第16章 整式的乘法 章测综合练习-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十六章 整式的乘法 章测综合练习 一、选择题 1.［2025 河北石家庄质检］�8 可以表示为( ) A.�3 + �5 B.(�2)6 C.�10 − �2 D.�4 ⋅ �4 解析：A 选项，�3与�5 不是同类项，不能合并，不符合题意；B选项，(�2)6 = �12，�12 ≠ �8， 不符合题意；C选项，�10与�2 不是同类项，不能合并，不符合题意；D选项，�4 ⋅ �4 = �8 ， 符合题意.故选 D. 2.［2025 河南信阳三模］下列计算正确的是( ) A.2�2 ⋅ � = 2�2 B.( − 3�2)3 =− 9�6 C.7�� − 5� = 2� D.(8�2�) ÷ (2��) = 4� 解析：2�2 ⋅ � = 2�3，故选项 A错误；( − 3�2)3 =− 27�6 ，故选项 B错误；7�� − 5�不能合 并，故选项 C错误；(8�2�) ÷ (2��) = 4� ，故选项 D正确.故选 D. 3.［2025 山西大同质检］若(�2 + 9)(� + 3)(� − 3) = �� − 81，则� = ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：(�2 + 9)(� + 3)(� − 3) = (�2 + 9) ⋅ (�2 − 9) = �4 − 92 = �� − 81 ，则� = 4 .故选 B. 4.［2025 黑龙江哈尔滨期末］若� + �与� + 4的乘积中不含�的一次项，则� 的值为( ) A.−4 B.4 C.0 D.1 解析：(� + �)(� + 4) = �2 + (� + 4)� + 4�.因为� + �与� + 4的乘积中不含� 的一次项， 所以�+ 4 = 0，所以� =− 4 .故选 A. 5.对于等式(� + �)2 = �2 + �2 ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是( ) 甲：无论�和� 取何值，等 式均不能成立 乙：只有当�=0 时，等 式才能成立 丙：当�=0或�=0 时， 等式成立 A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.只有丙正确 D.三人说法均不正确 解析：因为(� + �)2 = �2 + �2 + 2��，所以若(� + �)2 = �2 + �2 ，则 55/75 第十六章 整式的乘法 �2 + 2�� + �2 = �2 + �2，所以 2�� = 0,所以� = 0或� = 0 .故选 C. 6.已知�� = 5，�2�+� = 50，则�� 的值为( ) A.10 B.5 C.2 D.40 解析：因为�� = 5，�2�+� = 50，所以�2�+� = �2� ⋅ �� = (��)2 ⋅ �� = 50 ，所以52 ⋅ �� = 50， 所以�� = 50 ÷ 52 = 2 .故选 C. 7.若� = (� − 2)(� − 3)，� = (� − 1)(� − 4)，则�与� 的大小关系是( ) A.由�的取值而定 B.� = � C.� < � D.� > � 解析：∵ � = (� − 2)(� − 3) = �2 − 5� + 6 ，� = (� − 1)(� − 4) = �2 − 5� + 4，∴ � − � = 2 > 0，∴ � > � ，故选 D. 8.［2025 浙江绍兴期末］若�，�，�均为整式，且� ⋅ � = �，则称�(或�) 能整除�．例如， 由(� + 3)(� − 2) = �2 + � − 6，可知� + 3(或� − 2) 能整除�2 + � − 6．已知� − 2能整除�2 + �� − 7，则� 的值为( ) A.3 2 B.5 2 C.7 2 D.13 2 解析：根据题意可知(� + 7 2 )(� − 2) = �2 + �� − 7 ，即�2 + 3 2 � − 7 = �2 + �� − 7，所以� = 3 2 .故选 A. 9.我们知道，同底数幂的乘法法则为�� ⋅ �� = ��+�（其中� ≠ 0，�，� 为正整数）.类似地， 我们规定关于任意正整数�，� 的一种新运算：ℎ(� + �) = ℎ(�) ⋅ ℎ(�)，比如ℎ(2) = 3， 则ℎ(4) = ℎ(2 + 2) = 3 × 3 = 9 .若ℎ(2) = �(� ≠ 0)，则ℎ(2�) ⋅ ℎ(2 020) 的结果是( ) A.2� + 2 021 B.2�+2 022 C.��+1 010 D.2 022� 解析：因为ℎ(2) = �(� ≠ 0)，ℎ(� + �) = ℎ(�) ⋅ ℎ(�) ，所以ℎ(2�) ⋅ ℎ(2 020) = ℎ(2 + 2 + ⋯+ 2 �个) ⋅ ℎ(2 + 2 + ⋯+ 21 010个 ) = ℎ(2) ⋅ ℎ(2) ⋅ ⋯ ⋅ ℎ(2) �个 ⋅ ℎ(2) ⋅ ℎ(2) ⋅ ⋯ ⋅ ℎ(2) 1 010个 = �� ⋅ �1 010 = ��+1 010 ，故选 C. 二、填空题 10.［2025 山东聊城期末］计算：2 0242 − 2 025 × 2 023 = ___． 解析：20242 − 2025 × 2023 = 20242 − 2024 + 1 × 2024 − 1 = 20242 − (20242 − 1) = 20242 − 2 0242 + 1 = 1 .故答案为 1. 56/75 第十六章 整式的乘法 11.［2025 河南南阳质检］卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为 7.9 × 103 米/秒，则卫星运行 6 × 102 秒所走的路程约为___________米．（结果用科学记数法表示） 解析：卫星运行6 × 102 秒所走的路程为7.9 × 103 × 6 × 102 = 47.4 × 105 = 4.74 × 106（米）. 故答案为 4.74 × 106 . 12.［2025 常德质检］若(2 024 − �)(� − 2 021) + 10 = 0，则 4 045 − 2� 的值为____． 解析：设� = 2024 − �，� = � − 2 021，则�� + 10 = 0，� + � = 3 ，所以�� =− 10，所 以(� − �)2 = (� + �)2 − 4�� = 32 − 4 × ( − 10) = 49 ，所以 4045 − 2� = 2 024 − � − (� − 2021) = � − � =± 7.故答案为±7 . 13.1261 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们 将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， (� + �)7 展开的多项式中各项系数之和为_____. 解析：因为(� + �)1展开的多项式中各项系数之和是 2 = 21；(� + �)2 展开的多项式中各项 系数之和是 4 = 22；(� + �)3 展开的多项式中各项系数之和为 8 = 23;…,所以(� + �)�展开的 多项式中各项系数之和是2�，所以(� + �)7 展开的多项式中各项系数之和为27 = 128 .故答案 为 128. 三、解答题 14.计算： （1）�3 ⋅ ( − 2�2)3 ÷ ( 1 2 �) ； 解：原式= �3 ⋅ ( − 8�6) ÷ ( 1 2 �) =− 8�9 ÷ ( 1 2 �) =− 16�8 . （2）( − � + 3�)(7� − 2�) ； 解：原式=− 7�2 + 2�� + 21�� − 6�2 =− 7�2 + 23�� − 6�2 . （3）−(� + �)( − � + �) − (� − �)2 . 57/75 第十六章 整式的乘法 解：原式=− (�2 − �2) − (�2 − 2�� + �2) =− �2 + �2 − �2 + 2�� − �2 =− 2�2 + 2�� . 15.［2025 江西抚州期末］先化简，再求值： [(� − 2�)2 + (� + 2�)(� − 2�)] ÷ (2�)，其中�，�满足|� − 2| + (� + 3)2 = 0 . 解：原式= (�2 − 4�� + 4�2 + �2 − 4�2) ÷ (2�) = (2�2 − 4��) ÷ (2�) = � − 2� . 由|� − 2| + (� + 3)2 = 0，得� = 2，� =− 3，所以原式= 2 − 2 × ( − 3) = 8 . 16.［2025 河南开封祥符区期末］ （1）阅读下面的材料并填空： ①(1 − 1 2 ) × (1 + 1 2 ) = 1 − 1 22 ，反过来，得 1 − 1 22 = (1 − 1 2 ) × (1 + 1 2 ) = 1 2 × 3 2 ； ②(1 − 1 3 ) × (1 + 1 3 ) = 1 − 1 32 ，反过来，得 1 − 1 32 = (1 − 1 3 ) × (1 + 1 3 ) = __×__； ③(1 − 1 4 ) × (1 + 1 4 ) = 1 − 1 42 ，反过来，得 1 − 1 42 =________________= 3 4 × 5 4 . （2）利用上面材料中的方法和结论计算下题： (1 − 1 22 ) × (1 − 1 32 ) × (1 − 1 42 ) ×⋯ × (1 − 1 2 0212 ) × (1 − 1 2 0222 ) × (1 − 1 2 0232 ) . 解：根据材料中的方法和结论，得原式= (1 − 1 2 ) × (1 + 1 2 ) × (1 − 1 3 ) × (1 + 1 3 ) × (1 − 1 4 ) × (1 + 1 4 ) ×⋯ × (1 − 1 2 021 ) × (1 + 1 2 021 ) × (1 − 1 2 022 ) × (1 + 1 2 022 ) × (1 − 1 2 023 ) × (1 + 1 2 023 ) = 1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 ×⋯× 2 020 2 021 × 2 022 2 021 × 2 021 2 022 × 2 023 2 022 × 2 022 2 023 × 2 024 2 023 = 1 2 × 2 024 2 023 = 1 012 2 023 . 17.［2025 江西南昌期末］ 【知识生成】数形结合是数学学习中的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助解决 数学问题. （1）图（1）是一个边长为� + � 的正方形，用两条分割线将其分为两个小正方形和两个长方 形，两个小正方形的边长分别为�和�；图（2）是一个边长为� 的正方形，用两条分割线将其 分为两个小正方形和两个长方形，两个小正方形的边长分别为� − �和� ，请分别写出两个图 中阴影部分的面积所蕴含的乘法公式： 58/75 第十六章 整式的乘法 图（1） 图（2） 图（1）：________________________； 图（2）：________________________. 解：由题图（1）的阴影部分的面积可得(� + �)2 = �2 + 2�� + �2 ；由题图（2）的阴影部分 的面积可得(� − �)2 = �2 − 2�� + �2 .故答案为 (� + �)2 = �2 + 2�� + �2，(� − �)2 = �2 − 2�� + �2 . 【拓展探究】（2）如图（3），用 4个长和宽分别为�，� 的长方形拼成一个正方形，请你根 据阴影部分的面积，直接写出(� + �)2，(� − �)2，�� 之间的等量关系. 图（3） 解：(� − �)2 = (� + �)2 − 4�� . 【解决问题】（3）如图（4），�是线段��上的一点，分别以��，�� 为边向两侧作正方形���� 和正方形����，若�� = 6 ，两正方形的面积和为 20，求△��� 的面积. 图（4） 解：设�� = �,�� = �，则�� = � + � = 6 ，∴ (� + �)2 = �2 + 2�� + �2 = 36. ∵ 两正方形的面积和为 20，∴ �2 + �2 = 20，∴ 2�� = 36 − (�2 + �2) = 16，∴ �� = 8， ∴ �△��� = 1 2 �� = 4 . 59/75 第十六章 整式的乘法 章测综合练习 一、选择题 1.［2025 河北石家庄质检］�8 可以表示为( ) A.�3 + �5 B.(�2)6 C.�10 − �2 D.�4 ⋅ �4 2.［2025 河南信阳三模］下列计算正确的是( ) A.2�2 ⋅ � = 2�2 B.( − 3�2)3 =− 9�6 C.7�� − 5� = 2� D.(8�2�) ÷ (2��) = 4� 3.［2025 山西大同质检］若(�2 + 9)(� + 3)(� − 3) = �� − 81，则� = ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.［2025 黑龙江哈尔滨期末］若� + �与� + 4的乘积中不含�的一次项，则� 的值为( ) A.−4 B.4 C.0 D.1 5.对于等式(� + �)2 = �2 + �2 ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是( ) 甲：无论�和� 取何值，等 式均不能成立 乙：只有当�=0 时，等 式才能成立 丙：当�=0或�=0 时， 等式成立 A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.只有丙正确 D.三人说法均不正确 6.已知�� = 5，�2�+� = 50，则�� 的值为( ) A.10 B.5 C.2 D.40 7.若� = (� − 2)(� − 3)，� = (� − 1)(� − 4)，则�与� 的大小关系是( ) A.由�的取值而定 B.� = � C.� < � D.� > � 8.［2025 浙江绍兴期末］若�，�，�均为整式，且� ⋅ � = �，则称�(或�) 能整除�．例如， 由(� + 3)(� − 2) = �2 + � − 6，可知� + 3(或� − 2) 能整除�2 + � − 6．已知� − 2能整除�2 + �� − 7，则� 的值为( ) A.3 2 B.5 2 C.7 2 D.13 2 31/44 第十六章 整式的乘法 9.我们知道，同底数幂的乘法法则为�� ⋅ �� = ��+�（其中� ≠ 0，�，� 为正整数）.类似地， 我们规定关于任意正整数�，� 的一种新运算：ℎ(� + �) = ℎ(�) ⋅ ℎ(�)，比如ℎ(2) = 3， 则ℎ(4) = ℎ(2 + 2) = 3 × 3 = 9 .若ℎ(2) = �(� ≠ 0)，则ℎ(2�) ⋅ ℎ(2 020) 的结果是( ) A.2� + 2 021 B.2�+2 022 C.��+1 010 D.2 022� 二、填空题 10.［2025 山东聊城期末］计算：2 0242 − 2 025 × 2 023 = ___． 11.［2025 河南南阳质检］卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为 7.9 × 103 米/秒，则卫星运行 6 × 102 秒所走的路程约为___________米．（结果用科学记数法表示） 12.［2025 常德质检］若(2 024 − �)(� − 2 021) + 10 = 0，则 4 045 − 2� 的值为____． 13.1261 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们 将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， (� + �)7 展开的多项式中各项系数之和为_____. 三、解答题 14.计算： （1）�3 ⋅ ( − 2�2)3 ÷ ( 1 2 �) ； （2）( − � + 3�)(7� − 2�) ； 32/44 第十六章 整式的乘法 （3）−(� + �)( − � + �) − (� − �)2 . 15.［2025 江西抚州期末］先化简，再求值： [(� − 2�)2 + (� + 2�)(� − 2�)] ÷ (2�)，其中�，�满足|� − 2| + (� + 3)2 = 0 . 16.［2025 河南开封祥符区期末］ （1）阅读下面的材料并填空： ①(1 − 1 2 ) × (1 + 1 2 ) = 1 − 1 22 ，反过来，得 1 − 1 22 = (1 − 1 2 ) × (1 + 1 2 ) = 1 2 × 3 2 ； ②(1 − 1 3 ) × (1 + 1 3 ) = 1 − 1 32 ，反过来，得 1 − 1 32 = (1 − 1 3 ) × (1 + 1 3 ) = __×__； ③(1 − 1 4 ) × (1 + 1 4 ) = 1 − 1 42 ，反过来，得 1 − 1 42 =________________= 3 4 × 5 4 . （2）利用上面材料中的方法和结论计算下题： (1 − 1 22 ) × (1 − 1 32 ) × (1 − 1 42 ) ×⋯ × (1 − 1 2 0212 ) × (1 − 1 2 0222 ) × (1 − 1 2 0232 ) . 33/44 第十六章 整式的乘法 17.［2025 江西南昌期末］【知识生成】数形结合是数学学习中的一种重要的思想方法，借助 图的直观性，可以帮助解决数学问题. （1）图（1）是一个边长为� + � 的正方形，用两条分割线将其分为两个小正方形和两个长方 形，两个小正方形的边长分别为�和�；图（2）是一个边长为� 的正方形，用两条分割线将其 分为两个小正方形和两个长方形，两个小正方形的边长分别为� − �和� ，请分别写出两个图 中阴影部分的面积所蕴含的乘法公式： 图（1） 图（2） 图（1）：________________________； 图（2）：________________________. 【拓展探究】（2）如图（3），用 4个长和宽分别为�，� 的长方形拼成一个正方形，请你根 据阴影部分的面积，直接写出(� + �)2，(� − �)2，�� 之间的等量关系. 图（3） 【解决问题】（3）如图（4），�是线段��上的一点，分别以��，�� 为边向两侧作正方形���� 和正方形����，若�� = 6 ，两正方形的面积和为 20，求△��� 的面积. 图（4） 34/44