22.3 实际问题二次函数 讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 （一）知识梳理 1、利用二次函数解实际问题的步骤 (1)阅读并理解题意； (2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； (3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立 模型，写出二次函数的 ； (4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式 等求解； (5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍， 2、二次函数的应用的常见类型 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出 ，然后确定其 ，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的 ． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有： 的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的 的讨论． （二）知识精练 一、单选题 1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A．19 B．16 C．15 D．12 4．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 6．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 7．已知正方形的边长为，则它的面积与边长的函数图象为（　　） A． B． C． D． 8．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 9．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 二、填空题 10．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 11．如图，从一块长为，宽为的矩形木板上割取一块小的矩形木板，则剩余部分木板的面积和之间的函数关系式为 ，其自变量x的取值范围为 ． 12．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为 m． 三、解答题 14．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． (1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 15．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，    (1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； (2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 16．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 17．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标． (3)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年7月26日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C A C B C A D 1．D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 2．B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 4．A 【分析】由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为， 则抛物线解析式为 将代入可得： 解得 即解析式为 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式，解题的关键是理解题意，正确设出解析式． 5．C 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据正方形面积公式可知，函数表达式为，其中，结合二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：根据正方形面积公式可知，函数表达式为，其中． 且，开口向上. 故选答案：C． 8．A 【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 【详解】解：以B为原点建立坐标系，如图所示： 由题意可得出：， 将（﹣12，0）代入得出，， 解得：， ∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键． 9．D 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题． 【详解】解：，且为整数， 当时，或， 当时，， 故选：D． 10． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：根据二次函数解析式 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了函数的实际应用——几何图形面积．熟练掌握矩形的面积公式列函数关系式，矩形的长宽限制范围求自变量的取值范围，是解决问题的关键． 根据矩形木板的长和宽写出其面积为，根据割取一块小的矩形木板长和宽写出其面积为，即得剩余部分木板的面积；根据且即得x的取值范围． 【详解】∵矩形木板长为，宽为， ∴面积为， ∵小矩形木板的长为，宽为， ∴小的矩形木板面积为， ∴剩余部分木板的面积， 由题图知，且， ∴自变量x的取值范围为． 故答案为：，． 12． 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 13．2 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 14．(1)每千克应涨价5元 (2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用． （1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据利润每千克盈利日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元； （2）设涨价z元时总利润为y，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可． 【详解】（1）解：设每千克应涨价x元， 则， 解得或， 因为要顾客得到实惠， 所以， 答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； （2）解：设涨价z元时总利润为y， 则， 即 ， ∵， ∴y有最大值， 当时，y取得最大值，最大值为6125． 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 15．(1) (2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， 【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可； （2）四边形的面积为减去的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动， ∴，， ∴的面积关于出发时间的解析式为． （2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， ． 【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、． 16．(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 17．（1）；（2）点E的坐标为；（3）存在，点G的坐标为或 【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求； （2）可通过点B，点D求出线段所在的直线关系式，点E在线段上，即可设点E的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求； （3）先求线段所在的直线解析式，设点的坐标为，然后分为和时两种情况利用割补法表示和，然后根据题意列方程解题即可． 【详解】（1）解：依题意，设二次函数的解析式为， 将点B代入得，得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴线段所在的直线为， 设点的坐标为：， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 故点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为； （3）解：存在点， 设点的坐标为， 且由二次函数的对称性可知，， ∴点仅可能在对称轴的左侧， ①当时，如图， 令对称轴与轴交于点，过点作轴，交轴于点， 由（1）可知， 则， 由题意可知， 则， 与联立可得或(舍去)， ∴点坐标为； ②当时，如图， 令对称轴与轴交于点，过点作轴，交轴于点，过点作轴的垂线，交于点， 则， ， 由题意可知， 则 与联立可得，或1(舍去)， ∴点坐标为 综上可知，存在满足题意的点，坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合．解题关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用割补法表示三角形的面积． 18．(1) (2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，求一次函数解析式： （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，    设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则点的坐标为； 在中，当时， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$