【第三章 二次根式 01讲 二次根式的概念及性质】【三大知识点+五大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 二次根式 01讲 二次根式的概念及性质 题型归纳 【题型1. 二次根式的识别】…………………………………………………………… 2 【题型2. 二次根式有意义的条件】…………………………………………………… 4 【题型3. 求二次根式的值】…………………………………………………………… 6 【题型4. 最简二次根式的判断】……………………………………………………… 8 【题型5. 利用二次根式的性质化简】………………………………………………… 11 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 13 知识清单 知识点1 二次根式 1.概念：一般地，形如（）的式子叫作二次根式，根号下的叫作被开方数.“”称为二次根号. 【提示】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 ； （2）被开方数必须是非负数 . 知识点2 二次根式的性质 1.双重非负性： ≥0， a≥0（主要用于字母的求值）. 2.回归性：（主要用于二次根式的计算）. 3.转化性： 4.积的算术平方根的性质：（主要用于化简二次根式）. 知识点3 最简二次根式 1.定义：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式），这样的二次根式叫作最简二次根式. 【提示】最简二次根式满足的条件： （1）被开方数中不含开得尽方的因数或因式； （2）分母不含二次根式； （3）被开方数不含分母． 题型专练 题型1. 二次根式的识别 【例1】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义，逐一分析即可解答． 【详解】解：选项A：，根指数为2，但被开方数x的符号不确定．当时，无意义，因此不一定是二次根式． 选项B：是立方根，不符合二次根式根指数为2的要求，直接排除． 选项C：，根指数为2，但被开方数的符号取决于m的取值．当m > 1时，，此时式子无意义，因此不一定是二次根式． 选项D：，根指数为2，被开方数6恒为正数，无论何种情况都满足二次根式的条件，因此一定是二次根式． 故选D． 【例2】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义．根据二次根式的定义，被开方数必须位非负数，且式子有意义．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：选项A：，当时是二次根式，但可能为负数，此时无意义，故不一定是二次根式． 选项B：是立方根，不符合题意 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式． 选项D：，绝对值恒成立，无论取何值，被开方数均非负，故一定是二次根式． 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟知这个定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：，被开方数为（负数），不符合非负条件，故不是二次根式，故此选项不符合题意； B：，被开方数为．当时，被开方数非负，但题目未限定的范围，无法保证其始终有意义，故此选项不符合题意； C：，被开方数7是正数，根指数为2，完全符合二次根式定义，故此选项符合题意； D：，根指数为3，属于三次根式，而非二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列式子是二次根式的是（   ） A．3 B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负一一判断即可． 【详解】解：．3是整数，不含根号，不是二次根式，故该选项不符合题意； ．的根指数为2（省略未写），被开方数，符合二次根式的定义，故该选项符合题意； ．的被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意； ．的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型2. 二次根式有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，即，解得，再判断即可． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数，解得， 观察选项，只有A选项满足，而B、C、D选项均小于5，不符合条件． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·广东惠州·期末）当时，下列式子有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此判断即可． 【详解】解：A、当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； B、当时，被开方数为负数，二次根式无意义，故此选项不符合题意； C、当时，被开方数，为负数，二次根式无意义，故此选项不符合题意； D、当时，被开方数，二次根式有意义，故此选项符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）使在实数范围内有意义的的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：， 即在实数范围内有意义的的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负． 【详解】要使在实数范围内有意义，需满足被开方数． 解不等式，得． 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·四川凉山·期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0． 直接利用二次根式和分式的有意义的条件得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得且． 故答案为：且． 【变式3】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知x，y是实数，且满足则的值为 ． 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，以及代数式求值，解题的关键在于由二次根式有意义条件推出x，y的取值． 根据二次根式有意义条件，推出，，再将其代入中计算，即可解题． 【详解】解：由二次根式有意义条件可知，， 解得，即， 当时，， 则； 故答案为：． 题型3. 求二次根式的值 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 将代入二次根式，即可计算求值． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 【例3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当时，二次根式的值是 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 题型4. 最简二次根式的判断 【例1】（24-25八年级下·浙江丽水·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简二次根式的判断；最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母；根据定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ：，其中为完全平方数，故A不是最简二次根式； B. ：，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C. ：分母含根号，故C不是最简二次根； D. ：，无完全平方因数，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件； 故选D． 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；据此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、分母含有根号，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选；C． 【例3】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A：，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B：，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C：，被开方数中不含平方数因子，且不含分母，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·云南大理·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、中被开方数含有可开方的因数4，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A：，被开方数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B：，被开方数，无平方数因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，符合题意； C：，被开方数含分母，需化为才满足最简形式，不符合题意； D：，化为分数，被开方数含分母，需有理化为，不符合题意； 故选：B． 题型5. 利用二次根式的性质化简 【例1】（24-25八年级下·江西宜春·期中） ． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据算术平方根的非负性知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：， 故答案为：2； 【例2】（2025·吉林·二模）计算： ． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·广东韶关·期中）化简： ． 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·天津·期中）化简： ． 【分析】本题考查了二次根式的化简． 先比较和的大小，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，则实数a的取值范围是 ． 【分析】本题考查了二次根式的性质及解不等式，熟练掌握是解题的关键． 根据得出，求解即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）当 时，的值为3． 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先平方得，再求出解即可． 【详解】解：因为， 平方，得， 解得． 故答案为：4． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）函数 的自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．全体实数 【分析】本题考查函数自变量取值范围，涉及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 解得：且， 故选：B． 3．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 本题考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：，根指数为2，被开方数中，，因此， 无论取何值，该式子均有意义， 故符合题意； 选项B：，根指数为3，属于三次根式， 不符合题意； 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式， 不符合题意； 选项D：，根指数为2，但被开方数需满足，当时无意义，因此不满足“一定”是二次根式的条件，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）以下二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，可化为整数，不是最简二次根式； B：被开方数，无平方数因数，且根号内不含分母，符合最简二次根式的条件； C：，含平方数因数，可进一步化简，不是最简二次根式； D：，分母含根号，需有理化为，不符合最简条件． 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）要使二次根式有意义，下列选项中，则x可取的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】要使二次根式有意义，需满足被开方数． 解得， 因此x可取的数是1． 故选A． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．3 C． D． 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，化简二次根式. 根据数轴求出的取值范围，进而得到，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2025·内蒙古·模拟预测）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 8．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）若实数满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的条件求出进而求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据点在数轴上的位置得出，进而可得出答案． 【详解】解： 根据数轴可知：， ∴， ∴， 故选：D 10．（24-25九年级下·山东烟台·期中）的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的化简，倒数和相反数，先计算的值，再然后根据倒数和相反数的定义解答即可． 【详解】解：，它的倒数的相反数是， 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【分析】本题考查的是二次根式的性质，根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：3． 12．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）化简 ； ． 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化的计算，掌握二次根式的性质是关键，根据二次根式的性质，分母有理化的计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：①；②． 13．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 15．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川南充·期中）若是整数，则正整数的值为 ． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意得：，解得；根据是整数，得出为平方数；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：，解得； ∵是整数， ∴为平方数； ∵为正整数， ∴或或 故答案为：或或 17．（24-25八年级下·山东日照·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，利用数轴得出，结合得出，进而利用绝对值、完全平方公式和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解∶由数轴知：， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：b． 18．（2025·内蒙古包头·一模）计算： ． 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简二次根式，计算零指数幂，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数a满足，那么的值是 ． 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 20．（24-25七年级下·河南焦作·期中）写出一个使成立的的值： ． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的意义，求一元一次不等式的解集等知识点，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和求一元一次不等式的步骤． 根据绝对值的意义得出，然后根据二次根式的意义和一元一次不等式的求解步骤即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：10． 三、解答题 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 22．（24-25八年级下·上海·假期作业）求下列二次根式的值： (1)； (2)； (3)． 【分析】题目主要考查考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）利用二次根式的性质化简求解即可； （2）利用二次根式的性质化简求解即可； （3）利用二次根式的性质化简求解即可； （4）利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 23．（24-25八年级下·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件及解一元一次不等式组． （1）根据题意得，解不等式组即可； （2）根据题意得，解不等式组即可． 【详解】（1）解：要使式子有意义，则x应满足， 解得：； （2）解：要使式子有意义，则x应满足， 解得：． 24．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 (1)判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 【分析】本题考查算术平方根及根据数轴判断式子的值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握根式的性质及根据数轴得到且． （1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案． （2）根据数轴得到且，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴得：，且， ，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 25．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于的方程有一个实数根是，试求的值． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据方程的解的定义把代入原方程得到，再由二次根式有意义的条件和二次根式的非负性可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程有一个实数根是， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ． 27．（24-25八年级下·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________． (2)先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的性质，整式的混合运算，掌握以上知识是关键． （1）根据二次根式的性质判定即可； （2）运用完全平方公式，根据二次根式的性质化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 二次根式的性质， 故答案为：小亮；； （2）解： ∵， ∴， ∴原式 ． 28．（24-25八年级下·广东云浮·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，正确化简各数是解题关键．直接利用数轴得出、、的符号进行化简，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，． ∴原式 ． 29．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）已知， (1)求x和y值 (2)求 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （）由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到， （2）再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得，， ∴． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算，并注意进行分类讨论． （1）根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况进行讨论，①当时，②当时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下： ∵，，， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（不符合题意，舍之）； 综上，m的值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 二次根式 01讲 二次根式的概念及性质 题型归纳 【题型1. 二次根式的识别】…………………………………………………………… 2 【题型2. 二次根式有意义的条件】…………………………………………………… 3 【题型3. 求二次根式的值】…………………………………………………………… 3 【题型4. 最简二次根式的判断】……………………………………………………… 4 【题型5. 利用二次根式的性质化简】………………………………………………… 4 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 5 知识清单 知识点1 二次根式 1.概念：一般地，形如（）的式子叫作二次根式，根号下的叫作被开方数.“”称为二次根号. 【提示】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 ； （2）被开方数必须是非负数 . 知识点2 二次根式的性质 1.双重非负性： ≥0， a≥0（主要用于字母的求值）. 2.回归性：（主要用于二次根式的计算）. 3.转化性： 4.积的算术平方根的性质：（主要用于化简二次根式）. 知识点3 最简二次根式 1.定义：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式），这样的二次根式叫作最简二次根式. 【提示】最简二次根式满足的条件： （1）被开方数中不含开得尽方的因数或因式； （2）分母不含二次根式； （3）被开方数不含分母． 题型专练 题型1. 二次根式的识别 【例1】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列式子是二次根式的是（   ） A．3 B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 题型2. 二次根式有意义的条件 【例1】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）若有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东惠州·期末）当时，下列式子有意义的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）使在实数范围内有意义的的取值范围是 ． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川凉山·期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式3】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知x，y是实数，且满足则的值为 ． 题型3. 求二次根式的值 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【例3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·江西上饶·期中）当时，二次根式的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【变式3】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）当时，二次根式的值是 题型4. 最简二次根式的判断 【例1】（24-25八年级下·浙江丽水·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·云南大理·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 题型5. 利用二次根式的性质化简 【例1】（24-25八年级下·江西宜春·期中） ． 【例2】（2025·吉林·二模）计算： ． 【例3】（24-25八年级下·广东韶关·期中）化简： ． 【变式1】（24-25八年级下·天津·期中）化简： ． 【变式2】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，则实数a的取值范围是 ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）当 时，的值为3． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）函数 的自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．全体实数 3．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）以下二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）要使二次根式有意义，下列选项中，则x可取的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．3 C． D． 7．（2025·内蒙古·模拟预测）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 8．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）若实数满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级下·山东烟台·期中）的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 12．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）化简 ； ． 13．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 15．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 16．（24-25八年级下·四川南充·期中）若是整数，则正整数的值为 ． 17．（24-25八年级下·山东日照·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 18．（2025·内蒙古包头·一模）计算： ． 19．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数a满足，那么的值是 ． 20．（24-25七年级下·河南焦作·期中）写出一个使成立的的值： ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 22．（24-25八年级下·上海·假期作业）求下列二次根式的值： (1)； (2)； (3)． 23．（24-25八年级下·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 24．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 (1)判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 25．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于的方程有一个实数根是，试求的值． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 27．（24-25八年级下·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：__________． (2)先化简，再求值：，其中． 28．（24-25八年级下·广东云浮·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 29．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）已知， (1)求x和y值 (2)求 30．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$