素养提升小题训练一：三角函数、三角恒等变换-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题训练一：三角函数、三角恒等变换 （高考卷第8或11或14题位置） 一、单选题 1．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ） A. B. C. D. 3．已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（    ） A．466 B．467 C．932 D．933 4. 若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 5.设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ） A. 不可能有无数个元素 B. 当且仅当时，只有1个元素 C. 当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D. 当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 二、多选题 6．已知，则下列说法正确的是（） A．在区间上单调递增 B．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称 C．若是偶函数，则 D．若在区间上恰有3个零点，则 7.已知函数，其中.对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（       ） A．函数的最小正周期小于 B．函数在内不一定取到最大值 C． D．函数在内一定会取到最小值 8.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则（ ） A.的最小正周期为 B. C.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为 D.若函数，则在上有6个零点 9.如图，已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若|OB|＝7|OA|，0＜|AB|＜，且tan∠ACB＝，则下列说法正确的是( ) A．f(x)的最小正周期为4 B．将f(x)的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称 C．f(x)在区间(－1，1)上的值域为 D．f(x)在区间(6，7)上单调递增 10．已知函数在区间上单调，对，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若函数在区间上单调，则 B．若函数在上恰存在个极值点，则 C．函数在上有四个零点，则 D．若，，则 3、 填空题 11．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为　　． 12．如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 .（从中选择，写出所有满足要求的点） 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题训练一：三角函数、三角恒等变换 （高考卷第8或11或14题位置） 一、单选题 1．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意则得 ，即，所以,；设，因为， 所以,，解得,；因此；,，可得，结合图象可得，解得. 2.已知函数的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C ，， 由题意得直线过定点，且斜率，如图，由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，∴，则切线方程过点， ∴， 即，， ∴. 3．已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（    ） A．466 B．467 C．932 D．933 【答案】B 【解析】方法一：由题意，函数，可得函数的周期为， 因为，可得， 又由函数在区间上有且仅有一个零点， 且满足，且，可得， 即，且， 当时，，解得，所以；当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 所以，得， ，则，解得， 令，则有， 解得，即， 因为，所以共有467个零点. 方法二：由题意，函数，可得函数的周期为， 因为，可设，则， 又函数在区间上有且仅有一个零点， 可得，所以，则由图象性质， 可知，得，即. 或者，得，即. 所以最大为，得. ，则，解得. 令，则有：， 解得：，即， 因为，所以共有467个零点. 故选：B. 4. 若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．的对称轴方程为（） C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2） D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则 【答案】B 【详解】，. ，. 对于A，， 为的周期，A错误； 对于B，的对称轴方程为. （）.即（）.B正确. 对于C，对，有，∵在上单调递增，，（，2），等价于有两个解，当时，，显然无解， 不妨设，画出在的图象，如图所示： . 或.无解.故C错误； 对于D，的根为与交点横坐标.，有奇数个交点，， 且，，，，， ，，，， D错误. 故选：B. 5.设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ） A. 不可能有无数个元素 B. 当且仅当时，只有1个元素 C. 当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 D. 当时，最多有个元素，且这个元素的和为0 【答案】D 【解析】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误； 选项，取，即，则，只有一个元素，故错误； 选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误； 选项，当时,，，， ，，，，所以最多有个元素，又因为正弦函数的周期为，数列的公差为，所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确.故选:. 二、多选题 6．已知，则下列说法正确的是（） A．在区间上单调递增 B．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称 C．若是偶函数，则 D．若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】对于A：时，，此时单调递增，故A正确； 对于B：曲线的解析式为，显然不关于原点对称，故B错误； 对于C：为偶函数， 则，解得，故C正确； 对于D：，当，， 所以在区间上恰有3个零点，等价于在上恰有3个零点， 所以，解得，故D正确. 故选ACD. 7.已知函数，其中.对于任意的，函数在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（       ） A．函数的最小正周期小于 B．函数在内不一定取到最大值 C． D．函数在内一定会取到最小值 【答案】AD 【解析】由题意可知，，即A正确； 因为，所以，则当时，，又，，所以函数在上一定有最大值点，即B错误； 由题意可知，任意，总存在，使得： ，故， 整理得，可得，，即C错误； 当时，，又因为，，故， 所以函数在上一定有最小值点，即D正确.故选：AD. 8.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则（ ） A.的最小正周期为 B. C.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为 D.若函数，则在上有6个零点 【答案】ACD 【解析】依题意，，故A正确； ，故，，记，则， 故，则①. 而②，联立①②可得，故B错误； ，故当时，，，故，C正确； ，在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，观察可知，它们在上有6个交点，即在上有6个零点，故D正确.故选ACD. 9.如图，已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若|OB|＝7|OA|，0＜|AB|＜，且tan∠ACB＝，则下列说法正确的是( ) A．f(x)的最小正周期为4 B．将f(x)的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称 C．f(x)在区间(－1，1)上的值域为 D．f(x)在区间(6，7)上单调递增 【答案】AC 【解析】由图像可知，A＝2，设OC＝n，OA＝m，所以tan∠ACB＝tan(∠OCB－∠OCA)＝＝＝，解得(3OC－7OA)(OC－3OA)＝0，则n＝或n＝3m，则点由A(m，0)，可得2sin(mω＋φ)＝0，即mω＋φ＝kπ，k∈Z，又因为|AB|＝6m＝，所以mω＝，则φ＝kπ－，k∈Z，因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－，所以y＝f(x)＝2sin(ωx－)，则n＝f(0)＝1，则m＝或m＝，当m＝时，|AB|＝6m＝＞，所以舍去，则m＝，则ω＝＝，则f(x)＝2sin(x－)，对于选项A，其最小正周期T＝＝4，所以选项A正确；对于选项B，f(x)的图象向左平移个单位后为2sin[(x＋)－]＝2sin(x＋－)不关于原点对称，所以选项B错误；对于选项C，x∈(－1，1)时，则x－∈(－，)，所以2sin(x－)∈，所以选项C正确；对于选项D，x∈(6，7)时，x－∈(，)，此区间有增有减，所以选项D错误；综上，答案选AC. 10．已知函数在区间上单调，对，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若函数在区间上单调，则 B．若函数在上恰存在个极值点，则 C．函数在上有四个零点，则 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】由于，则关于对称，又，故是的最小值点，结合在区间上单调，因此和是相邻的对称中心和对称轴，故,则， ,故， 由于，故，故， 对于A，，当，则， 若函数在区间上单调，则，解得，则，A正确， 如图：作出函数的图象如下： 函数在上恰存在个极值点，则，故B错误， 令，则，故的图象与有四个交点，如图， 则关于对称，关于，故，则，故C正确， 如图，作出与的交点，可知：， ，，则 结合，则，故 ， 则 结合，则，故， ， ， 故，D正确，故选：ACD 3、 填空题 11．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为　　． 解：的最大值为，，，即， ，， 当时，则，设， 在上单调递增，且，， 由函数零点存在定理可得，存在唯一实数使， 当，即，，满足题意， 综上所述，正实数的取值个数最多为2个，故答案为2． 12．如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 .（从中选择，写出所有满足要求的点） 【答案】 【解析】，所以终边经过则 角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则， 所以 ，即或 即或 经过点 故答案为：；. 试卷第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$