精品解析：河北省保定市竞秀区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 -

2024-2025学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学试题 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 嘉嘉在期末体测中一分钟跳绳超过180个，若用x（个）表示嘉嘉一分钟的跳绳个数，则x应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将长方形分成四个面积分别为，，，的小长方形，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 下列分式中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与关于点成中心对称，点、、的对称点分别为、、．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（ ） A. B. C. a D. 7. 在中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 8. 下面是嘉嘉求解方程的过程，存在一些错误，请指出嘉嘉从（ ）开始出现了错误． 方程两边都乘，得，………………第一步 解这个方程得：．…………………………………………第二步 检验：将代入第一步方程，左边右边………………第三步 所以，是原方程的根．………………………………第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 9. 已知：如图，，，分别为边，上高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（ ） A. ◎代表 B. ★代表 C. ⊙代表 D. 代表等边三角形 10. 已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，和是两个完全相同的三角形，，，将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合，连接，，有下列结论： 结论1：以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形； 结论2：当最短时，． 下列判断正确的是（ ） A. 只有结论1正确 B. 只有结论2正确 C. 结论1、结论2都正确 D. 结论1、结论2都不正确 12. 在等边中，D，E分别为，边上的动点，且，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，过点F作，交于点M．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分） 13. 若关于m的不等式可化为，则m的取值范围为 _______ ． 14. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知，且，则透镜焦距_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 16. 如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知代数式． （1）化简T； （2）T的值能等于吗？为什么？ 18. 老师黑板上出示了题目：“x取哪些非负整数时，不等式 ①与 ②都成立？”并给出了部分解答过程（如图所示）： 由①得， 已知其中“■”表示数字，“★”表示不等号． （1）请根据以上信息判断“■”表示的数字是 ； （2）请按下面的步骤完成老师出示的题目． 解：解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以不等式组的解集为 ． 所以x可取的非负整数值为 ． 19. 如图，方格纸中每个小正方形边长都为1，已知的顶点和点D都在格点上（小正方形的顶点称为格点），在方格纸内将经过一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F． （1）请直接写出平移的方向，平移距离； （2）画出平移后的； （3）求线段平移至时扫过的图形面积． 20. 如图，中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求长度． 21. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 22 观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 23. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器人每分钟分拣数量的倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2分钟． （1）问A型机器人每分钟分拣快递多少件？ （2）已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A，B两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 24. 问题探索： 活动课上，嘉嘉以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，（如图2）． （1）当与所夹锐角时，旋转角的度数为 ； （2）在绕点顺时针旋转过程中，嘉嘉发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． （3）当是以为腰的等腰三角形时，求旋转角的度数． 拓展延伸： （4）如图3，连接，，并分别延长，使两线交于点． ①直接写出四边形是平行四边形时旋转角的度数以及此时四边形的面积与的面积之比． ②若将“问题探索”中“”这一条件改为“”，其它条件不变．请直接写出当为直角三角形时，之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学试题 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 嘉嘉在期末体测中一分钟跳绳超过180个，若用x（个）表示嘉嘉一分钟的跳绳个数，则x应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】本题考查了列不等式． 根据题意列不等式即可． 【详解】解：∵嘉嘉在期末体测中一分钟跳绳超过180个， ∴， 故选：D． 2. 如图，将长方形分成四个面积分别为，，，的小长方形，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解. 表示出长方形的面积，再分解因式求解即可． 【详解】解：根据题意可得长方形的面积 ， 当时，不符合图形； 当时，符合图形； 故， 故选：B． 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 4. 下列分式中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以同一个非零数或整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：，若，则交叉相乘得，化简得，与题设矛盾，故不成立； 选项B：，同理可得，与题设矛盾，故不成立； 选项C：，分子分母同时乘以，根据分式的基本性质，，与原分式相等，故成立； 选项D：，为原分式的平方，显然不等于原分式（例如，时，），故不成立； 故选：C． 5. 如图，与关于点成中心对称，点、、的对称点分别为、、．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 根据中心对称的性质可得，，与关于点成中心对称，进而可证明，可得，则，进而可逐项判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，，与关于点成中心对称，故选项、正确，不符合题意； ， ， ， ，故选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出，故A选项不正确，符合题意． 故选：A ． 6. 若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（ ） A. B. C. a D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“□”的表达式． 【详解】解： ， 要求结果为整式，分母中的a需被分子中的因子约掉．当“□”为时，分子为，分母为，约分后得．此时分母为常数3，不含字母，符合整式定义． 故选C． 7. 在中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图方法，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边． 由作图痕迹可知平分，平分，结合角平分线和平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， 故选B． 8. 下面是嘉嘉求解方程的过程，存在一些错误，请指出嘉嘉从（ ）开始出现了错误． 方程两边都乘，得，………………第一步 解这个方程得：．…………………………………………第二步 检验：将代入第一步方程，左边右边………………第三步 所以，是原方程的根．………………………………第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 根据解分式方程的步骤判断即可． 【详解】解：第一步：方程两边同乘，得．此步骤正确； 第二步：解方程，得．此步骤代数运算正确； 第三步：检验时，嘉嘉将代入去分母后的方程，发现左右相等．但分式方程检验应代入原方程，而非去分母后的方程．当时，原方程分母为，无意义，故是增根，应舍去； 第四步：因第三步检验错误，导致错误结论； 综上，错误从第三步开始． 故选：C 9. 已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（ ） A. ◎代表 B. ★代表 C. ⊙代表 D. 代表等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 【详解】证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 10. 已知不等式解是，下列有可能是函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式关系．由不等式的解是可得直线与x轴交点为且y随x增大而减小，进而求解． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小， 故选：D． 11. 如图，和是两个完全相同的三角形，，，将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合，连接，，有下列结论： 结论1：以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形； 结论2：当最短时，． 下列判断正确的是（ ） A. 只有结论1正确 B. 只有结论2正确 C. 结论1、结论2都正确 D. 结论1、结论2都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】当点在点，点之间时，证明四边形是平行四边形；当点在点的右侧时，证明四边形是平行四边形，即可对结论1作出判断；根据垂线段最短可得当，根据平行四边形的性质可得，即可对结论2作出判断． 【详解】解：当点在点，点之间时， ∵和是两个完全相同的三角形，，， ∴， ∴， ∴， 将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 当点在点的右侧时， ∵和是两个完全相同的三角形，，， ∴， ∴， ∴， 将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形， ∴结论1正确； 当最短时， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与只相交不垂直， ∴结论2不正确； 综上分析可知，只有结论1正确，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，垂线段最短．掌握平移的性质是解题的关键． 12. 在等边中，D，E分别为，边上的动点，且，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，过点F作，交于点M．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 由等边三角形的性质推出，，，由三角形的外角性质得到，进而证明，推出，，得到，可知，由等腰三角形的性质和平行线的性质推出，求出． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 故A正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（）， 故B正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故C正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故D错误； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分） 13. 若关于m的不等式可化为，则m的取值范围为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时乘（或除一个不为0的）负数，不等号方向改变，观察已知条件中的不等式和其解集，然后根据不等式的性质列出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于m的不等式可化为， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知，且，则透镜焦距_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算、代数式求值等知识点，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 根据异分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴，解得∶． 故答案为10． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵B（﹣4，2） ∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3） 故答案为：（1，3） 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 16. 如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和和外角和定理是解题的关键． 由完全拼成一个圆环需要的正六边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正六边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形每个外角的度数为：， ∴正六边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵n个全等正六边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正n边形， ∴，解得：． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知代数式． （1）化简T； （2）T的值能等于吗？为什么？ 【答案】（1） （2）T的值不能等于，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简、解分式方程等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则以及分式有意义的条件是解此题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可； （2）根据题意得出，求出a的值，根据分式有意义的条件进行判断即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：T的值不能等于，理由如下： 而时原分式无意义， 所以T的值不能等于． 18. 老师黑板上出示了题目：“x取哪些非负整数时，不等式 ①与 ②都成立？”并给出了部分解答过程（如图所示）： 由①得， 已知其中“■”表示数字，“★”表示不等号． （1）请根据以上信息判断“■”表示的数字是 ； （2）请按下面的步骤完成老师出示的题目． 解：解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以不等式组的解集为 ． 所以x可取的非负整数值为 ． 【答案】（1）6 （2）；；见解析；；0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和不等式的基本性质是解题的关键． （1）观察解不等式①的过程，根据不等式的基本性质求出■和★即可； （2）根据（1）中所求■得到①，按照解一元一次不等式的一般步骤，求出①②的解集，并表示在数轴上，从而求出不等式组的解集和非负整数解即可． 【小问1详解】 解：（1）由①得：， ， ， ， ∴， ∴，★表示＜， ∴“■”表示的数字是6， 故答案为：6； 【小问2详解】 由（1）可知， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， 解集在数轴上表示为： ， ∴不等式组的解集为：， ∴x可取的非负整数值为0和1， 故答案为：，，，0和1． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，已知的顶点和点D都在格点上（小正方形的顶点称为格点），在方格纸内将经过一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F． （1）请直接写出平移的方向，平移距离； （2）画出平移后的； （3）求线段平移至时扫过的图形面积． 【答案】（1）平移的方向：点A到点D的方向；平移的距离是线段的长度： （2）见解析 （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查平移变换、利用网格面积等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由点A的对应点为点D可得平移方向，再根据勾股定理求出的长即为平移距离； （2）先根据平移的性质确定点E、F，然后顺次连接即可； （3）直接利用平行四边形的面积公式即可． 【小问1详解】 解：∵点A的对应点为点D， ∴平移的方向：点A到点D的方向， ∵ ∴平移的距离是线段的长度． 综上，平移的方向：点A到点D的方向；平移的距离是线段的长度：． 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 【小问3详解】 解：线段平移至时扫过的图形面积为． 20. 如图，中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-作垂线、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）以A为圆心，的长为半径画弧，交于点B和另一点，以点B和另一点为圆心，大于两点间的距离为半径画弧，交于一点，连接点A和该点的直线即为所求； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问2详解】 解：在中，，， ， 在中，由勾股定理得：． 21. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判断，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）根据平行四边形的性质得出，则，再根据中点的定义，得出，即可求证四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，再根据三角形的中位线定理，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别为线段、的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 22. 观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键． （1）先运用平方差公式化简即可解答； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； （3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； 【详解】解：（1）∵， ∴的结果是7的27倍． 故答案为：27． （2）设偶数为，则比大7的数为， 由题意得：， ， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差都能被7整除． （3）∵比整数k大3的数为， ∴， ∵， ∴被6整除的余数是3， ∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 23. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器人每分钟分拣数量的倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2分钟． （1）问A型机器人每分钟分拣快递多少件？ （2）已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A，B两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）A型号的机器人每分钟分拣快递150件 （2）该分拣仓库购进30台A型号的机器人时费用最低，所需最低费用为130万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，一次函数应用等知识点，审清题意、正确求得分式方程和一次函数解析式成为解题的关键． （1）设B型机器人每分钟分拣快递x件，则A型机器人每分钟分拣快递件．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买m个A型号机器人，所需费用为w万元．先根据“必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件”列不等式求得m的取值范围，然后再列出一次函数解析式并运用一次函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：设B型机器人每分钟分拣快递x件，则A型机器人每分钟分拣快递件． 依题意得：，解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 则（件）． 答：A型号的机器人每分钟分拣快递150件． 【小问2详解】 解：设购买m个A型号机器人，所需费用为w万元． 依题意得： 解得：， 又∵． ，， 随m的增大而增大， 当时，W取最小值，此时（万元）． ∴该分拣仓库购进30台A型号的机器人时费用最低，所需最低费用为130万元． 24. 问题探索： 活动课上，嘉嘉以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，（如图2）． （1）当与所夹锐角时，旋转角的度数为 ； （2）在绕点顺时针旋转过程中，嘉嘉发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． （3）当是以为腰的等腰三角形时，求旋转角的度数． 拓展延伸： （4）如图3，连接，，并分别延长，使两线交于点． ①直接写出四边形是平行四边形时旋转角的度数以及此时四边形的面积与的面积之比． ②若将“问题探索”中“”这一条件改为“”，其它条件不变．请直接写出当为直角三角形时，之间的关系． 【答案】（1）25；（2）证明见解析；（3）为或；（4）①；；② 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和得，，根据旋转的性质得，，，，先确定，然后根据计算即可；； （2）根据旋转的性质得，，，然后证明即可得证； （3）分两种情况：当时；当时，分别求解即可； （4）①根据旋转的性质得，，，由等边对等角得，根据平行四边形的性质得，，再结合建立方程求解即可；然后设设点到的距离为，利用三角形和平行四边形的面积公式即可得出答案； ②根据等腰三角形的性质及旋转的性质得，，，∴，，然后分三种情况：当时；当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∴， ∵将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为， ∴，，，， ∵， ∴， 在中， ， 即旋转角的度数为， 故答案为：； （2）证明：由（1）知： ，，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， 在中， ； 当时， ∵， ∴， ∴， 在中， ； 综上所述，旋转角的度数为或； （4）①如图3， 由（1）知：，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， ∴， ∵，即， ∴与的距离为，即平行四边形的边上的高为， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形时旋转角的度数为，此时四边形的面积与的面积之比为； ②如图3， ∵中，，， ∴， ∵将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为， ∴，，， ∴， ， 当时， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 当时， ∵， 即， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，之间的关系为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，图形的旋转，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键掌握等腰三角形和旋转的性质以及分类讨论的思想． 第1页/共1页 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