22.1.1二次函数（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 一、知识梳理 1．二次函数 （1）二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是 ，c是 ．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． （2）二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做 . 2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 二、知识精练 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 3．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 6．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 二、填空题 9．把变成一般式，它的常数项为 ． 10．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 11．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 12．若是关于的二次函数，则的值为 ． 13．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题 14．设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 15．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 16．指出下列二次函数中相应的，，的值： (1)； (2)； (3)． 17．已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 2．D 【分析】根据正方形的面积公式判断函数类型即可． 本题考查了正方形的面积，函数的判定，熟练掌握函数的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得正方形的面积公式为，其中是面积，是边长，是二次函数， 故A，B，C都错误，D正确， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 10．①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 11． 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 14．(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 15．(1)是二次函数 (2)不是二次函数 (3)是二次函数 (4)不是二次函数 (5)是二次函数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：是二次函数，符合题意； （2）解：不是二次函数，不符合题意； （3）解：是二次函数，符合题意； （4）解：不是二次函数，不符合题意； （5）解：是二次函数，符合题意． 16．(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】本题考查的是二次函数的定义，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）直接根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； （2）先化为一般形式，再根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； （3）直接根据是二次项系数，是一次项系数，是常数项解答即可； 【详解】（1）， ，，； （2）， ，，； （3）， ，，． 17．(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$