由函数f(x)在R上是奇函数,则f(1)=-f(0)=0,故C选项正确； 由函数的周期性得,f(2 025.5)=f(1.5)=-f(0.5)=-f(0.5+2)=-f(2.5)=0,故D选项正确. 8.(2025·泉州模拟)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.现已知函数f(x)=ax++a,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x+1)-2a为奇函数 B.当a>0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增 C.若方程f(x)=0有实根,则a∈(-∞,0)∪[1,+∞) D.已知定义域为R的函数g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,若a=且f(x)与g(x)的图象共有2 026个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 026),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)的值为4 052 答案　ACD 解析　对于A,因为f(x+1)-2a=a(x+1)++a-2a=ax+所以y=ax+是奇函数,故A正确； 对于B,因为f =a+2,f(2)=3a+1,所以f -f(2)=1-当0<a<2时,f(x)在(1,+∞)上不单调递增,故B错误； 对于C,令f(x)=ax++a=0,显然x≠-1,所以a=因为1-x2∈(-∞,0)∪(0,1],所以∈(-∞,0)∪[1,+∞),故C正确； 对于D,由A可知,当a=时,f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,且g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,所以这2 026个交点关于点(1,1)对称,故(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)=(x1+x2+…+x2 026)+(y1+y2+…+y2 026)=2 026+2 026=4 052,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(1-x)=f(x),且f(x)在上单调递减,则关于x的不等式f(x+1)>f(2-3x)的解集为　　　　　　　.  答案　∪(1,+∞) 解析　因为f(1-x)=f(x), f=f =f 所以函数f(x)的图象关于直线x=对称, 又f(x)在上单调递减, 所以f(x)在上单调递增,作出f(x)的大致图象,如图, 结合草图可知,要使f(x+1)>f(2-3x),则(x+1)到的距离小于(2-3x)到的距离,故不等式f(x+1)>f(2-3x), 等价于<两边同时平方后整理得4x2-5x+1>0,解得x>1或x<. 10.(2024·广安模拟)已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数,当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x,g(x)=f(x)+f(x+1),则g(x)的最大值为　　　　　.  答案　 解析　因为y=f(x)是周期为4的函数,故y=f(x+1)也是周期为4的函数, 当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x, 所以当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],故f(-x)=-f(x)=-(-x)2-2x, 所以当x∈[-2,0]时,f(x)=x2+2x, 当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],f(x-4)=f(x)=(x-4)2+2(x-4), 所以当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8, 则当x∈[-2,-1)时,x+1∈[-1,0), g(x)=f(x)+f(x+1)=x2+2x+(x+1)2+2(x+1)=2x2+6x+3, 当x∈[-1,0)时,x+1∈[0,1),g(x)=f(x)+f(x+1)=x2+2x+[-(x+1)2+2(x+1)]=2x+1, 当x∈[0,1)时,x+1∈[1,2),g(x)=f(x)+f(x+1)=-x2+2x-(x+1)2+2(x+1)=-2x2+2x+1, 当x∈[1,2]时,x+1∈[2,3],g(x)=f(x)+f(x+1)=-x2+2x+(x+1)2-6(x+1)+8=-2x+3, 所以g(x)= 易知,g(x)也是周期为4的周期函数,在x=处有最大值, 故g(x)max=g=. 学科网（北京）股份有限公司 $$