22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 一、知识梳理 二次函数与之间的相互关系 （1）顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为 ，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式 ． （2）一般式化成顶点式 ． ∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 二、知识精练 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 4．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，且，则图象一定经过（    ）象限． A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四 6．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．抛物线与的图象如图所示，抛物线的顶点在抛物线上，且与轴的交点分别为，，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标 ． 12．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 13．二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第 象限． 14．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 三、解答题 15．已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 16．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值． 17．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知． （1）求m的值和直线对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标． 18．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B 【分析】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．将解析式化为顶点式即可得解． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴是是直线， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 运用配方法即可将其化为顶点式． 【详解】解： 故选：C． 3．C 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义确定a的值． 【详解】把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1， 而a+1≠0， 所以a的值为1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a+1≠0． 4．B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 5．A 【分析】根据，，，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限． 【详解】解：∵二次函数中，，， ∴二次函数的解析式为，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴二次函数的顶点坐标为(0，c)，在y轴负半轴， ∴二次函数的图象 经过三、四象限； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系． 6．D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，再根据点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 横坐标离对称轴越近，纵坐标越小， ，，，且， ， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴的交点求出对称轴解析式，然后整理不等式得到，再根据函数图象写出抛物线在下方部分的的取值范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵抛物线与轴的交点分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 由不等式得，， ∵抛物线的顶点在抛物线上， ∴不等式的解集是， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键． ①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误． 【详解】解：①∵， ∴ ∵， ∴故①错误； ②由图象可知：时，； 即，故②正确； ③由图象可知， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④由图象可知：时，， 又， 即， ∴， ∴故④错误． 9．B 【分析】根据二次函数的图象及性质可知二次函数的系数，，对称轴对称轴为，二次函数与轴的交点坐标为，进而即可解答． 【详解】解：∵当时，， ∴， 即，， 故①不正确； 由图象可知：二次函数的系数，，对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知：二次函数的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ∵由图象可知：二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一交点为， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∴正确的序号为②④， 故选． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴，与坐标轴交点坐标，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 10．B 【分析】此题考查一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系．本题形数结合，一次函数，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c的符号，比较即可得解． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； B、函数中，，，中，，，故选项不符合题意； C、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； D、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 11． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标．转化成顶点式是解题的关键． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12．或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 13．二/2 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴ 则一次函数经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键． 14．①②④ 【分析】由二次函数的图象与性质，判断出，，再由根的判别式（不相等的两个根）得出，对称轴得出．①②由上述条件加减乘除运算即可判断出结论；③由对称轴与抛物线交点即为顶点，值最大，利用不等式的基本性质即可判断出结论；④联立与，利用韦达定理、两根相加小于3建立关系即可判断得出． 【详解】解：图象开口向下且与轴交于点，与轴交于，两点， ，，． 对称轴， ，． 当时，，①、②正确． 时，， ，即，③错误． 直线与抛物线相交，且点的横坐标小于3， ， ，解得，④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数关系的理解能力．主要涉及二次函数图象与系数的关系（开口向上、开口向下），根的判别式（两个不相等的根、两个相等的根、无根），韦达定理等知识点．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．(1)图像见解析，函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)当时，y的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用二次函数的解析式的特点和点的坐标，画出图像即可，再利用图像解决问题即可． （2）利用图像分析当时，y的取值范围，需要看图分析：当时，y取得最小值；当时，y取得最大值，且最大值为2．从而得到答案． 【详解】（1）解： 将代入得即解得：． 列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 描点画出函数的图像，如图所示． 此函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）根据图像分析可得，若，则当时，y取得最小值，且最小值为-2， 当时，y取得最大值，且最大值为2． 所以当时，y的取值范围是． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值． 【详解】（1）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上， 解得 抛物线的解析式为 （2） 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即 解得 ， 的周长的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 17．（1），；（2），，；（3） 【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可； （2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P； （3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果； 【详解】（1）将代入， 化简得，则（舍）或， ∴， 得：，则． 设直线对应的函数表达式为， 将、代入可得，解得， 则直线对应的函数表达式为． （2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线， 由（1）得直线BC的解析式为，， ∴直线AG的表达式为， 联立， 解得：（舍），或， ∴， 由直线AG的表达式可得， ∴，， ∴直线的表达式为， 联立， 解得：，， ∴，， ∴，，． （3）如图，取点，连接，过点作于点， 过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴AD=CD， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则，． 设， ∵，， ∴． 由，则，即，解之得，． 所以，又， 可得直线对应的表达式为， 设，代入， 得，，， 又，则．所以． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键． 18．(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的对称轴直线上，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到； ②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点， ∴，， ∵在的对称轴直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点； 综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$