专题15.1 图形的轴对称（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题15.1 图形的轴对称 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：轴对称图形 1 知识点梳理03：轴对称与轴对称图形的性质 2 知识点梳理04：线段的垂直平分线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：轴对称图形的识别 3 考点2：成轴对称的两个图形的识别 3 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 4 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 4 考点5：台球桌面上的轴对称问题 5 考点6：轴对称中的光线反射问题 6 考点7：折叠问题 7 考点8：线段垂直平分线的性质 7 考点9：线段垂直平分线的判定 8 考点10：写出命题的逆命题 9 考点11：作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 9 考点12：做垂线（尺规作图） 10 考点13：求对称轴条数 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：轴对称图形 轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 知识点梳理02：轴对称 1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 知识点梳理03：轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点梳理04：线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 考点1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）下列标志中，是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（    ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 考点2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（2022·福建漳州·一模）如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】（20-21八年级下·全国·课前预习）把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ． 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【变式训练】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． (1)作出关于y轴对称的图形．其中分别A、B、C和对应，则线段的长度为 ； (2)仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小． 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点是外的一点，点与点关于对称，点与点关于对称，连接并延长分别交、于C、D两点，连接、、、．若，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 考点5：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式训练】（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ． 考点6：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 ．    考点7：折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东汕头·期中）将一长方形纸片按图所示的方式折叠，、为折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 考点8：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【变式训练】（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 考点9：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 考点10：写出命题的逆命题 【典例精讲】直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 考点11：作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的周长． 考点12：做垂线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，图①和图②分别是一个轴对称图形，请按要求分别作出图形的对称轴，并简要说明作图方法． (1)在图①中，只允许使用三角尺． (2)在图②中，只允许使用直尺和圆规． 【变式训练】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 考点13：求对称轴条数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【变式训练】（21-22七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．    (1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴． (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 4．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 基础夯实 1．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，一张三角形纸片，，现将纸片的一角向内折叠，折痕，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，的垂直平分线交于点，，的周长是12， 的周长是 ． 7．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 8．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 9．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 10．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 培优拔高 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 12．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则 ． 15．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是 ． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 18．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 19．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）数学实验课老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； (2)如图②，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点． ①求证：四边形是筝形： ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.1 图形的轴对称 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：轴对称图形 1 知识点梳理03：轴对称与轴对称图形的性质 2 知识点梳理04：线段的垂直平分线 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：轴对称图形的识别 3 考点2：成轴对称的两个图形的识别 4 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 4 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 6 考点5：台球桌面上的轴对称问题 8 考点6：轴对称中的光线反射问题 9 考点7：折叠问题 11 考点8：线段垂直平分线的性质 13 考点9：线段垂直平分线的判定 14 考点10：写出命题的逆命题 17 考点11：作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 18 考点12：做垂线（尺规作图） 19 考点13：求对称轴条数 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 38 知识点梳理01：轴对称图形 轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 知识点梳理02：轴对称 1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 知识点梳理03：轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点梳理04：线段的垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 考点1：轴对称图形的识别 【典例精讲】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）下列标志中，是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是找到对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后重叠，根据概念一一判断即可； 【规范解答】解：根据轴对称图形的概念一一判断可知：第1，2，4是轴对称图形，共3个， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（    ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 【答案】B 【思路引导】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 【规范解答】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形； 擦去①和③，剩下的图形不是轴对称图形； 故选：B． 考点2：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（2022·福建漳州·一模）如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】利用轴对称的性质可得阴影部分面积是正方形面积的一半，即可解答； 【规范解答】解：正方形的面积=4×4=16cm2， AC是正方形的对角线， ∴阴影部分的面积==8 cm2； 故选：B． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，掌握轴对称的两个图形的面积相等是解题关键． 【变式训练】（20-21八年级下·全国·课前预习）把一个图形沿着 折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形 关于这条直线 ．这条直线叫做 ．折叠后重合的点叫对应点，也叫 ． 【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点 考点3：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【规范解答】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 【变式训练】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． (1)作出关于y轴对称的图形．其中分别A、B、C和对应，则线段的长度为 ； (2)仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小． 【答案】(1)作图见解析，6 (2)见解析 【思路引导】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点即可．根据变换后的图形可直接得出的长度； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求，线段AA1的长度为6， 故答案为：6； （2）点P的位置如图所示． 【考点剖析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 考点4：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点是外的一点，点与点关于对称，点与点关于对称，连接并延长分别交、于C、D两点，连接、、、．若，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【规范解答】解：∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【规范解答】（1）解： 、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 考点5：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【思路引导】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【规范解答】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式训练】（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ． 【答案】41 【思路引导】作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'，得到BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'， 则EG= E'G，HF=HF'， ∴EG+HG+HF=E'G+HG+HF'， 连接E'F'，交AB、CD于H、G点，BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长， 过点E'作E'H⊥BC，交BC的延长线于H， 则F'H=14+2×13=40，E'H =9， 在Bt△FH中，由勾股定理得E'F'=41， ∴BG+G+HF的最小值为：41， 故答案为：41． 【考点剖析】本题主要考查了勾股定理，轴对称一最短路线问题，通过作对称点，将BG+HG+HF的最小值转化为E'F'的长是解题的关键． 考点6：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【规范解答】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称，点的坐标，解题的关键是能够正确找到循环的数值，从而得到规律，按照反弹规律依次画图即可． 【规范解答】    根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到点之后，再循环反射，每次一循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 考点7：折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级上·广东汕头·期中）将一长方形纸片按图所示的方式折叠，、为折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠的性质，熟知其性质是解题的关键． 根据折叠的性质进行解题即可． 【规范解答】解：由折叠知，，， 而， ∴， 即． 故选：B ． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据三角形内角和定理及平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质可得出，，由，利用平行线的性质可得出，再结合，即可求出的度数，于是得到结论． 【规范解答】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，． ， ， ， 即， ． ， 故选：A． 考点8：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【规范解答】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【规范解答】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 考点9：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线定理的逆定理； （2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分； （3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作． 【规范解答】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【规范解答】解：如图，点P即为所求． 考点10：写出命题的逆命题 【典例精讲】直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形 【思路引导】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原命题的逆命题即可． 【规范解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形． 【变式训练】（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【答案】D 【思路引导】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【规范解答】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 考点11：作已知线段的垂直平分线作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【规范解答】解：如图，点P即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段的加减计算． （1）由作法可知垂直平分，即，进而计算即可； （2）由题意可知，，进而可知． 【规范解答】（1）解：由作法可知垂直平分， 所以， 所以， 因为， 所以； （2）由作法可知垂直平分， 所以， 因为的周长为， 即， 所以 即 所以的周长为． 考点12：做垂线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，图①和图②分别是一个轴对称图形，请按要求分别作出图形的对称轴，并简要说明作图方法． (1)在图①中，只允许使用三角尺． (2)在图②中，只允许使用直尺和圆规． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了画对称轴，画垂线以及作垂直平分线，熟练掌握轴对称的性质，即可求解． （1）用三角尺在弧上确定两点，连接交于点，过点画的垂线，即可求解； （2）作的垂直平分线，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，用三角尺在弧上确定两点，连接交于点，过点画的垂线，直线，即为所求； （2）解：如图所示，作的垂直平分线，则直线，即为所求； 【变式训练】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图 作法：1．连接交于点， 2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； （2）解：如图 作法：1．连接，， 2．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：如图 作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 考点13：求对称轴条数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【规范解答】解：该轴对称图形有2条对称轴， 如图所示． 故答案为：2． 【变式训练】（21-22七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．    (1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴． (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． 【答案】(1)是，4 (2) 【思路引导】（1）根据轴对称图形的定义和正方形的对称性求解即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形； （2）停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：根据轴对称图形的定义可知：这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．它的对称轴如下图虚线所示：    故答案为：是，4； （2）设原图中最小的等腰直角三角形的面积为， 则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为， 空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为， ∴这个地板砖的面积为：， ∴停留在阴影区域的概率是： 答：求小老鼠停留在阴影区域的概率是． 【考点剖析】本题考查轴对称图形的识别和几何概率，掌握轴对称图形的定义和几何概率计算公式是解题的关键． 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【思路引导】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【规范解答】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【思路引导】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【规范解答】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 3．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【规范解答】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 4．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【规范解答】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【规范解答】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 基础夯实 1．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【规范解答】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果． 【规范解答】解：由轴对称图形定义可知：A，B，D不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形， 故选：C． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，一张三角形纸片，，现将纸片的一角向内折叠，折痕，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】利用平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵纸片的一角向内折叠， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，的垂直平分线交于点，，的周长是12， 的周长是 ． 【答案】20 【思路引导】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线得到，，根据的周长是12得到，进而即可求解． 【规范解答】解：是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20 7．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质的运用，三角形内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．折叠得到，，再根据，可得． 【规范解答】解：∵把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【规范解答】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 9．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1 ）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2 ）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ∴， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质，知， ∴． 10．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【思路引导】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【规范解答】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 培优拔高 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【规范解答】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分，， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 12．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，由折叠的性质可得，，再由邻补角的定义可得，从而可求得，由三角形的内角和可求，从而可求得，再由邻补角的定义即可求的度数．解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【规范解答】解：∵将沿折叠，使点落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 13．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：． 14．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，熟练掌握四边形内角和定理是解题的关键．由翻折的性质得到，根据四边形内角和定理得到，再利用邻补角的性质求出答案． 【规范解答】解：将折叠，为折痕，A点落在的位置，若， ， 在四边形中，， ， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【规范解答】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是 ． 【答案】或或 【思路引导】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分当点在线段上时，当点D在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【规范解答】解：当点在线段上且时，如图， 由折叠可知：， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵， ∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，当与的边垂直时，的度数是或或． 故答案为：或或． 17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 18．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 19．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【思路引导】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）数学实验课老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； (2)如图②，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点． ①求证：四边形是筝形： ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，求的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②，，；③ 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点， （1）根据题意得，，即可证明； （2）①先证，再根据“筝形”的定义判断即可，②分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得；③有折叠性质可证四边形是正方形，设，根据勾股定理即可求解． 熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键． 【规范解答】（1）解：由折叠性质得：，， ∴四边形是“筝形” 故答案为：是； （2）解：①如图，连接， ∵是锐角的高， ∴ 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是四边形是“筝形”； ②当时， 由折叠得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴ ∴ ∵， ∴， 当时， ∴， ∴ ∵， ∴， 综上：的度数为，，； ③由折叠性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$