技巧2 含参数的一元一次方程(学用版)-2025-2026学年新教材七年级数学上册练难点技巧（人教版2024）

7数上 练技巧 2，含参数的一元一次方程 4 解的关系问题 1.已知关于𝑥的方程 1 2 (8 − 𝑥) = 7 + 𝑥的解与方程 2𝑥+𝑎 2 − 𝑥−1 3 = 𝑥 6 + 2𝑎的解互为相反数，求𝑎的 值. 解：解方程 1 2 (8 − 𝑥) = 7 + 𝑥，得𝑥 = −2. 因为关于𝑥的方程 1 2 (8 − 𝑥) = 7 + 𝑥的解与方程 2𝑥+𝑎 2 − 𝑥−1 3 = 𝑥 6 + 2𝑎的解互为相反数， 所以方程 2𝑥+𝑎 2 − 𝑥−1 3 = 𝑥 6 + 2𝑎的解为𝑥 = 2. 把𝑥 = 2代入，得 4+𝑎 2 − 2−1 3 = 2 6 + 2𝑎，解得𝑎 = 8 9 . 5 错解问题 2.晶晶在解关于𝑥的方程 𝑎𝑥−1 2 + 6 = 2+𝑥 3 时，把 6错写成 1，解得𝑥 = 1，并且晶晶在解题中没有 错误，请你正确求出此方程的解. 解：因为解关于𝑥的方程 𝑎𝑥−1 2 + 6 = 2+𝑥 3 时，把 6错写成 1，解得𝑥 = 1， 所以把𝑥 = 1代入 𝑎𝑥−1 2 + 1 = 2+𝑥 3 ，解得𝑎 = 1， 所以原方程应为 𝑥−1 2 + 6 = 2+𝑥 3 ，解得𝑥 = −29. 6 整数解问题 3.已知𝑚，𝑛是有理数，单项式−𝑥𝑛𝑦的次数是 3，方程(𝑚 + 1)𝑥2 +𝑚𝑥 − 𝑡𝑥 + 𝑛 + 2 = 0是关 于𝑥的一元一次方程，其中𝑚 ≠ 𝑡. （1）求𝑚，𝑛的值； 解：由题意得𝑛 + 1 = 3，𝑚 + 1 = 0，解得𝑛 = 2，𝑚 = −1. （2）若该方程的解是𝑥 = 3，求𝑡的值； 解：由（1）得𝑛 = 2，𝑚 = −1，所以原方程为−𝑥 − 𝑡𝑥 + 4 = 0.将𝑥 = 3代入 得，−3 − 3𝑡 + 4 = 0，所以𝑡 = 1 3 . 26/38 7数上 练技巧 （3）若该方程的解是正整数，求整数𝑡的值. 解：因为𝑛 = 2，𝑚 = −1，所以原方程为−𝑥 − 𝑡𝑥 + 4 = 0，所以𝑥 = 4 𝑡+1 .因为𝑡是整数，𝑥是正 整数，所以𝑡 + 1 = 1,2,4,所以𝑡 = 0,1,3. 7 解的个数问题 4.已知关于𝑥的方程4 + 3𝑎𝑥 = 2𝑎 − 7有唯一解，关于𝑦的方程2 + 𝑦 = (𝑏 + 1)𝑦无解，判断关于 𝑧的方程𝑎𝑧 = 𝑏的解的情况. 解：关于𝑥的方程4 + 3𝑎𝑥 = 2𝑎 − 7可以整理为3𝑎𝑥 = 2𝑎 − 11.因为关于𝑥的方程4 + 3𝑎𝑥 = 2𝑎 − 7有唯一解，所以𝑎 ≠ 0.关于𝑦的方程2 + 𝑦 = (𝑏 + 1)𝑦整理得𝑏𝑦 = 2.因为关于𝑦的方程2 + 𝑦 = (𝑏 + 1)𝑦无解，所以𝑏 = 0，则关于𝑧的方程𝑎𝑧 = 𝑏可解得𝑧 = 𝑏 𝑎 ，所以𝑧 = 0,即关于𝑧的方程𝑎𝑧 = 𝑏有唯一解，为𝑧 = 0. 解的个数问题 三种形式： 0 ⋅ 𝑥 = 0，方程有无数个解; 0 ⋅ 𝑥 =非零的数，方程无解; 非零的数·x=常数，方程有唯一解. 5.已知关于𝑥的方程(𝑎 − 2)𝑥|𝑎|−1 + 4𝑏 = 0为一元一次方程，且该方程的解与关于𝑥的方程 2𝑥+1 3 = 𝑥−𝑏 2 + 1的解相同. （1）求𝑎，𝑏的值； 解：因为关于𝑥的方程(𝑎 − 2)𝑥|𝑎|−1 + 4𝑏 = 0为一元一次方程，所以|𝑎| − 1 = 1,𝑎 − 2 ≠ 0，解 得𝑎 = −2.当𝑎 = −2时，方程为−4𝑥 + 4𝑏 = 0，解得𝑥 = 𝑏.又因为两个方程同解，所以 2𝑏+1 3 = 𝑏−𝑏 2 + 1，解得𝑏 = 1. （2）若关于𝑦的方程|𝑚 − 1|𝑦 + 𝑛 = 𝑎 + 1 + 2𝑏𝑦有无数个解，求𝑚，𝑛的值. 解：把𝑎 = −2，𝑏 = 1代入|𝑚 − 1|𝑦 + 𝑛 = 𝑎 + 1 + 2𝑏𝑦，可得 |𝑚 − 1|𝑦 + 𝑛 = −1 + 2𝑦，变形得(|𝑚 − 1| − 2)𝑦 = −𝑛 − 1.因为关于𝑦的方程 |𝑚 − 1|𝑦 + 𝑛 = 𝑎 + 1 + 2𝑏𝑦有无数个解，所以|𝑚 − 1| − 2 = 0,−𝑛 − 1 = 0，所以 𝑚 = 3或−1，𝑛 = −1. 27/38 7数上 练技巧 2，含参数的一元一次方程 4 解的关系问题 1.已知关于𝑥的方程 1 2 (8 − 𝑥) = 7 + 𝑥的解与方程 2𝑥+𝑎 2 − 𝑥−1 3 = 𝑥 6 + 2𝑎的解互为相反数，求𝑎的 值. 5 错解问题 2.晶晶在解关于𝑥的方程 𝑎𝑥−1 2 + 6 = 2+𝑥 3 时，把 6错写成 1，解得𝑥 = 1，并且晶晶在解题中没有 错误，请你正确求出此方程的解. 6 整数解问题 3.已知𝑚，𝑛是有理数，单项式−𝑥𝑛𝑦的次数是 3，方程(𝑚 + 1)𝑥2 +𝑚𝑥 − 𝑡𝑥 + 𝑛 + 2 = 0是关 于𝑥的一元一次方程，其中𝑚 ≠ 𝑡. （1）求𝑚，𝑛的值； （2）若该方程的解是𝑥 = 3，求𝑡的值； （3）若该方程的解是正整数，求整数𝑡的值. 22/29 7数上 练技巧 7 解的个数问题 4.已知关于𝑥的方程4 + 3𝑎𝑥 = 2𝑎 − 7有唯一解，关于𝑦的方程2 + 𝑦 = (𝑏 + 1)𝑦无解，判断关于 𝑧的方程𝑎𝑧 = 𝑏的解的情况. 5.已知关于𝑥的方程(𝑎 − 2)𝑥|𝑎|−1 + 4𝑏 = 0为一元一次方程，且该方程的解与关于𝑥的方程 2𝑥+1 3 = 𝑥−𝑏 2 + 1的解相同. （1）求𝑎，𝑏的值； （2）若关于𝑦的方程|𝑚 − 1|𝑦 + 𝑛 = 𝑎 + 1 + 2𝑏𝑦有无数个解，求𝑚，𝑛的值. 23/29