第14章 全等三角形 章测综合练习-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十四章 全等三角形 章测综合练习 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.［2025 安徽安庆质检］下列各选项中，两个图形不全等的是( ) A. B. C. D. 解析：A、B、D 选项，两个图形是全等图形，故选项不符合题意；C 选项，两个图形不是全 等图形，故选项符合题意.故选 C. 2.［2025 江苏南京质检］已知下图中的两个三角形全等，则∠1 等于( ) A.50∘ B.58∘ C.60∘ D.72∘ 解析：如图，∵△ABC 和△DEF 全等，AC=DF=b，DE=AB=a ，∴∠1=∠B，∠A=∠D=50∘ ， ∠F=∠C=72∘ ，∴∠1=180∘ −∠D−∠F=58∘ ，故选 B. 3.［2025 湖南长沙质检］如图，已知△ABC，利用尺规作图的方法作出了△DEF ， 请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF 的理论依据是( ) A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS 22/75 第十四章 全等三角形 解析：由作图可知，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，故△ABC≌△DEF(SAS) .故选 A. 4.［2025 甘肃张掖期末］如图，点 P 为∠AOB 的平分线 OC 上一点，PM⊥OA 于点 M，PM=6， 点 N 为 OB 上任意一点，则满足 PN=6 的点 N 有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：如图 ，过点 P 作 PN'⊥OB，交 OB 于 N'.∵OP 平分∠AOB ， PM⊥OA，PN'⊥OB，∴PN'=PM=6 .由垂线段最短可知满足 PN=6 的点 N 有 1 个，即点 N' .故 选 A. 23/75 第十四章 全等三角形 5.［2025 河北保定期中］如图，李师傅在四边形木板 ABCD 中裁下 3 个三角形（空白部分）， 已知∠B=∠C=90∘ ，AE⊥EF，AE=EF，∠CGD=∠EGF ，AB=30 cm，BE=CD=10 cm，CG=20 cm ，则剩余木板（阴影部分）的面积为( ) A.1 600 cm2 B.1 100 cm2 C.900 cm2 D.500 cm2 解析：如图， 过点 F 作 FH⊥BC ， 则∠FHE=∠FHG=90∘ =∠B=∠C.∵AE⊥EF ，∴∠AEF=90∘ ，∴∠BAE=∠FEH=90∘ −∠AEB. 在△ABE 和△EHF 中， ∠B=∠FHE, ∠BAE=∠HEF, AE=EF, ∴△ABE≌△EHF(AAS) ， ∴EH=AB，FH=BE.∵BE=CD，∴FH=CD. 在△FHG 和△DCG 中， ∠FGH=∠DGC, ∠FHG=∠C, FH=DC, ∴△FHG≌△DCG(AAS) ， ∴HG=CG，∴EG=EH+GH=AB+CG=50 cm ，BC=BE+EG+CG=80 cm， ∴ 剩余木板（阴影部分）的面积为S梯形ABCD−S△ABE−S△EFG−S△CDG = 1 2 (30+10)×80− 1 2 ×30×10− 1 2 ×50×10− 1 2 ×20×10 =1 100(cm2) ，故选 B. 6.［2025 广西玉林期中］如图所示，在△ABC 中，∠ABC=70∘ ，BD 平分∠ABC，P 为线段 BD 上一动点，Q 为边 AB 上一动点，当 AP+PQ 的值最小时，∠APD 的度数是( ) 24/75 第十四章 全等三角形 A.55∘ B.60∘ C.65∘ D.70∘ 解析：在 BC 上截取 BE=BQ，连接 PE，如图. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD= 1 2 ∠ABC=35∘ . 又∵BP=BP，BQ=BE , ∴△PBQ≌△PBE(SAS) ， ∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴ 当 A，P，E 在同一直线上，且 AE⊥BC 时， AP+PE 的值最小，即 AP+PQ 的值最小.∵∠AEB=90∘ ，∠ABE=70∘ ， ∴∠BAE=90∘ −∠ABE=20∘ ，∴∠APD=∠BAP+∠ABP=20∘ +35∘ =55∘ ，故选 A. 7.［2025 江苏宿迁质检］如图，在长方形 ABCD 中，E 是边 BC 的中点，F 在边 AB 上，若 S△DEF=5S△BEF=10，则 AB BF 的值为 ( ) A.4 B.2 C.1.5 D.5 3 25/75 第十四章 全等三角形 解析：如图， 延长 DE，AB 交于点 G . ∵ 在长方形 ABCD 中，AB//CD，AB=CD，∴∠GBE=∠C.在△BEG 和△CED 中， ∠GBE=∠C, BE=CE, ∠BEG=∠CED, ∴△BEG≌△CED(ASA)，∴DE=GE，BG=CD=AB ， ∴S△EGF=S△DEF=10.∵5S△BEF=10，∴S△BEF=2 ， ∴S△BEG=S△FEG−S△BEF=8，∴ BG BF = S△BEG S△BEF =4，∴ AB BF = BG BF =4 ，故选 A. 8.［2025 浙江台州期中］如图，已知 AB=10，AC=6 ，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α ，点 P 以每秒 2 个单位长度的速度沿着C→A→B路径运动，同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度 的速度沿着D→B→A 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间 为 t 秒. ①若 x=1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍； ②若 P，Q 两点同时到达 A 点，则 x=5 ； ③若α=90∘ ，t=5，x=1，则 PC 与 PQ 垂直； ④若△ACP 与△BPQ 全等，则 x= 4 5 或 4 11 . 以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 26/75 第十四章 全等三角形 解析：若 x=1，运动时间为 t 秒，则点 P 运动路程为 2t，点 Q 运动路程为 t，故点 P 运动路程 始终是点 Q 运动路程的 2 倍，故①正确，符合题意. 点 P 到达点 A 的运动时间为 6÷2=3（秒），当 x=5 时， 点 Q 到达点 A 的运动时间为(8+10)÷5=3.6（秒），3.6≠3 ，故②不正确，不符合题意. 如图所示，当 t=5，x=1 时，点 P 运动的路程为 2×5=10， 点 Q 运动的路程为 5×1=5.∵AC=6，DQ=5，BD=8， ∴AP=10−6=4 ，BQ=BD−DQ=8−5=3.∵AB=10， ∴PB=AB−AP=10−4=6 ，∴PB=CA.又∵∠CAP=∠PBQ=90∘ ,AP≠BQ， ∴△CAP 和△PBQ 不全等，∴∠C≠∠QPB.∵∠C+∠CPA=90∘ ，∴∠QPB+∠CPA≠90∘ ， ∴∠CPQ=180∘ −(∠QPB+∠CPA)≠90∘ ，∴PC 与 PQ 不垂直，故③不正确，不符合题意. 当点 P 在 AB 上，且点 Q 在 BD 上时，AP=2t−6，QD=xt ，则 PB=10−(2t−6)=16−2t，BQ=8−xt. 若△ACP 与△BPQ 全等，则 AC=PB 且 AP=BQ 或 AC=BQ 且 AP=BP， 即 6=16−2t 且 2t−6=8−xt 或 6=8−xt 且 2t−6=16−2t，解得 x= 4 5 或 4 11 ，故④正确，符合题意，故 选 B. 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 9.［2025 北京大兴区期末］如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D，P 分别在射线 OC 和 OB 上， OD>DP 且∠DPO=36∘ ，点 Q 是射线 OA 上的一点，若 DQ=DP ，则∠DQO 的度数为_____ ______. 27/75 第十四章 全等三角形 答案：36∘ 或144∘ 解析：如图， 过点 D 作 DH⊥OA 于 H，DN⊥OB 于 N. ∵OD 平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，∴DH=DN.当点 Q 在点 H 的右侧时， 在 Rt△DPN 和 Rt△DQH 中， &DP=DQ,&DN=DH,∴Rt△DPN≌Rt△DQH(HL) ， ∴∠DPO=∠DQO=36∘ .当点 Q 在点 H 左侧时，如点 Q',同理可得∠DQ'H=36∘ ， ∴∠DQ'O=144∘ . 综上所述，∠DQO 的度数为36∘ 或144∘ ，故答案为36∘ 或144∘ . 10.如图，已知点 P(2m−1,6m−5)在第一象限角平分线 OC 上，一直角顶点与点 P 重合，角的两 边与 x 轴、y 轴分别交于 A 点，B 点，则： （1）点 P 的坐标为______； 28/75 第十四章 全等三角形 解析：如图， 作 PE⊥y 轴于点 E，PF⊥x 轴于点 F .根据题意，得 PE=PF， ∴2m−1=6m−5，解得 m=1，∴P(1,1) . （2）OA+BO= ___. 解析：由（1）得∠EPF=90∘ ，PE=PF=1.∵∠BPA=90∘ ， ∴∠EPB=∠FPA.在△BEP 和△AFP 中， ∠PEB=∠PFA, PE=PF, ∠EPB=∠FPA, ∴△BEP≌△AFP(ASA)， ∴BE=AF ，∴OA+OB=OF+AF+OE−BE=OF+OE，∴OA+BO=2 . 11.［2025 福建福州期中］如图，△ABC 中，BC=10，AC−AB=5，AD 是∠BAC 的平分线，CD⊥AD， 则S△BDC 的最大值为______. 29/75 第十四章 全等三角形 解析：如图, 延长 AB，CD 交于点 E.∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD=∠EAD.∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADE=90∘ . 在△ADE 和△ADC 中， ∠ADE=∠ADC, AD=AD, ∠EAD=∠CAD, ∴△ADE≌△ADC(ASA) ， ∴AC=AE，DE=CD.∵AC−AB=5，∴AE−AB=5，即 BE=5.∵DE=DC ， ∴S△BDC= 1 2 S△BCE，∴ 当 BE⊥BC 时，S△BEC取最大值， 即S△BDC 取最大值,此时S△BDC= 1 2 × 1 2 ×10×5=12.5 . 故答案为 12.5. 三、解答题（本大题共 3 小题，共 45 分） 12.［2025 河北秦皇岛期中］如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点(CD>AD) . （1）连接 BD，作△DEF（点 E 在线段 CD 上,点 F 在线段 AC 的右侧），使得△DEF≌△DAB ；（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，△DEF 即为所求. 30/75 第十四章 全等三角形 （2）作图依据是 _________________________________________________________________ 解：在△DEF 和△DAB 中， DE=DA, ∠EDF=∠ADB, DF=DB, ∴△DEF≌△DAB(SAS).故答案为 SAS （答案不唯一，与（1）的作图痕迹对应即可）. 13.如图，△ABC 和△DEF，点 E，F 在直线 BC 上，AB=DF，∠A=∠D ，∠ABC=∠DFE.如图 （1） （2） （3） （1），易证：BC+BE=BF .请解答下列问题： （1）如图（2）、图（3），请猜想 BC，BE，BF 之间的数量关系，并直接写出猜想结论； 解：图（2）：BC+BE=BF，图（3）：BE−BC=BF . （2）请选择（1）中任意一种结论进行证明. 证明：图（2）：∵AB=DF，∠A=∠D，∠B=∠F ，∴△ABC≌△DFE(ASA)，∴BC=EF . ∵BE=BC+CE，∴BC+BE=EF+BC+CE=BF. 图（3）：∵AB=DF ，∠A=∠D，∠ABC=∠DFE，∴△ABC≌△DFE(ASA) ， ∴BC=EF.∵BE=BF+EF ，∴BE−BC=BF+EF−BC=BF+BC−BC=BF .（任选一种回答即可） 14.已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，且 AC⊥BD，作 BF⊥CD ，垂足为 F，BF 与 AC 交于点 G，∠BGE=∠ADE . 31/75 第十四章 全等三角形 （1）如图（1），求证：AD=CD ； 证明：∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF.∵AC⊥BD ，BF⊥CD， ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF=90∘ ，∴∠DAE=∠GCF . 在△ADE 和△CDE 中， ∠DAE=∠DCE, ∠AED=∠CED, DE=DE, ∴△ADE≌△CDE(AAS),∴AD=CD . （2）如图（2），BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG ，在不添加任何辅助线的情况下， 请直接写出图（2）中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍. 解：面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG . 设 DE=a，则 AE=2DE=2a，EG=DE=a ， ∴S△ADE= 1 2 AE⋅ DE= 1 2 ⋅ 2a⋅ a=a2.∵BH 是△ABE 的中线， ∴AH=HE=a.∵AC⊥BD,∴∠AED=∠CED=90∘ .∵AD=CD，DE=DE , ∴Rt△ADE≌Rt△CDE(HL),∴CE=AE=2a ， 32/75 第十四章 全等三角形 则S△ADC= 1 2 AC⋅ DE= 1 2 ⋅ (2a+2a)⋅ a=2a2=2S△ADE . 在△ADE 和△BGE 中, ∠AED=∠BEG, DE=GE, ∠ADE=∠BGE, ∴△ADE≌△BGE(ASA) ， ∴BE=AE=2a，∴S△ABE= 1 2 AE⋅ BE= 1 2 ⋅ 2a⋅ 2a=2a2=2S△ADE ， S△BCE= 1 2 CE⋅ BE= 1 2 ⋅ 2a⋅ 2a=2a2=2S△ADE ， S△BHG= 1 2 HG⋅ BE= 1 2 ⋅ (a+a)⋅ 2a=2a2=2S△ADE. 综上所述，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG . 33/75 第十四章 全等三角形 章测综合练习 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.［2025 安徽安庆质检］下列各选项中，两个图形不全等的是( ) A. B. C. D. 2.［2025 江苏南京质检］已知下图中的两个三角形全等，则∠1 等于( ) A.50∘ B.58∘ C.60∘ D.72∘ 3.［2025 湖南长沙质检］如图，已知△ABC，利用尺规作图的方法作出了△DEF ， 请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF 的理论依据是( ) A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS 4.［2025 甘肃张掖期末］如图，点 P 为∠AOB 的平分线 OC 上一点，PM⊥OA 于点 M，PM=6， 点 N 为 OB 上任意一点，则满足 PN=6 的点 N 有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 15/44 第十四章 全等三角形 5.［2025 河北保定期中］如图，李师傅在四边形木板 ABCD 中裁下 3 个三角形（空白部分）， 已知∠B=∠C=90∘ ，AE⊥EF，AE=EF，∠CGD=∠EGF ，AB=30 cm，BE=CD=10 cm，CG=20 cm ，则剩余木板（阴影部分）的面积为( ) A.1 600 cm2 B.1 100 cm2 C.900 cm2 D.500 cm2 6.［2025 广西玉林期中］如图所示，在△ABC 中，∠ABC=70∘ ，BD 平分∠ABC，P 为线段 BD 上一动点，Q 为边 AB 上一动点，当 AP+PQ 的值最小时，∠APD 的度数是( ) A.55∘ B.60∘ C.65∘ D.70∘ 7.［2025 江苏宿迁质检］如图，在长方形 ABCD 中，E 是边 BC 的中点，F 在边 AB 上，若 S△DEF=5S△BEF=10，则 AB BF 的值为 ( ) A.4 B.2 C.1.5 D.5 3 16/44 第十四章 全等三角形 8.［2025 浙江台州期中］如图，已知 AB=10，AC=6 ，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α ，点 P 以每秒 2 个单位长度的速度沿着C→A→B路径运动，同时，点 Q 以每秒 x 个单位长度 的速度沿着D→B→A 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间 为 t 秒. ①若 x=1，则点 P 运动路程始终是点 Q 运动路程的 2 倍； ②若 P，Q 两点同时到达 A 点，则 x=5 ； ③若α=90∘ ，t=5，x=1，则 PC 与 PQ 垂直； ④若△ACP 与△BPQ 全等，则 x= 4 5 或 4 11 . 以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 9.［2025 北京大兴区期末］如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 D，P 分别在射线 OC 和 OB 上， OD>DP 且∠DPO=36∘ ，点 Q 是射线 OA 上的一点，若 DQ=DP ，则∠DQO 的度数为_____ ______. 17/44 第十四章 全等三角形 10.如图，已知点 P(2m−1,6m−5)在第一象限角平分线 OC 上，一直角顶点与点 P 重合，角的两 边与 x 轴、y 轴分别交于 A 点，B 点，则： （1）点 P 的坐标为______； （2）OA+BO= ___. 11.［2025 福建福州期中］如图，△ABC 中，BC=10，AC−AB=5，AD 是∠BAC 的平分线，CD⊥AD， 则S△BDC 的最大值为______. 三、解答题（本大题共 3 小题，共 45 分） 12.［2025 河北秦皇岛期中］如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点(CD>AD) . （1）连接 BD，作△DEF（点 E 在线段 CD 上,点 F 在线段 AC 的右侧），使得△DEF≌△DAB ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）作图依据是 _________________________________________________________________ 18/44 第十四章 全等三角形 13.如图，△ABC 和△DEF，点 E，F 在直线 BC 上，AB=DF，∠A=∠D ，∠ABC=∠DFE.如图 （1） （2） （3） （1），易证：BC+BE=BF .请解答下列问题： （1）如图（2）、图（3），请猜想 BC，BE，BF 之间的数量关系，并直接写出猜想结论； （2）请选择（1）中任意一种结论进行证明. 19/44 第十四章 全等三角形 14.已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，且 AC⊥BD，作 BF⊥CD ，垂足为 F，BF 与 AC 交于点 G，∠BGE=∠ADE . （1）如图（1），求证：AD=CD ； （2）如图（2），BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG ，在不添加任何辅助线的情况下， 请直接写出图（2）中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍. 20/44