第15章 轴对称 章测综合练习-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十五章 轴对称 章测综合练习 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分） 1.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 AD 依次是△ABC 的( ) ① ② ③ A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线 C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线 解析：由①的折叠方式可知，∠��� = ∠���，所以��是△��� 的角平分线.由②的折叠方式 可知，∠��� = ∠���′.又因为∠��� + ∠���′ = 180∘ ，所以∠��� = ∠���′ = 90∘ ， 即�� ⊥ ��，所以��是△��� 的高线.由③的折叠方式可知，�� = ��，所以��是△��� 的 中线.故选 C. 2.已知点 A(m−1,3)与点 B(2,n−1)关于 x 轴对称，则(m+n)2 020 的值为( ) A.0 B.1 C.−1 D.32 020 解析：∵ 点 A(m−1,3)与点 B(2,n−1)关于 x 轴对称,∴m−1=2,n−1=−3 ,∴m=3,n=−2， ∴(m+n)2 020=1 .故选 B. 3.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，在△ABC 中，∠BAC=75∘ ，∠ACB=35∘ ，AC=8，∠ABC 的平分线 BD 交边 AC 于点 D，则 AD+BD 的长为( ) A.10 B.8 C.6 D.4 39/75 第十五章 轴对称 解析：在△ABC 中，∠BAC=75∘ ，∠ACB=35∘ ∴∠ABC=180∘ −∠BAC−∠ACB=70∘ . ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC= 1 2 ∠ABC=35∘ ，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD ， ∴AD+BD=AD+CD=AC=8 ，故选 B. 4.［2025 山东临沂期中］根据作图痕迹判断下列图中，BD 不能把△ABC 分成两个等腰三角形 的是( ) A. B. C. D. 解析：A 选项，∵∠C=72∘ ,∠A=36∘ ，∴∠ABC=180∘ −72∘ −36∘ =72∘ . ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠DBA=∠A=36∘ ，∴∠BDC=∠C=72∘ ，AD=BD,∴BC=BD ， ∴△ABD 和△BCD 都为等腰三角形，∴BD 能把△ABC 分成两个等腰三角形，故 A 不符合题 意.B 选项，∵BD 是线段 AC 的垂直平分线，∠C=∠A=45∘ ， ∴∠CDB=∠ADB=90∘ ， ∴∠ABD=∠CBD=∠C=∠A=45∘ ，∴AD=BD , DC=BD，∴△ABD 和△BCD 都为等腰三角形， ∴BD 能把△ABC 分成两个等腰三角形，故 B 不符合题意.C 选项，∵∠A=30∘ ，∠ABC=90∘ ，∴BC= 1 2 AC ，∠C=60∘ .∵CD=BC= 1 2 AC，∴BC=CD=AD，△BCD 是等边三角形， ∴AD=BD=CD,∴△ABD 和△BCD 都为等腰三角形，∴BD 能把△ABC 分成两个等腰三角形， 故 C 不符合题意.D 选项，∵∠A=∠C=30∘ ，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=75∘ ,∠ABC=120∘ 40/75 第十五章 轴对称 ,∴∠BDC=105∘ ,∠DBC=45∘ , ∴△BDC 不是等腰三角形，∴BD 不能把△ABC 分成两个 等腰三角形，故 D 符合题意. 故选 D. 5.如图，点 A,B 在直线 l 的同侧，点 C 在直线 l 上，且△ABC 是等腰三角形.符合条件的点 C 个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：如图，点C1，C2，C3，C4，C5即为符合条件的点 C ，故选 A. 6.［江苏盐城期中］如图，点 E 在等边△ABC 的边 BC 上，BE=4，射线 CD⊥BC，垂足为点 C， 点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+FP 的值最小时，BF=5，则 AF 的长为( ) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 41/75 第十五章 轴对称 解析：如图 作 E 点关于 CD 的对称点 E'，过 E'作 E'F⊥AB 于点 F ， 交 CD 于点 P，连接 PE，则 PE=PE' ，∴EP+FP=PE'+PF=E'F，此时 EP+FP 的值最小. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60∘ .∵E'F⊥AB ，∴∠FE'B=30∘ ， ∴BE'=2BF=2×5=10.∵BE=4，CE=CE' ，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=BE+CE=4+3=7， ∴AB=BC=7, ∴AF=AB−BF=7−5=2 ,故选 B. 7.如图，过边长为 4 的等边三角形的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上 一点，当 PA=CQ 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，则 DE 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3 解析：过 P 作 BC 的平行线交 AC 于 F ，如图， 42/75 第十五章 轴对称 ∴∠Q=∠FPD.∵△ABC 是等边三角形，PF//BC,∴∠APF=∠B=60∘ ， ∠AFP=∠ACB=60∘ ，∴△APF 是等边三角形，∴AP=PF.∵AP=CQ ， ∴PF=CQ.在△PFD 和△QCD 中， ∠FPD=∠Q, ∠PDF=∠QDC, PF=CQ, ∴△PFD≌△QCD(AAS) ， ∴FD=CD.∵PE⊥AC 于 E，△APF 是等边三角形，∴AE=EF ， ∴AE+DC=EF+FD，∴DE= 1 2 AC.∵AC=4，∴DE=2 .故选 A. 8.如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 M，顶点 A ,B,C 的坐标分别为(1,3),(1,1), (3,1)，规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 1 个单位”为一次变换，如此这样，连 续经过 2 020 次变换后，点 M 的坐标变为( ) A.(2 022,2) B.(2 022,−2) C.(2 020,2) D.(2 020,−2) 解析：∵ 正方形 ABCD 顶点 A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴ 对角线交点 M 的坐标为(2,2).根据题意得 第 1 次变换后点 M 的对应点的坐标为(2+1,−2),即(3,−2) ;第 2 次变换后点 M 的对应点的坐标为 (2+2,2),即(4,2);第 3次变换后点M 的对应点的坐标为(2+3,−2),即(5,−2);⋯ ,∴ 第 n 次变换后的 点M 的对应点的坐标:当n 为奇数时坐标为(2+n,−2),当n 为偶数时坐标为(2+n,2),∴ 连续经过 2 020 次变换后,正方形 ABCD 对角线的交点 M 的坐标变为(2 022,2) .故选 A. 9.［2025 江苏无锡质检］如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘ ，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP=OC ，下面的结论： 43/75 第十五章 轴对称 ①∠APO+∠DCO=30∘ ；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④S△ABC=S四边形AOCP .其中 正确的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 解析：如图（1）， 连接 OB.∵∠BAC=120∘ ,AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30∘ , BD=CD， ∠BAD=∠CAD= 1 2 ∠BAC= 1 2 ×120∘ =60∘ ，∴AD 垂直平分 BC ，∴OB=OC.∵OP=OC， ∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO ， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30∘ ，故①正确. ∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180∘ ，∴∠APC+∠DCP=150∘ .∵∠APO+∠DCO=30∘ ， ∴∠OPC+∠OCP=120∘ ，∴∠POC=180∘ −(∠OPC+∠OCP)=60∘ .∵OP=OC，∴△OPC 是 等边三角形，故②正确.∵△OPC 是等边三角形，∴OP=OC=PC,∠OPC=60∘ . 44/75 第十五章 轴对称 如图（2）， 在 AC 上截取 AE=PA.∵∠PAE=180∘ −∠BAC=60∘ ，∴△APE 是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60∘ ，PE=PA ， ∴∠APO+∠OPE=60∘ .∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60∘ ， ∴∠APO=∠CPE.在△OPA 和△CPE 中， PA=PE, ∠APO=∠EPC, OP=CP, ∴△OPA≌△CPE(SAS)， ∴AO=CE ，∴AC=CE+AE=AO+AP ，故③正确. 如图（3） 过点 C 作 CH⊥AP 于 H.∵∠PAC=∠DAC=60∘ ，AD⊥BC，∴CH=CD .∵S△ABC= 1 2 AB⋅ CH S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC= 1 2 AP⋅ CH+ 1 2 OA⋅ CD= 1 2 AP⋅ CH+ 1 2 OA⋅ CH = 1 2 CH⋅ (AP+OA)= 1 2 CH⋅ AC= 1 2 CH⋅ AB，∴S△ABC=S四边形AOCP ，故④正确.故选 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 10.［2025 北京西城区期末］如图，在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A，B，C，D ，以其 中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴（水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方 向），建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 点___. 45/75 第十五章 轴对称 解析：如图所示，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，原点是点 D.故答案为 D . 11.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则“？”处的条件可以是_________________. （填一个即可） 解析：添加∠A=60∘ .理由如下： ∵△ABC 为等腰三角形，∠A=60∘ ,∴∠B=∠C= 180 ∘ −∠A 2 =60∘ ， ∴△ABC 为等边三角形，故答案为∠A=60∘ （答案不唯一）. 12.若(a−3)2+ b−5=0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为________. 46/75 第十五章 轴对称 解析：∵(a−3)2+ b−5=0，∴a=3，b=5.当 a=3 为腰时，三角形周长为 2a+b=6+5=11；当 b=5 为腰时，三角形的周长为 a+2b=3+10=13 ，故答案为 11 或 13. 13.如图，∠BOC=60∘ ，点 A 是 OB 反向延长线上的一点，OA=10 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 同时 出发，用 t s 表示移动的时间，当 t=_______时，△POQ 是等腰三角形. 解析：当 P 在 OA 上，PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形， 如图（1）所示. ∵PO=AO−AP=(10−2t)cm，OQ=t cm， ∴ 当 PO=QO 时，10−2t=t ，解得 t= 10 3 . 当 P 在 OB 上，PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形, 如图（2）所示. ∵PO=AP−AO=(2t−10)cm，OQ=t cm，∴ 当 PO=QO 时，2t−10=t ,解得 t=10. 故当 t= 10 3 或 10 时，△POQ 是等腰三角形. 47/75 第十五章 轴对称 三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分） 14.［2025 山西吕梁期中］如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36∘ . （1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD . （不必写作图步骤，保留作图痕迹） 解析：如图. （2）求证：BD=BC . 证明：∵AB=AC，∠A=36∘ ，∴∠ABC=∠C= 1 2 (180∘ −∠A)=72∘ .∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36∘ ，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36∘ +36∘ =72∘ =∠C，∴BD=BC . 15.［2025 江苏无锡质检］在如图所示的由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知 △ABC 的顶点都在小正方形的顶点上. 48/75 第十五章 轴对称 （1）△ABC 三个顶点的坐标分别为 A______，B _____，C ______. 解析：根据题图得 A(1,1)，B(4,2)，C(2,4) ，故答案为(1,1)，(4,2)，(2,4) . （2）借助网格，请只用直尺（不含刻度）在 x 轴上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小（在图 中标出点 Q），此时点 Q 的坐标为______. 解析：如图， 作点 B 关于 x 轴对称的点 B'，连接 AB' ， 交 x 轴于 Q，则点 Q 即为所求，点 Q 的坐标为(2,0) .故答案为(2,0) . 49/75 第十五章 轴对称 16. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，D 是△ABC 外的一点，∠AOB=110∘ ，∠BOC=α ， △BOC≌△ADC，∠OCD=60∘ ，连接 OD . （1）求证：△OCD 是等边三角形. 证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC.∵∠OCD=60∘ ，∴△OCD 是等边三角形. （2）当α=150∘ 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由. 解析：△AOD 是直角三角形.理由如下：∵△OCD 是等边三角形，∴∠ODC=60∘ . ∵△BOC≌△ADC，α=150∘ ，∴∠ADC=∠BOC=α=150∘ ， ∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150∘ −60∘ =90∘ ，∴△AOD 是直角三角形. （3）探究：当α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形? 解析：∵△OCD 是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60∘ . ∵∠AOB=110∘ ，∠ADC=∠BOC=α ， ∴∠AOD=360∘ −∠AOB−∠BOC−∠COD=360∘ −110∘ −α−60∘ =190∘ −α， ∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60∘ ， ∴∠OAD=180∘ −∠AOD−∠ADO=180∘ −(190∘ −α)−(α−60∘ )=50∘ . 分三种情况:①当∠AOD=∠ADO 时，190∘ −α=α−60∘ ，∴α=125∘ . ②当∠AOD=∠OAD 时，190∘ −α=50∘ ，∴α=140∘ . ③当∠ADO=∠OAD 时，α−60∘ =50∘ ，∴α=110∘ . 综上所述,当α=110∘ 或125∘ 或140∘ 时，△AOD 是等腰三角形. 50/75 第十五章 轴对称 章测综合练习 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分） 1.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 AD 依次是△ABC 的( ) ① ② ③ A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线 C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线 2.已知点 A(m−1,3)与点 B(2,n−1)关于 x 轴对称，则(m+n)2 020 的值为( ) A.0 B.1 C.−1 D.32 020 3.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，在△ABC 中，∠BAC=75∘ ，∠ACB=35∘ ，AC=8，∠ABC 的平分线 BD 交边 AC 于点 D，则 AD+BD 的长为( ) A.10 B.8 C.6 D.4 4.［2025 山东临沂期中］根据作图痕迹判断下列图中，BD 不能把△ABC 分成两个等腰三角形 的是( ) A. B. C. D. 24/44 第十五章 轴对称 5.如图，点 A,B 在直线 l 的同侧，点 C 在直线 l 上，且△ABC 是等腰三角形.符合条件的点 C 个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.［江苏盐城期中］如图，点 E 在等边△ABC 的边 BC 上，BE=4，射线 CD⊥BC，垂足为点 C， 点 P 是射线 CD 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，当 EP+FP 的值最小时，BF=5，则 AF 的长为( ) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 7.如图，过边长为 4 的等边三角形的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上 一点，当 PA=CQ 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，则 DE 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3 25/44 第十五章 轴对称 8.如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 M，顶点 A ,B,C 的坐标分别为(1,3),(1,1), (3,1)，规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 1 个单位”为一次变换，如此这样，连 续经过 2 020 次变换后，点 M 的坐标变为( ) A.(2 022,2) B.(2 022,−2) C.(2 020,2) D.(2 020,−2) 第 8 题图 第 9 题图 9.［2025 江苏无锡质检］如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘ ，AD⊥BC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP=OC ，下面的结论： ①∠APO+∠DCO=30∘ ；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④S△ABC=S四边形AOCP .其中 正确的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 10.［2025 北京西城区期末］如图，在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A，B，C，D ，以其 中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴（水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方 向），建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 点___. 26/44 第十五章 轴对称 11.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则“？”处的条件可以是_________________. （填一个即可） 12.若(a−3)2+ b−5=0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为________. 13.如图，∠BOC=60∘ ，点 A 是 OB 反向延长线上的一点，OA=10 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 同时 出发，用 t s 表示移动的时间，当 t=_______时，△POQ 是等腰三角形. 三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分） 14.［2025 山西吕梁期中］如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36∘ . （1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连接 BD . （不必写作图步骤，保留作图痕迹） （2）求证：BD=BC . 27/44 第十五章 轴对称 15.［2025 江苏无锡质检］在如图所示的由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知 △ABC 的顶点都在小正方形的顶点上. （1）△ABC 三个顶点的坐标分别为 A______，B _____，C ______. （2）借助网格，请只用直尺（不含刻度）在 x 轴上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小（在图 中标出点 Q），此时点 Q 的坐标为______. 16. 如图，点 O 是等边△ABC 内一点，D 是△ABC 外的一点，∠AOB=110∘ ，∠BOC=α ， △BOC≌△ADC，∠OCD=60∘ ，连接 OD . （1）求证：△OCD 是等边三角形. （2）当α=150∘ 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由. （3）探究：当α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形? 28/44