第26章 反比例函数 第7课时反比例函数系数k的几何意义暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级数学下册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九下数学第26章《反比例函数》第7课时反比例函数系数k的几何意义 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 初始图形 衍生图形 类型一：单个反比例函数与系数k 1. 如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段.已知阴影部分的面积等于1，则S1＋S2＝　4　. 2.如图，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为　　. 类型二：相同象限的两个反比例函数与系数k 3. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，点M是y轴负半轴上的一点，连接MA，MB，已知△MAB的面积为，则k1－k2＝　2　. 4. 如图， OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝　3　. 类型三：不同象限的两个反比例函数与系数k 5.如图，点A在双曲线y1＝(x＞0)上，点B在双曲线y2＝(x＜0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC，BC.若△ABC的面积是6，则k的值( C ) A.－6　 B.－8　 C.－10　 D.－12 6.如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k 1 －k2的值是( D ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为若的面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于直，若四边形的面积为则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，设， ． 又， ． 故选：． 依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解． 本题主要考查了反比例的图象与性质的应用，解题时要能熟悉题意学会转化是关键． 3.已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点， 由条件可知点的横坐标为，设点的坐标为， ， 由图可知， ， ， 的值可能为， 故选：． 过点作轴，交反比例函数的图象于点，得到，继而得到，即可得到答案． 本题考查了反比例函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4.如图，在平面直角坐标系中，在轴上，在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点刚好在轴上，点在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由绕点逆时针旋转得到可得为等边三角形，再通过点的坐标为可求得，最后过点作轴构造直角三角形求出点坐标即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， 为等边三角形． 点的坐标为， ． 设，则， ， 解得：， ． 过点作轴如图．    ，， 点坐标为． 点在反比例函数上， ． 故选：． 5.如图，点在双曲线上，在轴上，且若的面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  6.如图，平行于轴的直线与反比例函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点若的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积． 设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到 ，求出． 【解答】 解：设点的坐标为，点的坐标为， 由反比例函数的性质及整体代入思想可得，  的面积   ． 故选A． 7.如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点和中心，若点的坐标为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  8.如图，点是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点，，分别是点关于轴、坐标原点、轴的对称点．若四边形的面积是，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，且，，反比例函数的图象经过点若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，，四边形是平行四边形．四边形是矩形，，，，，，四边形是菱形．如图，连接，交于点四边形是菱形，与互相垂直平分．易得，四边形是平行四边形．，，易得，点的横坐标为反比例函数的图象经过点，． 10.如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，延长交轴于点，连接，， 则，， 轴， ， 解得， 故选：． 根据反比例函数系数的几何意义得到即可． 本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 二、填空题 11.如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为          ． 【答案】  12.如图，反比例函数的图象过的斜边中点，交直角边于点，若的面积是，则的值是          ． 【答案】  【解析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到的面积和四边形的面积相等，通过面积转化，可求出的值． 【详解】过点作轴的垂线交轴于点．    的面积和的面积相等． 的面积和四边形的面积相等且为． 设点的横坐标为，纵坐标就为． 为的中点． ， 四边形的面积可表示为， ． 故答案为：． 13.如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，且：：，则的值为______． 【答案】  【解析】解：设的坐标是，则的坐标是． 矩形的面积为， ， ． 把的坐标代入函数解析式得：， ． 故答案为． 设的坐标是，则的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把的坐标代入函数解析式即可求得的值． 本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关系． 14.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，，于点，点在反比例函数的图象上，若，，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：，， ， ， ， 把代入，可得， 故答案为． 利用等腰三角形的性质求出点的坐标即可解决问题． 本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 15.如图，点，在反比例函数的图象上，，分别垂直轴于点，，轴于点，于点若，阴影部分的面积为，则的值为          ． 【答案】  【解析】  如图，延长交轴于点，则四边形是矩形，点，在反比例函数的图象上，矩形矩形，，阴影部分的面积为，，解得． 16.如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点如果的面积为，那么的值是          ． 【答案】  17.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴．若的面积为，则的值为          ． 【答案】  18.如图，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，四边形为矩形，点为中点，反比例函数的图象过点，且与相交于点，连接，若，则的值为          ． 【答案】  【解析】本题考查了反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．设，则，，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：设， 点为中点， ， 把代入，得， ， ， ， ． 故答案为：． 19.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，点、分别为、的中点，连接、、，若的面积为，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：设， 轴于点，轴于点，点、分别为、的中点， ，， 的面积为， 整理得，， ， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：． 20.如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角函数的定义，勾股定理，菱形的性质，过点作轴于点，根据，得出，设，则，得出，根据点在反比例函数的图象上，求出，根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ， ， ， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：，负值舍去， 经检验是方程的解， ， ， 菱形中， ， 顶点落在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，函数与的图象交于点，点的纵坐标为直线轴于点． 求的值； 点是函数图象上一动点，过点作于点，在中，若两条直角边的比为，求点的坐标． 【答案】(1)解：函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为4， ∴将代入，得，则，将P点坐标代入， 得.   (2)如图． 设，则，， 则，， 根据题意，可得或， 即①，或②， 解①，得或（与点P重合，舍去）或（舍去）； 解②，得（与点P重合，舍去）或或（舍去）． 综上所述，，．   【解析】 根据一次函数解析式求得点的坐标，进而用待定系数求得的值，  根据题意作出图形，设，则，，根据题意，列出方程解方程即可求解． 22.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为． 求，的值． 平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)解：，点的坐标为．把点代入，得，解得．直线的解析式为．点在直线上，点的横坐标为2，点的纵坐标为．点的坐标为．把点代入，得．  (2)设点的坐标为，则点的坐标为，．，当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．直线与轴交于点，．．当时，解得，（舍去），此时，点的坐标为． 当时，解得，（舍去），此时，点的坐标为．综上所述，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或．   23.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，求： 和的值； 的面积． 【答案】解：点在直线上， ，解得，． 反比例函数的图象过点，， 解得． 设直线分别与轴、轴交于点，． 当时，，，即； 当时，，即． 在直线上，，即， 的面积．   【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 先求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可； 先求出直线与轴、轴的交点坐标，再求出即可． 24.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为，求的值． 【答案】解：轴，轴，两个函数图象都在第一象限，矩形，四边形矩形解得．  25.如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别与、相交于点、． 若点，求的值； 若四边形面积为，求反比例函数的解析式． 【答案】解：矩形对角线相交于点， 是的中点， 点， ， 反比例函数的图象经过点， ； 设点坐标为，则，即， 点为矩形对角线的交点， ，，， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 又点、点在反比例函数的图象上， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ， ， ， ． 反比例函数为．  【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，能够准确表示有关点的坐标，然后利用面积公式建立等量关系是解题的关键． 根据矩形的性质求得的坐标，代入即可求得的值； 设点坐标为，即可得出，由点为矩形对角线的交点，根据矩形的性质易得，，，利用坐标的表示方法得到点的横坐标为，点的纵坐标为，而点、点在反比例函数的图象上，可得点的纵坐标为，点的横坐标为，利用，求出，即可得到的值． 26.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象在第一、三象限分别相交于，两点，，连结，求： 的值． 的面积． 【答案】(1)8  (2)6  27.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图像上． 求，的值； 当为何值时，的值最大？最大值是多少？ 【答案】(1)n＝8，k＝32  (2)当m＝6时，AB·OD的值最大，最大值是36．  28.如图，四边形是菱形，对角线轴，垂足为反比例函数的图像经过点，交于点已知菱形的周长为，． 若，求的值； 连接，若，求的长． 【答案】(1)如图，连接交于点. ∵四边形是菱形，，∴，. ∵对角线轴，∴轴，∴、的纵坐标均为2. ∵菱形的周长为10，∴，∴. ∵，∴点的坐标为. ∵点在反比例函数的图像上，∴，∴.   (2)设点的坐标为.∵，∴， ∴、两点的坐标分别为，. ∵点、都在反比例函数的图像上，∴，∴. 如图，作轴，垂足为，则易得四边形是矩形， ∴，.∴. 在中，，∴.   29.如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交轴于点，过点的双曲线交斜边于点，过点作双曲线．，点的坐标为． 求直线的解析式与点的坐标； 连接，，当时，求的值． 【答案】(1)解：过点B作于点F， ， ， 点A的坐标为，， ， ，， 点B的纵坐标为2， 双曲线过点， ， 点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 令，解得， 点E的坐标为．   (2)解：， ， ， 点， ，代入得， ， 代入中，即， 解得． ．   【解析】 本题考查了反比例函数与几何综合，图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出点坐标是解题的关键． 过点作于点，根据平行线分线段成比例定理得出，由点的坐标为，，得出，，则点的纵坐标为根据待定系数法即可求出直线的解析式与点的坐标；  由可得，可求点，代入得，则，可求的值． 30.如图，在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，分别过点、作轴的平行线，与反比例函数的图像交于点、，连接、，与轴交于点． 求直线对应的函数表达式； 求的值； 直接写出阴影部分图形的面积之和． 【答案】(1)设直线对应的函数表达式为.直线过点，，解得直线的函数表达式为.  (2)点关于原点的对称点为点，点的坐标为.轴，设点的坐标为，，点的坐标为.反比例函数的图像经过点，.  (3)12  【解析】 设、分别与轴交于点、．点和点关于原点对称，阴影部分的面积等于平行四边形的面积，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九下数学第26章《反比例函数》第7课时反比例函数系数k的几何意义 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 初始图形 衍生图形 类型一：单个反比例函数与系数k 1. 如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段.已知阴影部分的面积等于1，则S1＋S2＝　 　. 2.如图，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为　 　. 类型二：相同象限的两个反比例函数与系数k 3. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，点M是y轴负半轴上的一点，连接MA，MB，已知△MAB的面积为，则k1－k2＝　 　. 4. 如图， OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝　 　. 类型三：不同象限的两个反比例函数与系数k 5.如图，点A在双曲线y1＝(x＞0)上，点B在双曲线y2＝(x＜0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC，BC.若△ABC的面积是6，则k的值( ) A.－6　 B.－8　 C.－10　 D.－12 6.如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k 1 －k2的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为若的面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 2.如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于直，若四边形的面积为则的值是(    ) A. B. C. D. 3.已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，在轴上，在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点刚好在轴上，点在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.如图，点在双曲线上，在轴上，且若的面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 6.如图，平行于轴的直线与反比例函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点若的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点和中心，若点的坐标为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 8.如图，点是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点，，分别是点关于轴、坐标原点、轴的对称点．若四边形的面积是，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，且，，反比例函数的图象经过点若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为          ． 12.如图，反比例函数的图象过的斜边中点，交直角边于点，若的面积是，则的值是          ． 13.如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，且：：，则的值为______． 14.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，在中，，于点，点在反比例函数的图象上，若，，则的值为          ． 15.如图，点，在反比例函数的图象上，，分别垂直轴于点，，轴于点，于点若，阴影部分的面积为，则的值为          ． 16.如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限内，反比例函数的图象经过的顶点和边的中点如果的面积为，那么的值是          ． 17.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴．若的面积为，则的值为          ． 18.如图，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，四边形为矩形，点为中点，反比例函数的图象过点，且与相交于点，连接，若，则的值为          ． 19.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，点、分别为、的中点，连接、、，若的面积为，则的值为          ． 20.如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，函数与的图象交于点，点的纵坐标为直线轴于点． 求的值； 点是函数图象上一动点，过点作于点，在中，若两条直角边的比为，求点的坐标． 22.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为． 求，的值． 平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．  23.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，求： 和的值； 的面积． 24.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为，求的值． 25.如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别与、相交于点、． 若点，求的值； 若四边形面积为，求反比例函数的解析式． 26.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象在第一、三象限分别相交于，两点，，连结，求： 的值． 的面积． 27.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图像上． 求，的值； 当为何值时，的值最大？最大值是多少？ 28.如图，四边形是菱形，对角线轴，垂足为反比例函数的图像经过点，交于点已知菱形的周长为，． 若，求的值； 连接，若，求的长．  29.如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交轴于点，过点的双曲线交斜边于点，过点作双曲线．，点的坐标为． 求直线的解析式与点的坐标； 连接，，当时，求的值． 30.如图，在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，分别过点、作轴的平行线，与反比例函数的图像交于点、，连接、，与轴交于点． 求直线对应的函数表达式； 求的值； 直接写出阴影部分图形的面积之和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$