技巧1 有关数轴的探索(学用版)-2025-2026学年新教材七年级数学上册练难点技巧（人教版2024）

7数上 练技巧 1，有关数轴的探索 1 数轴中的折叠问题 1.如图，在数轴上，点𝐴表示数𝑎，点𝐵表示数𝑏，点𝐶表示数𝑐，𝑏是最小的正整数，且𝑎，𝑐满 足|𝑎 + 2| + (𝑐 − 6)2 = 0． （1）𝑎 =____，𝑏 =___，𝑐 =___． （2）若将数轴折叠，使得点𝐴与点𝐶重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为___，点𝐵与数_ __对应的点重合，这时若𝑀，𝑁（𝑀在𝑁的左侧）两点之间的距离为2022，且𝑀，𝑁两点经折 叠后重合，则点𝑀表示的数是________，点𝑁表示的数是_______. 2. 如图，折叠一数轴，使得表示数 5 与数−1的两点重合，若此时数轴上的𝐴，𝐵两点也重合， 且𝐴，𝐵两点之间的距离为 32，则点𝐴表示的数为_________. 3. 在数轴上剪下 8个单位长度（从 1到 9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重 叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1: 1: 2，则折痕与数轴的 交点所表示的数可能是_________. 2 数轴上的循环规律问题 4. 正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹在数轴上的位置如图，点𝐴，𝐹对应的数分别为 0和 1，若正六边形（六条 边相等）𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点𝐸所对应的数为 2，则连续翻转 2021次后，数轴上 2021这个数所对应的点是( ) A.𝐴点 B.𝐵点 C.𝐶点 D.𝐷点 20/29 7数上 练技巧 5.在数轴上，点𝑃表示的数是𝑎，点𝑃′表示的数是 1 1−𝑎 ，我们称点𝑃′是点𝑃的“相关点”，已 知数轴上点𝐴1的相关点为𝐴2，点𝐴2的相关点为𝐴3，点𝐴3的相关点为𝐴4，⋯，这样依次得到点𝐴1， 𝐴2，𝐴3，𝐴4，⋯，𝐴𝑛.若点𝐴1在数轴上表示的数是 1 2 ，则点𝐴2024在数轴上表示的数是___. 3 数轴上数的变化规律问题 6.已知𝐴，𝐵在数轴上对应的数分别用𝑎，𝑏表示，且(𝑎𝑏 + 150)2 + |𝑏 + 10| = 0，𝑃是数轴上的 一个动点.动点𝑃从原点开始第 1次向右移动 1个单位长度，第 2次向左移动 3个单位长度， 第 3次向右移动 5个单位长度，第 4次向左移动 7 个单位长度，⋯，点𝑃在移动过程中，第__ __次移动后与点𝐴重合. 7.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置（𝑂点）出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1个单位长度，其移动路线如图所示，第 1 次移动到𝐴1，第 2次移动到𝐴2，第 3次移动到𝐴3，⋯，第𝑛次移动到𝐴𝑛，则三角形𝑂𝐴2𝐴2020的 面积是( ) A.1009 2 B.505 C.1011 2 D.506 21/29 7数上 练技巧 1，有关数轴的探索 1 数轴中的折叠问题 1.如图，在数轴上，点𝐴表示数𝑎，点𝐵表示数𝑏，点𝐶表示数𝑐，𝑏是最小的正整数，且𝑎，𝑐满 足|𝑎 + 2| + (𝑐 − 6)2 = 0． （1）𝑎 =____，𝑏 =___，𝑐 =___． 解析：因为𝑏是最小的正整数，所以𝑏 = 1.因为|𝑎 + 2| ≥ 0，(𝑐 − 6)2 ≥ 0，且 |𝑎 + 2| + (𝑐 − 6)2 = 0，所以|𝑎 + 2| = 0，(𝑐 − 6)2 = 0，所以𝑎 + 2 = 0， 𝑐 − 6 = 0，所以𝑎 = −2，𝑐 = 6. （2）若将数轴折叠，使得点𝐴与点𝐶重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为___，点𝐵与数_ __对应的点重合，这时若𝑀，𝑁（𝑀在𝑁的左侧）两点之间的距离为2022，且𝑀，𝑁两点经折 叠后重合，则点𝑀表示的数是________，点𝑁表示的数是_______. 解析：将数轴折叠，使得点𝐴与点𝐶重合，则 −2+6 2 = 2，所以折痕与数轴的交点 表示的数是 2.点𝐵到折痕与数轴的交点的距离为 1 个单位长度，则2 + 1 = 3，所以 点𝐵与数 3对应的点重合.设𝑀点表示的数是𝑥，则𝑁点表示的数是𝑥 + 2022，所以 2 = 𝑥+𝑥+2022 2 ，则𝑥 = −1009，−1009 + 2022 = 1013，所以点𝑀表示的数是 −1009，点𝑁表示的数是 1013. 数轴中的折叠问题 将数轴折叠后，数𝑎与数𝑏对应的点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为 𝑎+𝑏 2 ，若数𝑐与数𝑑 对应的点也重合，则𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑. 2. 如图，折叠一数轴，使得表示数 5 与数−1的两点重合，若此时数轴上的𝐴，𝐵两点也重合， 且𝐴，𝐵两点之间的距离为 32，则点𝐴表示的数为_________. 解析：因为表示 5的点与表示−1的点重合，所以折痕与数轴的交点表示的数为 2.因为数轴折 叠后，数轴上的𝐴,𝐵两点也重合，且𝐴，𝐵两点之间的距离为 32，所以两个点到折痕与数轴交 22/38 7数上 练技巧 点的距离均是 16，所以点𝐴表示的数为2 + 16 = 18或2 − 16 = −14.故答案为 18或−14. 3. 在数轴上剪下 8个单位长度（从 1到 9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重 叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1: 1: 2，则折痕与数轴的 交点所表示的数可能是_________. 解析：因为总的线段长为 8，剪后三条线段的长度之比为1: 1: 2，又因为 8 ÷ (1 + 1 + 2) = 2，所以这三条线段的长度分别为 2，2，4.如图（1），若剪下 的第 1条线段长为 2，第 2条线段长度也为 2，则折痕与数轴的交点表示的数为 4；如 图（2），若剪下的第 1条线段长为 2，第 2条线段长度为 4，则折痕与数轴的交点表 示的数为 5；如图（3），若剪下的第 1条线段长为 4，第 2条线段长度为 2，则折痕 与数轴的交点表示的数为 6.综上，折痕与数轴的交点表示的数为 4或 5或 6，故答案 为 4或 5或 6. 图（1） 图（2） 图（3） 2 数轴上的循环规律问题 4. 正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹在数轴上的位置如图，点𝐴，𝐹对应的数分别为 0和 1，若正六边形（六条 边相等）𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点𝐸所对应的数为 2，则连续翻转 2021次后，数轴上 2021这个数所对应的点是() A.𝐴点 B.𝐵点 C.𝐶点 D.𝐷点 解析：正六边形在翻转第一周的过程中，点𝐹，𝐸，𝐷，𝐶，𝐵，𝐴对应的数分别 23/38 7数上 练技巧 为 1，2，3，4，5，6，翻转 6次为一次循环.因为2021 ÷ 6 = 336⋯⋯5，所以数 轴上 2021这个数所对应的点是𝐵点.故选 B. 5.在数轴上，点𝑃表示的数是𝑎，点𝑃′表示的数是 1 1−𝑎 ，我们称点𝑃′是点𝑃的“相关点”，已 知数轴上点𝐴1的相关点为𝐴2，点𝐴2的相关点为𝐴3，点𝐴3的相关点为𝐴4，⋯，这样依次得到点𝐴1， 𝐴2，𝐴3，𝐴4，⋯，𝐴𝑛.若点𝐴1在数轴上表示的数是 1 2 ，则点𝐴2024在数轴上表示的数是___. 解析：点𝐴1在数轴上表示的数是 1 2 ，则点𝐴2在数轴上表示的数是 1 1− 1 2 = 2，点𝐴3 在数轴上表示的数是 1 1−2 = −1，点𝐴4在数轴上表示的数是 1 1−(−1) = 1 2 ，点𝐴5在数轴 上表示的数是 2，点𝐴6在数轴上表示的数是−1，⋯，由此得 1 2 ，2，−1依次循环. 因为2024 ÷ 3 = 674⋯⋯2，所以点𝐴2024在数轴上表示的数是 2.故答案为 2. 3 数轴上数的变化规律问题 6.已知𝐴，𝐵在数轴上对应的数分别用𝑎，𝑏表示，且(𝑎𝑏 + 150)2 + |𝑏 + 10| = 0，𝑃是数轴上的 一个动点.动点𝑃从原点开始第 1次向右移动 1个单位长度，第 2次向左移动 3个单位长度， 第 3次向右移动 5个单位长度，第 4次向左移动 7 个单位长度，⋯，点𝑃在移动过程中，第__ __次移动后与点𝐴重合. 解析：点𝑃第 1次移动所得的对应点𝑃1表示的数为0 + 1 = 1，点𝑃第 2次移动所得的对应点𝑃2表 示的数为1 − 3 = −2，点𝑃第 3次移动所得的对应点𝑃3表示的数为−2 + 5 = 3，点𝑃第 4次移动 所得的对应点𝑃4表示的数为3 − 7 = −4，点𝑃第5次移动所得的对应点𝑃5表示的数为−4 + 9 = 5， 点𝑃第 6次移动所得的对应点𝑃6表示的数为5 − 11 = −6，⋯，点𝑃第𝑛次移动所得的对应点𝑃𝑛表 示的数为−(−1)𝑛 ⋅ 𝑛.观 察发现：当𝑛为奇数时，点𝑃对应的数为奇数𝑛；当𝑛为偶数时，点𝑃对应的数为偶数−𝑛.因为(𝑎𝑏 + 150)2 ≥ 0，|𝑏 + 10| ≥ 0，且(𝑎𝑏 + 150)2 + |𝑏 + 10| = 0，所以 𝑏 + 10 = 0，即𝑏 = −10，𝑎𝑏 + 150 = 0，即𝑎 = 15,所以点𝐴表示的数是 15，点𝐵表示的数是− 10.因为当𝑛 = 15时，点𝑃15表示的数为 15，所以点𝑃第 15次移动后与点𝐴重合. 24/38 7数上 练技巧 数轴上数的变化规律问题 1.标出序列号. 2.①有的可对每个数同时加上或减去或乘或除以第一个数，成为新数列，再找出规律，并恢复 到原来的数列. ②有的可对每个数同加或减或乘或除以同一个数（一般为 1，2，3，⋯)，成为新数列，然后 找出规律，再恢复到原来的数列. ③观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律. 7.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置（𝑂点）出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1个单位长度，其移动路线如图所示，第 1 次移动到𝐴1，第 2次移动到𝐴2，第 3次移动到𝐴3，⋯，第𝑛次移动到𝐴𝑛，则三角形𝑂𝐴2𝐴2020的 面积是() A.1009 2 B.505C.1011 2 D.506 解析：由题意知，𝐴2𝐴3 = 1，因为𝐴4表示的数为 2，𝐴8表示的数为 4，𝐴12表示的数为 6，⋯， 所以可推导一般性规律：𝐴4𝑛表示的数为2𝑛，所以𝐴2020表示的数为1010，所以𝑂𝐴2020 = 1010， 所以𝑆三角形𝑂𝐴2𝐴2020 = 1 2 × 𝑂𝐴2020 × 𝐴2𝐴3 = 1 2 × 1010 × 1 = 505，故选 B. 25/38