9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 2024—2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A. B. C.4 D.2 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 5.如图，∠BOD＝60°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB＝3，连接AC，BD交于点E，连接OE．则OE＝　　． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E． （1）求对角线AC的长． （2）求∠AOE的度数． 7.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 二、利用直角判定矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠A+∠B＝180° B.∠B+∠C＝180° C.∠A＝∠B D.∠B＝∠D 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 3.检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（　　） A.测量两条对角线是否相等 B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 C.测量两条对角线是否互相平分 D.测量门框的三个角是否都是直角 4.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　　时，活动框架是矩形． 5.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 6.如图，平行四边形ABCD中，F、E分别是AB、CD的中点． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）连接BD，当AD与BD满足条件 　　　　　时，四边形BEDF是矩形． 7.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是 　　（填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 三、利用对角线判定矩形 1.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D.OA＝OB＝OC＝OD 2.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 3.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 4.工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　　　　　　　　　　　． 5.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为 　　． 6.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形． 7.如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AC＝DF； （2）若AB＝AF，求证：四边形ACFD为矩形． 四、矩形的判定与性质的综合应用 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A.∠BAD＝90° B.∠BAD＝∠ABC C.∠BAO＝∠OBA D.∠BOA＝90° 2.在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD 3.对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 4.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中一定正确的有 　　　　　　　　 5.如图，矩形ABCD中，CD＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 　　　　　　　　　　　． 6.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AD＝2，∠CAB＝30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长． 五、平行线间的距离 1.如图，已知直线m∥n，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A.线段AB的长 B.线段AC的长 C.线段AD的长 D.线段DE的长 2.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 3.如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A.向左移动变小 B.向右移动变小 C.始终不变 D.无法确定 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 六、菱形的四条边相等 1.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C.a2 D. 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A. B. C. D. 3.将两个完全相同的菱形按如图所示方式放置，若∠BAD＝x°，则∠BED的度数为（　　） A. B. C. D. 4.如果菱形的高是3 cm，且相邻两个内角的度数之比为1：5，那么这个菱形的边长为　　　cm． 5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　　　． 6.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积． 7.如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF． 七、菱形对角线垂直 1.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　） A.（5，﹣2） B.（2，﹣5） C.（2，5） D.（﹣2，﹣5） 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0） 3.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，则菱形的高为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 4.已知菱形ABCD的边长是 cm，对角线AC＝4 cm，则菱形的面积是_______cm2． 5.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 　　． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 八、利用边判定菱形 1.已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC 2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 4.如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　． 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足AE＝AC＝CF，连接BE、BF、DE、DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠EDC＝90°，则当∠DEA＝　　°时，四边形BEDF是菱形． 九、利用对角线判定菱形 1.下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.AB＝CD D.∠BAD＝∠ADC 2.判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（　　） A.① B.② C.①③ D.②③ 3.如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（　　） ①AC＝BD； ②AC平分∠BAD； ③AB＝BC； ④AC⊥BD. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　，使四边形ABCD成为菱形． 6.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形． 十、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A.4 B.3 C. D.2 2.下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 3.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 下列判断正确的是（　　） A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 4.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 5.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 　　． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 十一、有关正方形边、角的性质 1.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 2.如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，则∠CBE为（　　） A.55° B.60° C.75° D.80° 3.四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（　　） A.点K，F B.点K，E C.点C，F D.点C，E 4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE⊥CF于点G，若BC＝8，AF＝2，则GF的长为 　　． 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　　． 6.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：∠BAF＝∠ADE； （2）求证：DE﹣BF＝EF． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF＝BE，连接AF、EF，若AE＝3，求EF的长． 十二、正方形对角线的性质 1.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在DC上，且EF＝EC，连接AE、AF，若∠ECF＝α，∠DAF＝β，则（　　） A.α+β＝90° B.α﹣β＝45° C.2α+β＝135° D.2β﹣α＝15° 2.如图，E，F分别是正方形的边BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．∠EAF＝45°，则下列结论中一定成立的是（　　） A.BE+DF＝EF B.BE+DF＝AB C.BE+DFAB D.AE+DFAB 3.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点D作DF⊥BD且DF＝BE，连接EF，点G是EF的中点，连接AG、AF．若∠BCE＝α，则∠DAG一定等于（　　） A.α B. C.45°﹣α D.30°﹣α 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 5.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 6.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 7.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 十三、正方形的判定 1.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝90° C.∠ADB＝30° D.AC＝AB 2.学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（　　） A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丁 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形ABCD为正方形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB＝AD C.∠BAO＝∠ABO D.∠BAC＝∠DAC 4.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　　　　　　　　可使菱形ABCD成为正方形． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 7.证明文字命题：对角线互相垂直的矩形是正方形．（画出图形、写出已知、求证与证明） 十四、正方形的性质与判定 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 2.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 3.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 5.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　． 6.如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形． 7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A. B. C.4 D.2 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴BCAB＝2， 故选：B． 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝α， ∴∠CBD＝90°﹣α， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣α， ∴∠E＝45°， 故选：B． 3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，， ∴， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即， ∴， ∴． 故选：C． 4.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝12， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故答案为：3． 5.如图，∠BOD＝60°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB＝3，连接AC，BD交于点E，连接OE．则OE＝　　． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点E， ∴EA＝EB＝EC＝ED， ∵∠BOD＝60°，BO＝DO， ∴△BOD为等边三角形， ∴OE⊥BD，∠OBD＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴EA＝EB＝AB＝3， ∴EA＝EB＝EC＝ED＝3， ∴BD＝BE+DE＝6， ∴BO＝DO＝BD＝6， 在Rt△OBE中，由勾股定理得：OE． 故答案为：． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E． （1）求对角线AC的长． （2）求∠AOE的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， 又∵AB＝4， ∴OA＝AB＝4， ∴AC＝OA+OC＝8． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABE＝90°，OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝∠ABE﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝BE，OB＝AB， ∴OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∴， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°． 7.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 【答案】证明：∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵∠EOD＝∠FOB＝90°， ∴△BOF≌△DOE（ASA）． 二、利用直角判定矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠A+∠B＝180° B.∠B+∠C＝180° C.∠A＝∠B D.∠B＝∠D 【答案】C 【解析】A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形； D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形； 故选：C． 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠BAE+∠ABE∠BAD∠ABC180°＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FEH＝90°， 同理可求∠F＝90°，∠FGH＝90°，∠H＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选：B． 3.检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（　　） A.测量两条对角线是否相等 B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 C.测量两条对角线是否互相平分 D.测量门框的三个角是否都是直角 【答案】C 【解析】∵门框两组对边分别相等， ∴门框是个平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形是矩形， 故A不符合题意； ∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形； 故B不符合题意， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴C符合题意， ∵三个角都是直角的四边形是矩形， 故D不符合题意； 故选：C． 4.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　　时，活动框架是矩形． 【答案】90° 【解析】根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°． 故答案为：90°． 5.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形 【解析】∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行， ∴得到了一个平行四边形， ∵与两边分别垂直， ∴就能得到矩形踏板， 故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形． 6.如图，平行四边形ABCD中，F、E分别是AB、CD的中点． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）连接BD，当AD与BD满足条件 　　　　　时，四边形BEDF是矩形． 【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC， ∵F、E分别是AB、CD的中点， ∴AF，CE， ∴AF＝CE， 在△ADF与△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）； （2）解：当AD与BD满足条件AD＝BD时，四边形BEDF是矩形． 在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC， ∵F、E分别是AB、CD的中点， ∴BF，DE， ∴BF＝DE， ∵BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵AD＝BD， ∴DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴四边形BEDF是矩形． 故答案为：AD＝BD． 7.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是 　　（填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 【答案】解：（1）①当∠1＝∠2时，▱ABCD为矩形； ②当AM＝DM时，▱ABCD为矩形， 故答案为：①（或②）； （2）选择①∠1＝∠2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠A+∠D＝180°， 在△ABM和DCM中， ， ∴△ABM≌DCM（SAS）， ∴∠A＝∠D， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴▱ABCD为矩形． 三、利用对角线判定矩形 1.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D.OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、根据AC＝BD和AO＝OC不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意； 故选：D． 2.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 3.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　　　　　　　　　　　． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 5.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为 　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴当OB＝OA，即AC＝BD时，▱ABCD为矩形， 此时OB的长度为3． 故答案为：3． 6.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形． 7.如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF． （1）求证：AC＝DF； （2）若AB＝AF，求证：四边形ACFD为矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵点D为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（ASA）， ∴AE＝FE， 又∵DE＝CE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AC＝DF； （2）由（1）可知，四边形ACFD是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵AB＝AF， ∴CD＝AF， ∴平行四边形ACFD为矩形． 四、矩形的判定与性质的综合应用 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A.∠BAD＝90° B.∠BAD＝∠ABC C.∠BAO＝∠OBA D.∠BOA＝90° 【答案】D 【解析】A、∠BAD＝90°，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； B、∵在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，则∠BAD＝∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； D、∠BOA＝90°不能判定它为矩形，故此选项符合题意． 故选：D． 2.在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD 【答案】A 【解析】∵AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、根据对角线相等的平行四边形是矩形，所以当AC⊥BD时不一定得到矩形，故选项A符合题意； B、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 3.对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 【答案】B 【解析】对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形， 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中一定正确的有 　　　　　　　　 【答案】①②④ 【解析】∵DE⊥BC， ∴∠D E B＝∠A＝∠A B C＝90°， ∴四边形ABED是矩形，故②正确； ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴DC＝BC，故①正确； ∵BD与CD不一定相等， ∴点E不一定是BC的中点，故③错误； ∵B E＝A D＝2，B C＝C D＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 5.如图，矩形ABCD中，CD＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【解析】连接PC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴BD10， ∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴EF＝PC， 当PC⊥BD时，PC取得最小值， 此时，PC， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 6.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：如图，连接OE， ∵AD＝12，AB＝5， ∴BD13， ∴BO＝OD＝AO＝CO， ∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15， ∴S△AOE+S△DOE＝15， ∵EF⊥BD，EG⊥AC， ∴EGEF＝15， ∴EG+EF． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AD＝2，∠CAB＝30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO． ∵AO＝BO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形； （2）解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2． ∵CE为∠DCB的平分线， ∴∠ECB∠DCB＝45°． ∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴AC＝2BC＝4， ∴AB． ∵∠CBE＝90°，∠ECB＝45°， ∴BE＝BC＝2， ∴AE＝AB﹣BE2． 五、平行线间的距离 1.如图，已知直线m∥n，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A.线段AB的长 B.线段AC的长 C.线段AD的长 D.线段DE的长 【答案】B 【解析】∵直线m∥n，AC⊥n， ∴线段AC的长能表示直线m，n之间距离． 故选：B． 2.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 【答案】C 【解析】∵a∥b，AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AB＝CD，故A不符合题意； ∵CE⊥b，FG⊥b， ∴CE∥GF， ∵a∥b， ∴四边形CEGF是平行四边形，且CE⊥a， ∴CE＝FG，故B不符合题意； ∵AB不垂直于直线a、b， ∴直线a、b之间的距离不是线段AB的长，故C符合题意； ∵CE⊥b，CE⊥a，a∥b， ∴直线a、b之间的距离是线段CE的长，故D不符合题意， 故选：C． 3.如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A.向左移动变小 B.向右移动变小 C.始终不变 D.无法确定 【答案】C 【解析】∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变， ∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变， 故选：C． 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 六、菱形的四条边相等 1.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C.a2 D. 【答案】B 【解析】过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 故选：B． 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接DE， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α， ∵点A关于直线DP的对称点为E， ∴DP垂直平分AE， ∴ED＝AD， ∴ED＝CD， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC， ∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°， ∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°， ∴α+2∠AEC＝360°， ∴∠AEC＝180°α， 故选：D． 3.将两个完全相同的菱形按如图所示方式放置，若∠BAD＝x°，则∠BED的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝x°， ∴∠ABD（180°﹣x°）＝（90）°， ∵AD∥BC， ∴∠DBE＝∠ADB， ∵两个菱形完全相同， ∴∠BDE＝∠A， ∴∠BED＝∠ABD＝（90）°． 故选：D． 4.如果菱形的高是3 cm，且相邻两个内角的度数之比为1：5，那么这个菱形的边长为　　　cm． 【答案】6 【解析】菱形的相邻两个内角的度数之比为1：5，根据相邻两个内角互补得到这两个内角是30°，150°，菱形的高与菱形的边所构成的直角三角形中，菱形的高所对的角是30°，那么菱形的高菱形的边长＝3，那么个菱形的边长＝6 cm． 故答案为6． 5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　　　． 【答案】（4，4） 【解析】如图，过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AF⊥OH于F，连接AH， ∵点A的坐标是（3，1）， ∴AF＝1，OF＝3， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB， ∵点B在第一象限的角平分线上， ∴△OBH是等腰直角三角形， ∴BH＝OH， 又∵AH＝AH， ∴△AHB≌△AHO（SSS）， ∴OH＝BH，∠AHO＝∠AHB＝45°， ∵AF⊥OH， ∴AF＝FH＝1， ∴OH＝BH＝4， ∴点B（4，4）， 故答案为：（4，4）． 6.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）； （2）解：设菱形的边长为x， ∵AB＝CD＝x，CF＝2， ∴DF＝x﹣2， ∵△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF＝x﹣2， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得， AE2+BE2＝AB2， 即42+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝5， ∴菱形的边长是5， ∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20． 7.如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∴∠A＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴BE＝CF． 七、菱形对角线垂直 1.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　） A.（5，﹣2） B.（2，﹣5） C.（2，5） D.（﹣2，﹣5） 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称， ∵点A（﹣2，5）， ∴点C的坐标是（2，﹣5）． 故选：B． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0） 【答案】A 【解析】∵点B的坐标为（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠ABOABC＝60°， ∴∠OAB30°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB=2OB=6， ∴OA＝＝3， ∴A（﹣3，0）， 故选：A． 3.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，则菱形的高为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm， ∴AC⊥BD，且OAAC＝4 cm，OBBD＝3 cm， 根据勾股定理，AB5 cm， 设菱形的高为h， 则菱形的面积＝AB•hAC•BD， 即5h8×6， 解得h， 即菱形的高为 cm． 故选：B． 4.已知菱形ABCD的边长是 cm，对角线AC＝4 cm，则菱形的面积是_______cm2． 【答案】12 【解析】设AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是边长为 cm，对角线AC＝4 cm， ∴AB cm，AO＝COAC＝2 cm，BO＝DO，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴BO3（cm）， ∴BD＝2BO＝6 cm， ∴S菱形ABCDAC•BD4×6＝12（cm2）， 故答案为：12． 5.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 　　． 【答案】6 【解析】设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b， 由题意得：， 整理得：ab＝3， ∴菱形的面积为•2a•2b＝2ab＝6， 故答案为：6． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 【答案】（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝EC； （2）解：∵平行四边形BECD， ∴BD∥CE， ∴∠ABO＝∠E＝50°， 又∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°． 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵BD⊥DE， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AOD+∠EDB＝180°， ∴AC∥ED， ∵AB∥CD， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE＝8， ∵BD＝6， ∴菱形ABCD的面积24． 八、利用边判定菱形 1.已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC 【答案】C 【解析】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC． 故选：C． 2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 【答案】D 【解析】∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC，故A正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故C正确，故该选项不符合题意； ∴AC⊥EF， 在Rt△COE中，∠ACE＝30°， ∴，则AD＝4OE，故B正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴，故D错误，故该选项符合题意； 故选：D． 4.如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　． 【答案】2 【解析】过点E作EF∥AB，交AD于F, ∵在▱ABCD，EF∥AB, ∴AB＝EF，AF＝BE, ∵∠FAE＝∠BAE, ∴△AFE≌△ABE, ∴AB＝BE＝EF＝AF, ∴ABEF为菱形, ∴EC＝AD﹣AB＝2． 故答案为：2． 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 【答案】① 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形； 故答案为：①． 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AE＝CEBC， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示, ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵△ABC的面积BC×AHAB×AC， ∴AH， ∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形， ∴CD＝CE， ∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF， ∴EF＝AH． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足AE＝AC＝CF，连接BE、BF、DE、DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠EDC＝90°，则当∠DEA＝　　°时，四边形BEDF是菱形． 【答案】（1）证明：连接BD，交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， 又∵AE＝CF， ∴AE+OA＝CF+OC， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：当∠DEA＝30°时，四边形BEDF是菱形． ∵∠EDC＝90°，EA＝AC， ∴DA＝AC， ∵∠DEA＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OE⊥BD， ∴ED＝EB， 由（1）可知，四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形． 故答案为：30°． 九、利用对角线判定菱形 1.下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.AB＝CD D.∠BAD＝∠ADC 【答案】A 【解析】A、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形，故选项A符合题意； B、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝CD， ∴平行四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由∠BAD＝∠ADC，AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2.判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（　　） A.① B.② C.①③ D.②③ 【答案】A 【解析】∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形， 故方法①可行； ∵四边角都相等的四边形，它的四个角都是直角， ∴这样的四边形是矩形，但不一定是菱形， ∴通过检测框架的四个角是不是相等不能判断四边形的框架是不是菱形， 故方法②不可行； ∵对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形， ∴通过检测框架的对角线是否互相垂直且相等不能判断四边形的框架是不是菱形， 故方法③不可行， 故选：A． 3.如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（　　） ①AC＝BD； ②AC平分∠BAD； ③AB＝BC； ④AC⊥BD. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】D 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； ③∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； 综上所述，能使▱ABCD是菱形的为②③④， 故选：D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5． 若平行四边形CDEB为菱形， 则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵S△ACBAB•OCAC•BC， ∴OC． 在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB， ∴AD＝AB﹣2OB． 故答案为：． 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD 等） 【解析】当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“AB＝CD”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时， ∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“∠ADB＝∠CBD”时， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）． 6.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 【答案】（1）证明：∵CM∥BN， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∴四边形BMCN是平行四边形． （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下： 由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形， ∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AN⊥BC， ∴平行四边形BMCN是菱形. 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形． 【答案】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）在▱ABCD中，∵AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形． 十、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A.4 B.3 C. D.2 【答案】D 【解析】连接DE． 在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5． ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， ∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE． ∴DE＝BE＝5． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝5， ∴BC＝BE+EC＝8， ∴四边形ABED是菱形， 由勾股定理得出BD， ∴BOBD＝2， 故选：D． 2.下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形， ∴由①推出②错误，由③推出②错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 3.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 下列判断正确的是（　　） A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 【答案】A 【解析】甲的作法如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥CF，∠EAO＝∠FCO， 又∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，AE＝CE， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴四边形AFCE为菱形，故甲的作法正确． 乙的作法如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， 同理可得 AB＝AF， ∴AF＝BE， 又∵AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形．故乙的作法正确． 故选：A． 4.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 【答案】30° 【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2 cm， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD∠MAN＝30°， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， 故答案为：30°． 5.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 　　． 【答案】2 【解析】如图，连接AC， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD， ∴AB＝BC，四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， 即A，C两点间的距离为2， 故答案为：2． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD 是平行四边形， ∴BD＝EC； （2）解：四边形BECD是菱形． 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°， ∴△ADB，△DCB是等边三角形， ∴DC＝DB， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是菱形． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 十一、有关正方形边、角的性质 1.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 【答案】A 【解析】由正方形ABCD，BF⊥CE， 得△ABF≌△BCE（ASA）， 得S1+S5＝S1+S4， 得S4＝S5， 由S1+S2+S5＝S3+ S4， 得S1+S2＝S3． 故选：A． 2.如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，则∠CBE为（　　） A.55° B.60° C.75° D.80° 【答案】C 【解析】∵在正方形ABCD外侧，作等边△ADE， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，AB＝AD＝AE， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴， ∴∠CBE＝∠ABC﹣ABE＝90°﹣15°＝75°， 故选：C． 3.四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（　　） A.点K，F B.点K，E C.点C，F D.点C，E 【答案】C 【解析】设CG＝x，GF＝y， ∴BC＝x+y，CI＝y﹣x， ∴， 由勾股定理得CG2+GF2＝CF2， ∴， ∴知道点C，F的距离即可求最大正方形与最小正方形的面积之和， 故选：C． 4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE⊥CF于点G，若BC＝8，AF＝2，则GF的长为 　　． 【答案】5.2 【解析】∵四边形ABCD为正方形，BC＝8， ∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝8， 又∵DE＝AF＝2， ∴CE＝DF＝6， ∴在△CDF和△BCE中， ， ∴△CDF≌△BCE（SAS）， ∴∠DCF＝∠CBE， ∵∠DCF+∠BCF＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BGC＝90°， ∵在Rt△BCE中，BC＝8，CE＝6， ∴BE＝10， ∴BE•CG＝BC•CE， ∴CG， ∵△CDF≌△BCE（SAS）， ∴CF＝BE＝10， ∴GF＝CF﹣CG＝105.2． 故答案为：5.2． 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　　． 【答案】（，1） 【解析】过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图： ∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°， ∴∠ADO＝30°， ∴AO＝1，DO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADO＝∠DCF， ∴△AOD≌△DFC（AAS）， ∴AO＝DF＝1，DO＝CF， ∴CE＝1， ∴点C的坐标为：（，1）． 故答案为：（，1）． 6.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：∠BAF＝∠ADE； （2）求证：DE﹣BF＝EF． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAE+∠BAF＝90°． ∵∠ABF+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF． 在△AED和△BFA中， ， ∴△AED≌△BFA（AAS）． ∴∠BAF＝∠ADE； （2）∵△AED≌△BFA， ∴AE＝BF．DE＝AF， ∵AF﹣AE＝EF， ∴DE﹣BF＝EF． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF＝BE，连接AF、EF，若AE＝3，求EF的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE， 在△ADF和△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE（SAS）， ∴AF＝AE＝3，∠DAF＝∠BAE， ∵∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠DAF+∠EAD＝90°， ∴∠FAE＝90°， ∴EF3， 即EF的长是3． 十二、正方形对角线的性质 1.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在DC上，且EF＝EC，连接AE、AF，若∠ECF＝α，∠DAF＝β，则（　　） A.α+β＝90° B.α﹣β＝45° C.2α+β＝135° D.2β﹣α＝15° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，∠ADC＝90°， 又∵BE＝BE， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝CE，∠DCE＝∠DAE＝α， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF＝α， ∵∠DAF＝β， ∴∠AFD＝90°﹣β， ∴∠EFA＝180°﹣α﹣（90°﹣β）＝90°﹣α+β， ∵∠DAF＝β，∠DAE＝α， ∴∠EAF＝α﹣β， ∵AE＝CE，EF＝EE， ∴AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴α﹣β＝90°﹣α+β， ∴a﹣β＝45°， 故选：B． 2.如图，E，F分别是正方形的边BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．∠EAF＝45°，则下列结论中一定成立的是（　　） A.BE+DF＝EF B.BE+DF＝AB C.BE+DFAB D.AE+DFAB 【答案】A 【解析】延长CD至G，使得DG＝BE， 由正方形ABCD，∠EAF＝45°， 得△ABE≌△ADG（SAS）， 得∠DAE＝∠BAE，AE＝AG， 得∠GAF＝∠BAE+∠DAF＝90﹣45＝45°＝∠EAF， 得△AFG≌△AFE（SAS）， 得EF＝GF＝BE+DF． 故选：A． 3.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点D作DF⊥BD且DF＝BE，连接EF，点G是EF的中点，连接AG、AF．若∠BCE＝α，则∠DAG一定等于（　　） A.α B. C.45°﹣α D.30°﹣α 【答案】C 【解析】连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠BCE＝α，∠ADB＝∠ABE＝45°， ∵DF⊥BD， ∴∠BDF＝90°， ∴∠ADF＝∠BDF﹣∠ADB＝45°， ∴∠ABE＝∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF＝∠BAE＝α，AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝90°， ∴△EAF是等腰直角三角形， ∵点G是EF的中点， ∴∠FAG＝45°， ∴∠DAG＝∠FAG﹣∠DAF＝45°﹣α， 故选：C． 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 【答案】 【解析】过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴OM＝ON，∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OEM＝∠OFM＝90°， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴S四边形MOND＝S四边形OEDF， ∵四边形MOND的面积是3， ∴正方形ABCD的面积为12， ∴AB， 故答案为：． 5.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 【答案】22.5 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，∠ACB＝45°， ∵CE＝BD． ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠CAE+∠E＝45°， ∴∠E＝22.5°， 故答案为：22.5． 6.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE＝AF，AO⊥EF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形． 7.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 十三、正方形的判定 1.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝90° C.∠ADB＝30° D.AC＝AB 【答案】B 【解析】需要添加条件∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， 故选：B． 2.学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（　　） A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丁 【答案】D 【解析】甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故选项说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故选项说法正确； 丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；故选项说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故选项说法正确； 故选：D． 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形ABCD为正方形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB＝AD C.∠BAO＝∠ABO D.∠BAC＝∠DAC 【答案】C 【解析】A、正确．对角线互相垂直的矩形是正方形，不符合题意； B、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形，故不符合题意； C、错误．∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OBBD，OC＝OA，BD＝AC， ∴AO＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∴矩形ABCD不能为正方形，故符合题意； D、正确，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意． 故选：C． 4.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　　　　　　　　可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】AC＝BD或AB⊥BC 【解析】根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC； 故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件是AC⊥BD（答案不唯一）， 理由：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 【答案】解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OAAC，OB＝ODBD， ∵以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝CP，BP＝OC， ∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵AC＝BD，OBBD，OCAC， ∴OB＝OC， ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形． 7.证明文字命题：对角线互相垂直的矩形是正方形．（画出图形、写出已知、求证与证明） 【答案】解：在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：矩形ABCD是正方形． 证明如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°， AC＝BD，AO＝OC，BO＝OD， ∴AO＝OD＝OC＝OB， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， ∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△AOD（SAS）， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 十四、正方形的性质与判定 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 2.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 3.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示： ∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AECD为矩形， ∴AD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠DCB＝120°， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°， ∴BEBC， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CEBC， ∴ADBC， 故①不正确； ②∵∠DAB＝∠CDA＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵AC垂直平分DB， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CDB＝∠ABD＝45°， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AD＝BC， 故②正确； ③∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC， ∴BC⊥AB， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， 故③正确； ④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示： 则∠AHB＝∠FHB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△AHB和△FHB中， ， ∴△AHB≌△FHB（ASA） ∴AH＝FH， ∴点A与点F关于直线BD对称， ∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上， 故④正确， 综上所述：正确的是②③④． 5.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　． 【答案】①②④ 【解析】如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 6.如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E，F．求证：四边形PEBF是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB＝∠PFB＝∠EBF＝90°， ∴四边形PEBF是矩形， ∵∠FBP＝∠FPB＝45°， ∴FB＝FP， ∴四边形PEBF是正方形． 7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FDC＝∠DCF＝45°， ∵∠E＝90°，ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形DFCE是矩形， ∵DE＝CE， ∴四边形DFCE是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $$