9.3 平行四边形 暑假巩固练习2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（　　）cm． A.6 B. C.8 D.10 2.如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 3.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 4.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝_________cm． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则▱ABCD的面积为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 7.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 二、有关平行四边形的角的性质 1.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A.1：2：3：4 B.1：2：2：1 C.1：2：1：2 D.1：1：2：2 2.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（　　） A.25° B.40° C.65° D.75° 3.已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 4.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3，则∠D的度数是 　　． 5.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为 　　． 6.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 7.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF． （1）求证DF∥BE； （2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.平行四边形的一边长为6，另一边长为12，则对角线的长可能是（　　） A.6 B.5 C.22 D.10 2.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　） A.1 cm＜OA＜4 cm B.2 cm＜OA＜8 cm C.2 cm＜OA＜5 cm D.3 cm＜OA＜8 cm 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 5.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列等式一定正确的是（　　） A.AD＝CD B.AC＝BD C.AB＝CD D.AD＝AO 2.小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（　　） A.对角互补 B.邻角互补 C.对边平行 D.对角线互相平分 3.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 4.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 5.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　． 6.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于结论：①BC＝EF；②AB∥DE；③△ABC≌△DEF；④四边形ACFD为平行四边形，正确的是（　　） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 2.四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.87°、103°、87° B.87°、93°、87° C.87°、93°、93° D.87°、103°、104° 3.如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 4.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是　　形，它的周长是__________cm． 5.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EC⊥DC，且∠CDE＝∠B，求证：四边形ADEC是平行四边形． 7.如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（　　） A.①② B.①④ C.②④ D.①③ 2.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 3.在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　） A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 6.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 7.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 2.某班同学在学完平行四边形的判定后，开展了一次课外活动课，课上探索出如下结论，其中正确的是（　　） A.当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时，此四边形一定为平行四边形 B.当四边形的一组对角相等且一组对边相等时，此四边形一定为平行四边形 C.当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时，此四边形一定为平行四边形 D.当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时，此四边形一定为平行四边形 3.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 4.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 6.尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了！ （1）证明AF∥CE； （2）指出小丽作法中存在的问题． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BE平分∠ABD，交AC于点E，DF平分∠CDB，交AC于点F，点G在BE的延长线上，且BE＝EG，连接DG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，DF＝4，AC＝6，求四边形DGEF的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAE＝∠CDF， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABEABD，∠CDFCDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF， ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC6＝3， ∴AE＝OEAO， ∴EF＝OE+OF3， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（3+4）＝14． 九、反证法 1.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 2.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 3.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　） A.a与c相交 B.c∥b C.a∥b D.a与b相交 4.用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：　　　　　　　　　　． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 6.人教版初中数学教科书七年级下册第18﹣19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 　　， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（ 　　）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（ 　　）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）　　； （2）　　； （3）请选择合理的依据 　　． A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 7.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”. 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2　　　180°． 求证：直线l1与l2　　　． 证明：假设l1　　　l2， 则∠1+∠2　　　180°（　　　　　　　　　　　　　）． 这与　　　　矛盾，故　　　　　不成立． 所以　　　　　　　． 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（　　）cm． A.6 B. C.8 D.10 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3 cm，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵将纸片沿对角线AC对折， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠DAC＝∠ACE， ∴AE＝EC， ∵△DEC是等边三角形， ∴DE＝EC＝CD＝3 cm， ∵2AB＝6 cm， ∴AD＝6 cm， 故选：A． 2.如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 3.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，AB＝5， ∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝3， ∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2， 故选：C． 4.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝_________cm． 【答案】2 【解析】∵▱ABCD， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DEC＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∵CD＝AB＝6 cm， ∴CE＝6 cm， ∵BC＝AD＝8 cm， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2（cm）． 故答案为2． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则▱ABCD的面积为 　　． 【答案】32 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5， ∴∠AEB＝∠CBE， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB＝CBE， ∴AB＝AE＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴CE， ∴▱ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32， 故答案为：32． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠F＝∠FCD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）∵E是AD的中点， ∴， ∵， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 7.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 【答案】解：连接AC， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴BC+CD＝18， 设BC为x， ∵S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝（18﹣x）×5， 解得x＝10，即BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积为10×4＝40． 二、有关平行四边形的角的性质 1.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A.1：2：3：4 B.1：2：2：1 C.1：2：1：2 D.1：1：2：2 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， 即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D， 故选：C． 2.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，∠B＝65°，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（　　） A.25° B.40° C.65° D.75° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，∠ADC＝∠B，AD∥BC，AB∥DC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB＝AE， ∴AE＝DC，∠AEB＝∠B＝65°， ∴∠DAE＝∠ADC，∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠DCA＝∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°， 在△EAD和△CDA中， ， ∴△EAD≌△CDA（SAS）， ∴∠AED＝∠DCA＝75°， 故选：D． 3.已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 【答案】C 【解析】在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 4.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3，则∠D的度数是 　　． 【答案】60° 【解析】∵平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3， ∴∠A＝2∠B，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D， ∴3∠B＝180°， ∴∠B＝60°， ∴∠D＝60°； 故答案为：60°． 5.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为 　　． 【答案】118° 【解析】∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠C+∠ABC＝180°，∠CBE+∠BED＝180°， ∵∠C＝56°， ∴∠ABC＝124°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝62°， 则∠BED＝180°﹣∠CBE＝118°， 故答案为：118°． 6.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，AD＝BC＝6， ∴∠FAD＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∵AB＝4， ∴BE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝2， （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠F， ∵∠F＝62°， ∴∠F＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝56°， ∴∠D＝56°． 7.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF． （1）求证DF∥BE； （2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵CF＝AE， ∴DE＝BF，∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DF∥BE． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF∠ABC＝35°， ∵四边形BEDF是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EDF＝35°， ∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°. 三、平行四边形的对角线互相平分 1.平行四边形的一边长为6，另一边长为12，则对角线的长可能是（　　） A.6 B.5 C.22 D.10 【答案】D 【解析】∵平行四边形的一边长为6，另一边长为12， ∴12﹣6＜对角线的长＜12+6， 即6＜对角线的长＜18， 故选：D． 2.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（　　） A.28 B.26 C.24 D.20 【答案】C 【解析】在平行四边形ABCD中， 2（AD+CD）＝36， ∴AD+CD＝18， 易证△AOE≌△COF， ∴AE＝CF，OE＝OF＝3， ∴EF＝6， ∴CF+CD+ED+EF ＝AE+ED+EF+CD ＝AD+CD+EF ＝18+6 ＝24， 故选：C． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　） A.1 cm＜OA＜4 cm B.2 cm＜OA＜8 cm C.2 cm＜OA＜5 cm D.3 cm＜OA＜8 cm 【答案】A 【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm， ∴2 cm＜AC＜8 cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AOAC， ∴1 cm＜OA＜4 cm， 故选：A． 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB，AC＝2OA，AB＝CD， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16， ∴BD﹣AC＝16﹣10＝6， ∴2OB﹣2OA＝6， ∴OB﹣OA＝3． 故答案为：3． 5.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝14，AB＝6＝CD， ∴，， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝6+4+7＝17． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 【答案】解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC， ∴BC＝8，则AC6， ∴AO＝CO＝3， ∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列等式一定正确的是（　　） A.AD＝CD B.AC＝BD C.AB＝CD D.AD＝AO 【答案】C 【解析】A．平行四边形的邻边不一定相等， 故A不符合题意； B．平行四边形对角线不一定相等， 故B不符合题意； C．平行四边形对边相等， 故C符合题意； D．对角线的一半与边不一定相等， 故D不符合题意． 故选：C． 2.小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（　　） A.对角互补 B.邻角互补 C.对边平行 D.对角线互相平分 【答案】A 【解析】A、平行四边形的对角相等，不一定互补，故A符合题意； B、C、D中的说法正确，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 3.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°， ∴CD＝AB＝6，OC＝OAAC＝5，∠ADC＝∠ABC＝140°， 故A不符合题意，B不符合题意，C不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝40°， 假设∠BAC＝20°成立，则∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝20°， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，与已知条件不符， ∴∠BAC＝20°不成立， 故D符合题意， 故选：D． 4.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 【答案】8 【解析】设平行四边形的面积为S， ∵阴影部分面积是▱ABCD面积的， ∴SSSS， ∴n＝8， 经检验，n＝8是方程的解， 故答案为：8． 5.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　． 【答案】4 【解析】∵S＝ah，S＝12，h＝3， ∴a＝4． ∴△ABE的平移距离为4． 故答案为：4． 6.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，对于结论：①BC＝EF；②AB∥DE；③△ABC≌△DEF；④四边形ACFD为平行四边形，正确的是（　　） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】由平移性质可得：BC＝EF，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF， ∴①②正确； 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF， ∴③正确； ∵AC＝DF，AC∥DF， ∴四边形ACFD为平行四边形， ∴④正确， 故选：A． 2.四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.87°、103°、87° B.87°、93°、87° C.87°、93°、93° D.87°、103°、104° 【答案】B 【解析】当∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°时， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴ABCD是平行四边形， ∴四个选项中只有B选项满足题意， 故选：B． 3.如图，给出了四边形的部分数据，再添加一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】D 【解析】可得此四边形是平行四边形，则这条线段是④，理由如下： 如图，∵∠DAE＝∠D＝63°， ∴AB∥CD， ∵AB＝9，CD＝9， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：D． 4.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是　　形，它的周长是__________cm． 【答案】平行四边；10 【解析】如图，连接对应点得到的图形是平行四边形； 它的周长为：2+2+3+3＝10 cm． 故答案为：平行四边，10． 5.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 【答案】AE＝CF 【解析】添加条件为：AE＝CF， 理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 故答案为：AE＝CF． 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EC⊥DC，且∠CDE＝∠B，求证：四边形ADEC是平行四边形． 【答案】证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 又∵EC⊥DC， ∴AD∥EC． ∵AB＝AC， ∴∠DCA＝∠B． 又∵∠CDE＝∠B， ∴∠CDE＝∠DCA， ∴ED∥AC， ∴四边形ADEC是平行四边形． 7.如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形． 【答案】证明：（1）∵B是AC的中点， ∴AB＝BC， 在△ABE与△BCD中， ， ∴△ABE≌△BCD（SSS）； （2）∵△ABE≌△BCD， ∴∠ABE＝∠BCD， ∴BE∥CD， ∵BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（　　） A.①② B.①④ C.②④ D.①③ 【答案】B 【解析】A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； B、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确． 故选：B． 2.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 【答案】C 【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴①能判定； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴②能判定； ∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形， ∴③不一定能； ∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形， ∴④不一定能； 以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②； 故选：C． 3.在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　） A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 【答案】C 【解析】任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种． 故选：C． 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 【答案】B 【解析】A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 【答案】B 【解析】A、OA＝OB，OC＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意； B、OA＝OC，OB＝OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、OB＝AB，OD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、OA＝OB，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 【答案】①② 【解析】①∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ODA， 又∵OB＝OD，∠BOC＝∠DOA， ∴△OBC≌△ODA（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②符合题意； ③由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　　　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】DO＝BO 【解析】添加条件DO＝BO， 证明如下：∵AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：DO＝BO． 6.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， 在△BEO与△DFO中， ∴△BEO≌△DFO（AAS）， ∴EO＝FO，BO＝DO， 又∵AF＝CE， ∴AF﹣FO＝CE﹣EO， ∴AO＝CO， 又∵BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 【答案】证明：∵BD是△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD， ∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， 若AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； 若BE＝DF，则CE＝AF，即四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意； 若∠BAE＝∠DCF，则∠EAF＝∠ECF， ∵AD∥BC， ∴∠EAF+∠AEC＝180°，∠ECF+∠AFC＝180°， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意； 若AE＝CF，无法证明四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 2.某班同学在学完平行四边形的判定后，开展了一次课外活动课，课上探索出如下结论，其中正确的是（　　） A.当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时，此四边形一定为平行四边形 B.当四边形的一组对角相等且一组对边相等时，此四边形一定为平行四边形 C.当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时，此四边形一定为平行四边形 D.当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时，此四边形一定为平行四边形 【答案】D 【解析】A、四边形的一组邻角相等且一组对角互补不一定是平行四边形，如等腰梯形，故此选项不符合题意； B、四边形的一组对角相等且一组对边相等不一定为平行四边形，故此选项不符合题意； C、四边形的一组邻角相等且一组对边平行不一定是平行四边形，如直角梯形，故此选项不符合题意； D、四边形的一组对角相等且一组邻角互补，一定是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 3.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】A、∵一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形， ∴选项A不符合题意； B、∵一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形， ∴选项B不符合题意； C、∵一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， ∴选项C不符合题意； D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， ∴选项D符合题意； 故选：D． 4.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 【答案】8 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】4 【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 6.尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了！ （1）证明AF∥CE； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【答案】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 又∵CF＝AE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥CE； （2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意． 故小丽的作法有问题． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BE平分∠ABD，交AC于点E，DF平分∠CDB，交AC于点F，点G在BE的延长线上，且BE＝EG，连接DG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，DF＝4，AC＝6，求四边形DGEF的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAE＝∠CDF， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABEABD，∠CDFCDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF， ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC6＝3， ∴AE＝OEAO， ∴EF＝OE+OF3， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（3+4）＝14． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAE＝∠CDF， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABEABD，∠CDFCDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF， ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC6＝3， ∴AE＝OEAO， ∴EF＝OE+OF3， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（3+4）＝14． 九、反证法 1.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 【答案】D 【解析】根据反证法的步骤，得第一步应假设a＜b不成立，即a≥b． 故选：D． 2.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45° 【答案】A 【解析】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 3.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　） A.a与c相交 B.c∥b C.a∥b D.a与b相交 【答案】A 【解析】反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时， 应假设a与c相交， 故选：A． 4.用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：　　　　　　　　　　． 【答案】同位角不相等，两条直线平行 【解析】用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：同位角不相等，两条直线平行， 故答案为：同位角不相等，两条直线平行． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 【答案】a≥3 【解析】用反证法证明“a＜3”时，应先假设a≥3． 故答案为：a≥3． 6.人教版初中数学教科书七年级下册第18﹣19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 　　， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（ 　　）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（ 　　）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）　　； （2）　　； （3）请选择合理的依据 　　． A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】证明：假设∠BGF≠∠DHF， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 故答案为：∠BGF≠∠DHF；同位角相等，两直线平行；C． 7.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”. 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2　　　180°． 求证：直线l1与l2　　　． 证明：假设l1　　　l2， 则∠1+∠2　　　180°（　　　　　　　　　　　　　）． 这与　　　　矛盾，故　　　　　不成立． 所以　　　　　　　． 【答案】解：已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1+∠2≠180°． 求证：直线l1与l2不平行． 证明：假设l1∥l2， 则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 这与，∠1+∠2≠180°矛盾，故l1∥l2，不成立． 所以l1与l2不平行． 故答案为：≠，不平行，∥，＝，两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°，l1∥l2，l1与l2不平行． 学科网（北京）股份有限公司 $$