第17章 因式分解 同步中考 考点训练-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十七章 因式分解 同步中考 考点训练 考点 1 因式分解 1.［2025 云南中考］分解因式：�3 − 9� = ( ) A.�(� − 3)(� + 3) B.�(�2 + 9) C.(� − 3)(� + 3) D.�2(� − 9) 解析：原式= �(�2 − 9) = �(� − 3)(� + 3) ，故选 A. 2.［2025 山东枣庄中考］因式分解：�2� + 2�� = __________. 解析：�2� + 2�� = ��(� + 2)，故答案为��(� + 2) . 3.［2025 甘肃临夏州中考］因式分解：�2 − 1 4 = ______________． 解析：原式= (� + 1 2 ) ⋅ (� − 1 2 ).故答案为(� + 1 2 )(� − 1 2 ) . 4.［2025 内蒙古赤峰中考］因式分解：3��2 − 3� = ________________． 解析：3��2 − 3� = 3�(�2 − 1) = 3�(� + 1)(� − 1).故答案为 3�(� + 1)(� − 1) . 5.［2025 山东威海中考］因式分解：(� + 2)(� + 4) + 1 = _________． 解析：原式= �2 + 4� + 2� + 8 + 1 = �2 + 6� + 9 = (� + 3)2.故答案为(� + 3)2 . 考点 2 因式分解的应用 6.［2025 江苏徐州中考］若�� = 2，�− � = 1，则代数式�2� −��2 的值等于___. 解析：∵ �� = 2，�− � = 1，∴ �2� −��2 = ��(� − �) = 2 × 1 = 2 ，故答案为 2. 7.［2025 四川凉山州中考］已知�2 − �2 = 12，且� − � =− 2，则� + � = ____． 解析：∵ �2 − �2 = 12，∴ (� + �)(� − �) = 12. ∵ � − � =− 2，∴ � + � =− 6 .故答案为−6 . 60/75 第十七章 因式分解 8.［2025 山东淄博中考］若多项式 4�2 −��� + 9�2 能用完全平方公式因式分解，则� 的值 是_____. 解析：∵ 多项式 4�2 −��� + 9�2 能用完全平方公式因式分解， ∴ 4�2 −��� + 9�2 = (2�)2 −��� + (3�)2 = (2� ± 3�)2 ， ∴ � =± 2 × 2 × 3 =± 12，故答案为±12 . 9.［2025 安徽中考］数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数� 能否表示为�2 − �2(�,� 均为自然数)”的问题. （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(� 为正整数): N 奇数 4的倍数 表示 结果 1 = 12 − 023 = 22 − 125 = 32 − 227 = 42 − 329 = 52 − 42⋯ 4 = 22 − 028 = 32 − 1212 = 42 − 2216 = 52 − 3220 = 62 − 42⋯ 一般 结论 2� − 1 = �2 − (� − 1)2 4� = ____ 按上表规律，完成下列问题： (i)24 = (_____)2 − (_____)2 解：4 = 4 × 1 = (1 + 1)2 − (1 − 1)2，8 = 4 × 2 = (2 + 1)2 − (2 − 1)2 ， 12 = 4 × 3 = (3 + 1)2 − (3 − 1)2，16 = 4 × 4 = (4 + 1)2 − (4 − 1)2 ， 20 = 4 × 5 = (5 + 1)2 − (5 − 1)2 ， 24 = 4 × 6 = (6 + 1)2 − (6 − 1)2 = 72 − 52 . 故答案为 7，5. (ii)4� = __________________; 解析：由(i)推导的规律可知 4� = 4 ⋅ � = (� + 1)2 − (� − 1)2 .故答案(� + 1)2 − (� − 1)2 . （2）兴趣小组还猜测：像 2,6,10,14,⋯ 这些形如 4� − 2(�为正整数)的正整数� 不能表示为 �2 − �2(�,� 均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下： 假设 4� − 2 = �2 − �2,其中�,� 均为自然数.分下列三种情形分析： 61/75 第十七章 因式分解 ①若�,�均为偶数，设� = 2�,� = 2�,其中�,� 均为自然数，则 �2 − �2 = (2�)2 − (2�)2 = 4(�2 −�2)为 4的倍数.而 4� − 2 不是 4的倍数，矛盾.故�,� 不 可能均为偶数. ②若�,�均为奇数，设� = 2� + 1,� = 2� + 1,其中�,� 均为自然数，则 �2 − �2 = (2� + 1)2 − (2� + 1)2 =___________________为 4的倍数.而 4� − 2 不是4的倍数， 矛盾.故�,� 不可能均为奇数. ③若�,�一个是奇数一个是偶数，则�2 − �2为奇数.而 4� − 2是偶数，矛盾.故� ,� 不可能一 个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 答案：4(�2 −�2 + � −�) 解析：(2� + 1)2 − (2� + 1)2 = (2� + 1 + 2� + 1) ⋅ (2� + 1 − 2�− 1) = 4(�2 −�2 + � −�) .故答案为 4(�2 −�2 + � −�) . 10.［2025 浙江嘉兴中考］观察下面的等式：32 − 12 = 8 × 1，52 − 32 = 8 × 2 ， 72 − 52 = 8 × 3，92 − 72 = 8 × 4，⋯ . （1）写出192 − 172 的结果； 解：192 − 172 = 8 × 9 . （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含�的等式表示，� 为正整数）； 解：由题意可得，(2� + 1)2 − (2� − 1)2 = 8� . （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的. 解：∵ (2� + 1)2 − (2� − 1)2 = [(2� + 1) + (2� − 1)][(2� + 1) − (2� − 1)] = (2� + 1 + 2� − 1) ⋅ (2� + 1 − 2� + 1) = 4� × 2 = 8� ， ∴ (2� + 1)2 − (2� − 1)2 = 8� 正确. 62/75 第十七章 因式分解 同步中考 考点训练 考点 1 因式分解 1.［2025 云南中考］分解因式：�3 − 9� = ( ) A.�(� − 3)(� + 3) B.�(�2 + 9) C.(� − 3)(� + 3) D.�2(� − 9) 2.［2025 山东枣庄中考］因式分解：�2� + 2�� = __________. 3.［2025 甘肃临夏州中考］因式分解：�2 − 1 4 = ______________． 4.［2025 内蒙古赤峰中考］因式分解：3��2 − 3� = ________________． 5.［2025 山东威海中考］因式分解：(� + 2)(� + 4) + 1 = _________． 考点 2 因式分解的应用 6.［2025 江苏徐州中考］若�� = 2，�− � = 1，则代数式�2� −��2 的值等于___. 7.［2025 四川凉山州中考］已知�2 − �2 = 12，且� − � =− 2，则� + � = ____． 8.［2025 山东淄博中考］若多项式 4�2 −��� + 9�2 能用完全平方公式因式分解，则� 的值 是_____. 9.［2025 安徽中考］数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数� 能否表示为�2 − �2(�,� 均为自然数)”的问题. （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(� 为正整数): N 奇数 4的倍数 表示 结果 1 = 12 − 023 = 22 − 125 = 32 − 227 = 42 − 329 = 52 − 42⋯ 4 = 22 − 028 = 32 − 1212 = 42 − 2216 = 52 − 3220 = 62 − 42⋯ 一般 结论 2� − 1 = �2 − (� − 1)2 4� = ____ 按上表规律，完成下列问题： (i)24 = (_____)2 − (_____)2 (ii)4� = __________________; 35/44 第十七章 因式分解 （2）兴趣小组还猜测：像 2,6,10,14,⋯ 这些形如 4� − 2(�为正整数)的正整数� 不能表示为 �2 − �2(�,� 均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下： 假设 4� − 2 = �2 − �2,其中�,� 均为自然数.分下列三种情形分析： ①若�,�均为偶数，设� = 2�,� = 2�,其中�,� 均为自然数，则 �2 − �2 = (2�)2 − (2�)2 = 4(�2 −�2)为 4的倍数.而 4� − 2 不是 4的倍数，矛盾.故�,� 不 可能均为偶数. ②若�,�均为奇数，设� = 2� + 1,� = 2� + 1,其中�,� 均为自然数，则 �2 − �2 = (2� + 1)2 − (2� + 1)2 =___________________为 4的倍数.而 4� − 2 不是4的倍数， 矛盾.故�,� 不可能均为奇数. ③若�,�一个是奇数一个是偶数，则�2 − �2为奇数.而 4� − 2是偶数，矛盾.故� ,� 不可能一 个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 10.［2025 浙江嘉兴中考］观察下面的等式：32 − 12 = 8 × 1，52 − 32 = 8 × 2 ， 72 − 52 = 8 × 3，92 − 72 = 8 × 4，⋯ . （1）写出192 − 172 的结果； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含�的等式表示，� 为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的. 36/44