2026届高三数学一轮复习优生加练10：二次函数与幂函数

第10练　二次函数与幂函数 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.(2024·郴州模拟)“(a+1<(2-a”是“-2<a<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025·山东青岛二中模拟)“a≤3”是“函数f(x)=在区间[2,+∞)上单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0),实数m满足f(m)<0,则下列关系一定成立的是(　　) A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0 C.f(m-1)<0 D.f(m-2)<0 二、多项选择题(共6分) 4.(2024·福州模拟)关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有(　　) A.存在实数k,使得方程无实数根 B.存在实数k,使得方程恰有2个不相等的实数根 C.存在实数k,使得方程恰有3个不相等的实数根 D.存在实数k,使得方程恰有4个不相等的实数根 三、填空题(共5分) 5.(2025·乐山模拟)幂函数y=xm(m≠0),当m取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA,则αβ=　　　　. 四、解答题(共14分) 6.(14分)(2024·丰台模拟)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)若f(x)在区间[2a,2a+1]上不单调,求实数a的取值范围；(3分) (3)当x∈时,f(x)>4mx+1恒成立,求实数m的取值范围.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10练　二次函数与幂函数 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.(2024·郴州模拟)“(a+1<(2-a”是“-2<a<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为y=是定义在[0,+∞)上的增函数,又(a+1<(2-a 所以解得-1≤a< 因为由-1≤a<可推出-2<a<而由-2<a<无法推出-1≤a< 故“(a+1<(2-a”是“-2<a<”的充分不必要条件. 2.(2025·山东青岛二中模拟)“a≤3”是“函数f(x)=在区间[2,+∞)上单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由函数f(x)=在区间[2,+∞)上单调递增,得解得a≤ 显然a≤能推出a≤3,反之,a≤3不能推出a≤ 所以“a≤3”是“函数f(x)=在区间[2,+∞)上单调递增”的必要不充分条件. 3.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0),实数m满足f(m)<0,则下列关系一定成立的是(　　) A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0 C.f(m-1)<0 D.f(m-2)<0 答案　B 解析　函数f(x)=x2-2x+a在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. f(m)=m2-2m+a<0, 故m2-2m<-a<0,解得0<m<2. m+2∈(2,4),f(m+2)>f(2)=a>0,B正确； m-2∈(-2,0),f(m-2)>f(0)=a>0,D错误； 取a=m=f(m)=-<0,满足条件, f(m+1)=f=-<0,A错误； f(m-1)=f =>0,C错误. 二、多项选择题(共6分) 4.(2024·福州模拟)关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有(　　) A.存在实数k,使得方程无实数根 B.存在实数k,使得方程恰有2个不相等的实数根 C.存在实数k,使得方程恰有3个不相等的实数根 D.存在实数k,使得方程恰有4个不相等的实数根 答案　AB 解析　设t=x2-2x,方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0(*).当k>1时,方程(*)无实数根,故原方程无实数根. 当k=1时,可得t=-1,则x2-2x=-1,原方程有2个相等的实数根x=1. 当k<1时,方程(*)有2个实数根t1,t2(t1<t2),由t1+t2=-2可知,t1<-1,t2>-1. 因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x2-2x=t1无实数根,x2-2x=t2有2个不相等的实数根. 综上,A,B项正确,C,D项错误. 三、填空题(共5分) 5.(2025·乐山模拟)幂函数y=xm(m≠0),当m取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA,则αβ=　　　　. 答案　1 解析　因为A(1,0),B(0,1),BM=MN=NA, 所以MN 不妨设y=xα,y=xβ分别过M N 则== 则=== 所以αβ=1. 四、解答题(共14分) 6.(14分)(2024·丰台模拟)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)若f(x)在区间[2a,2a+1]上不单调,求实数a的取值范围；(3分) (3)当x∈时,f(x)>4mx+1恒成立,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)根据题意,二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3,可得函数f(x)的对称轴为x=1, 又函数f(x)的最小值为1,可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0), 又因为f(0)=3,可得f(0)=a+1=3,解得a=2, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)由函数f(x)=2(x-1)2+1,其对称轴为x=1, 要使得函数f(x)在区间[2a,2a+1]上不单调, 则满足2a<1<2a+1,解得0<a< 故实数a的取值范围为. (3)由函数f(x)=2x2-4x+3, 若在上,f(x)>4mx+1恒成立, 则2x2-4x+3>4mx+1在上恒成立, 即x2-2(1+m)x+1>0在上恒成立, 设g(x)=x2-2(m+1)x+1,则g(x)的图象开口向上,对称轴为x=m+1, 又g(x)>0在上恒成立,即g(x)min>0, 当m+1≤-即m≤-时,g(x)在上单调递增, 则g(x)min=g=-2(m+1)×+1>0,解得m>-则-<m≤-； 当-<m+1<2,即-<m<1时, g(x)min=g(m+1)=(m+1)2-2(m+1)2+1>0,解得-2<m<0,则-<m<0； 当m+1≥2,即m≥1时,g(x)在上单调递减, g(x)min=g(2)=22-2(m+1)×2+1>0,解得m<(舍去), 综上,实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$