技巧3 方程的应用-动点问题(学用版)-2025-2026学年新教材七年级数学上册练难点技巧（人教版2024）

7数上 练技巧 3，方程的应用——动点问题 8 距离问题 1.在数轴上，点𝐴在原点的左侧，点𝐵在原点的右侧，点𝐴距离原点 12个单位长度，点𝐵距离 原点 2个单位长度. （1）点𝐴对应的数为_____，点𝐵对应的数为___，两点之间的距离为____； （2）若点𝑃为数轴上一点，且𝐵𝑃 = 2，求𝐴𝑃的长； （3）若点𝑁，𝑄，𝑀同时向数轴负方向运动，点𝑁从点𝐴出发，点𝑄从原点出发，点𝑀从点𝐵出 发，且点𝑁的运动速度是每秒 6个单位长度，点𝑄的运动速度是每秒 8个单位长度，点𝑀的运 动速度是每秒 2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时 三个点对应的数各是多少. 24/29 7数上 练技巧 9 相遇问题 2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点𝐴，𝐵表示的数分别为𝑎，𝑏，则𝐴，𝐵两点之间 的距离表示为𝐴𝐵 = |𝑎 − 𝑏|.如：点𝐴表示的数为 2，点𝐵表示的数为 3，则𝐴𝐵 = |2 − 3| = 1. （1）问题提出：填空：如图，数轴上点𝐴表示的数为−2，点𝐵表示的数为 13，𝐴，𝐵两点之间 的距离𝐴𝐵 =____，线段𝐴𝐵的中点表示的数为___. （2）拓展探究：在（1）的条件下，若点𝑃从点𝐴出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向 右运动，同时点𝑄从点𝐵出发,以每秒 2 个单位长度的速度向左运动.设运动时间为𝑡秒(𝑡 > 0). ①用含𝑡的式子表示：𝑡秒后，点𝑃表示的数为________，点𝑄表示的数为________； ②求当𝑡为何值时，𝑃，𝑄两点相遇，并写出相遇点所表示的数. （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果𝑃，𝑄两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自 到达线段𝐴𝐵的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段𝐴𝐵上做往复运动，那么再经 过多长时间𝑃，𝑄两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数. 10 追及问题 3.如图，已知数轴上三点𝐴，𝑂，𝐵表示的数分别为 6，0，−4，动点𝑃从𝐴出发，以每秒 6个单 位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点𝑅从𝐵出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向 左匀速运动，若点𝑃，𝑅同时出发，则点𝑃运动___秒时，追上点𝑅. 25/29 7数上 练技巧 3，方程的应用——动点问题 8 距离问题 1.在数轴上，点𝐴在原点的左侧，点𝐵在原点的右侧，点𝐴距离原点 12个单位长度，点𝐵距离 原点 2个单位长度. （1）点𝐴对应的数为_____，点𝐵对应的数为___，两点之间的距离为____； 解：因为点𝐴在原点的左侧，距离原点 12个单位长度，所以点𝐴对应的数为−12， 同理可得点𝐵对应的数为 2，所以𝐴，𝐵两点之间的距离为2 − (−12) = 2 + 12 = 14， 故答案为−12，2，14. （2）若点𝑃为数轴上一点，且𝐵𝑃 = 2，求𝐴𝑃的长； 解：分两种情况：①当点𝑃在点𝐵的右侧时，𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑃 = 14 + 2 = 16；② 当点𝑃在点𝐵的左侧时，𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝑃 = 14 − 2 = 12.综上，𝐴𝑃的长是 16 或 12. （3）若点𝑁，𝑄，𝑀同时向数轴负方向运动，点𝑁从点𝐴出发，点𝑄从原点出发，点𝑀从点𝐵出 发，且点𝑁的运动速度是每秒 6个单位长度，点𝑄的运动速度是每秒 8个单位长度，点𝑀的运 动速度是每秒 2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时 三个点对应的数各是多少. 解：设运动的时间为𝑡秒，则动点𝑁，𝑄，𝑀对应的数分别为−12 − 6𝑡，−8𝑡， 2 − 2𝑡.分三种情况：①当𝑁𝑄 = 𝑄𝑀时，−8𝑡 − (−12 − 6𝑡) = 2 − 2𝑡 − (−8𝑡)，所 以𝑡 = 5 4 ，此时，点𝑁对应的数为−12 − 6 × 5 4 = −19.5，点𝑄对应的数为 −8 × 5 4 = −10，点𝑀对应的数为2 − 2 × 5 4 = −0.5. ②当𝑁𝑄 = 𝑁𝑀时，−12 − 6𝑡 − (−8𝑡) = 2 − 2𝑡 − (−12 − 6𝑡)，所以𝑡 = −13（舍）. ③当𝑀𝑁 = 𝑀𝑄时，可得(2 − 2𝑡) − (−12 − 6𝑡) = (2 − 2𝑡) − (−8𝑡)，解得𝑡 = 6， 此时𝑁点对应的数为−12 − 6 × 6 = −48，𝑄点对应的数为−8 × 6 = −48，𝑀点对 应的数为2 − 2 × 6 = −10. 综上，点𝑁对应的数为−19.5，点𝑄对应的数为−10，点𝑀对应的数为−0.5或点𝑁对 应的数为−48，点𝑄对应的数为−48，点𝑀对应的数为−10. 28/38 7数上 练技巧 距离问题 1.表示终点:起点位置表示的数为𝑎0，终点位置表示的数为𝑎0 ± 𝑣𝑡（𝑣表示运动速度，𝑡表示运 动时间，向右为加，向左为减）. 2.求距离:①相对位置确定时:距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数； ②相对位置不确定时:距离= |𝑏 − 𝑎|（𝑎,𝑏分别表示始点与终点所表示的数）. 3.解方程. 相遇问题 1.表示终点:起点位置表示的数为𝑎0，终点位置表示的数为𝑎0 ± 𝑣𝑡（𝑣表示运动速度，𝑡表示运 动时间，向右为加，向左为减）； 2.求距离:两点同时相向出发，相遇时，𝑠1 + 𝑠2 =起始位置之间的距离，即𝑣1𝑡 + 𝑣2𝑡 = |𝑎0 − 𝑏0|； 3.解方程. 9 相遇问题 2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点𝐴，𝐵表示的数分别为𝑎，𝑏，则𝐴，𝐵两点之间 的距离表示为𝐴𝐵 = |𝑎 − 𝑏|.如：点𝐴表示的数为 2，点𝐵表示的数为 3，则𝐴𝐵 = |2 − 3| = 1. （1）问题提出：填空：如图，数轴上点𝐴表示的数为−2，点𝐵表示的数为 13，𝐴，𝐵两点之间 的距离𝐴𝐵 =____，线段𝐴𝐵的中点表示的数为___. 解：因为点𝐴表示的数为−2，点𝐵表示的数为 13，所以𝐴𝐵 = |13 − (−2)| = 15，线段𝐴𝐵的中 点表示的数为 13−2 2 = 11 2 .故答案为 15， 11 2 . （2）拓展探究：在（1）的条件下，若点𝑃从点𝐴出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向 右运动，同时点𝑄从点𝐵出发,以每秒 2 个单位长度的速度向左运动.设运动时间为𝑡秒(𝑡 > 0). ①用含𝑡的式子表示：𝑡秒后，点𝑃表示的数为________，点𝑄表示的数为________； 解析：𝑡秒后，点𝑃表示的数为−2 + 3𝑡，点𝑄表示的数为13 − 2𝑡.故答案为−2 + 3𝑡，13 − 2𝑡. ②求当𝑡为何值时，𝑃，𝑄两点相遇，并写出相遇点所表示的数. 解：根据题意得−2 + 3𝑡 = 13 − 2𝑡，解得𝑡 = 3，相遇点所表示的数为−2 + 3 × 3 = 7. 所以当𝑡为 3时，𝑃，𝑄两点相遇，相遇点所表示的数是 7. 29/38 7数上 练技巧 （3）类比延伸：在（2）的条件下，如果𝑃，𝑄两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自 到达线段𝐴𝐵的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段𝐴𝐵上做往复运动，那么再经 过多长时间𝑃，𝑄两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数. 解：由已知得点𝑃运动 5 秒到达点𝐵，点𝑄运动 15 2 秒到达点𝐴，返回途中，点𝑃表示的数是13 − 3( 𝑡 − 5)，点𝑄表示的数是−2 + 2(𝑡 − 15 2 ).根据题意得13 − 3(𝑡 − 5) = −2 + 2(𝑡 − 15 2 )，解得𝑡 = 9， 所以再经过9 − 3 = 6（秒）,𝑃,𝑄两点第二次相遇，相遇点所表示的数为13 − 3 × (9 − 5) = 1. 追及问题 1.表示终点:起点位置表示的数为𝑎0,终点位置表示的数为𝑎0 ± 𝑣𝑡（𝑣表示运动速度，𝑡表示运 动时间，向右为加，向左为减）； 2.求距离:两点同时同向出发，到达同一位置时，𝑠多 − 𝑠少 =起始位置之间的距离，即|𝑣1𝑡 − 𝑣2 𝑡| = |𝑎0 − 𝑏0|； 3.解方程. 10 追及问题 3.如图，已知数轴上三点𝐴，𝑂，𝐵表示的数分别为 6，0，−4，动点𝑃从𝐴出发，以每秒 6个单 位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点𝑅从𝐵出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向 左匀速运动，若点𝑃，𝑅同时出发，则点𝑃运动___秒时，追上点𝑅. 解析：设点𝑃运动𝑥秒时，在点𝐶处追上点𝑅，则𝐴𝐶 = 6𝑥，𝐵𝐶 = 4𝑥.因为𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = 10， 所以6𝑥 − 4𝑥 = 10，解得𝑥 = 5，所以点𝑃运动 5秒时，追上点𝑅. 30/38