难点3 整式的化简求值(学用版)-2025-2026学年新教材七年级数学上册练难点技巧（人教版2024）

7数上练难点 3整式的化简求值 类型1化繁为简再求值 1.先化简，再求值： -3a2b+(4ab2-a2b)-2(2ab2-a2b),其中a=1,b=-1. 解：-3a2b+(4ab2-a2b)-2(2ab2-a2b)=-3a2b+4ab2-a2b-4ab2+2a2b=-2a2 b.当a=1,b=-1时，原式=-2×1×(-1)=2 2.先化简，再求值：2x2-3(-x2+xy)-(y-3x21+2y,其中x是最小的正整数，y 是2的相反数. 解：因为x是最小的正整数，y是2的相反数，所以x=1,y=-2, 所以2x2-3(-号x2+号y)-(xy-3x21+2y =2x2-(-5x2+2xy-xy+3x2)+2xy =2x2+5x2-2xy+xy-3x2+2xy=4x2+xy=4+(-2)=2. 3.先化简，再求值：2x2-3(-x2+xy)-(xy-3x2]+2xy,其中x是最小的正整数，y 是2的相反数. 解：因为x是最小的正整数，y是2的相反数，所以x=1,y=-2, 所以2x2-3(-x2+号y)-(xy-3x2]+2xy =2x2-(-5x2+2xy-xy+3x2)+2xy =2x2+5x2-2xy+xy-3x2+2xy=4x2+xy=4+(-2)=2. 美型2整体代入求值 4.阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛.如： 已知5a+3b=-4,求代数式2(a+b)+4(2a+b)的值 小颖同学提出了一种解法如下： 原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b),所以当5a+3b=-4时，原式=2×(-4 )=-8. 仿照小颖同学的解题方法，解答下面的问题： (1)若a+b=2,则a+b+1=: 解：因为a+b+1=(a+b)+1,所以当a+b=2时，原式=2+1=3.故答案为3. 9/38 7数上练难点 (2)已知a-b=-2,求3(a-b)-2a+2b+5的值； 解：因为3(a-b)-2a+2b+5=3(a-b)-2(a-b)+5,所以当a-b=-2时， 原式=3×(-2)-2×(-2)+5=-6+4+5=3 (3)已知a2+2ab=-2,ab-b2=-4,求4a2+7ab+b2的值. 解：因为4a2+7ab+b2=(4a2+8ab)+(-ab+b2)=4(a2+2ab)-(ab-b2), 所以当a2+2ab=-2,ab-b2=-4时，原式=4×(-2)-(-4)=-8+4=-4 5.【阅读理解】若代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x-3的值.小明采用的方法 如下： 由题意得x2+x+3=7,则有x2+x=4, 2x2+2x-3=2(x2+x)-3 =2×4-3 =5. 所以代数式2x2+2x-3的值为5. 【方法运用】(1)若代数式x2+x+1的值为10，求代数式-2x2-2x+3的值. 解：由题意，得x2+x+1=10,则x2+x=9,所以 -2x2-2x+3=-2(x2+x)+3=-2×9+3=-15. (2)当x=2时，代数式ax3+bx+4的值为9，当x=-2时，求代数式ax3+bx+3的值. 解：当x=2时，ax3+bx+4=9, 所以8a+2b+4=9,所以8a+2b=5.当x=-2时， ax3+bx+3=(-2)3a-2b+3=-8a-2b+3=-(8a+2b)+3=-5+3=-2. 【拓展应用】若a2-ab=26,ab-b2=-16,则代数式a2-2ab+b2的值为. 解析：因为a2-ab=26,ab-b2=-16,所以a2-2ab+b2=(a2-ab)-(ab-b2)=26 -(-16)=42.故答案为42. 类型3整武化简中的“无关”问题 6.如图，长为a,宽为b的长方形被分割成7部分，除阴影图形P,Q外，其余5部分为形状和 大小完全相同的小长方形0，其中小长方形0的宽为3. 10/38 7数上练难点 0 0 0 0 0 b P (1)求小长方形0的长（用含a的代数式表示）， 解：因为小长方形0的宽为3，所以小长方形0的长为a-3×3=a-9. 答：小长方形0的长为a-9. (2)小明发现阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与α值无关，他的判断是否正确？请说明理 由 解：判断正确.理由如下：由题图可得阴影图形P的长为a一9，宽为b-6,阴影图形Q的长为 9,宽为b-(a-9)=b-a+9,阴影图形P和阴影图形Q的周长之和为2(a-9+b-6)+2(9 +b-a+9)=2a-18+2b-12+18+2b-2a+18=4b+6, 所以阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与α值无关，小明的判断正确 7.已知A=2x2+mx-y,B=nx2-x+6y是关于x,y的多项式，其中m,n为常数. （1)若m=1,n=-2,化简A+B; 解：当m=1,n=-2时，A=2x2+x-y,B=-2x2-x+6y,所以 A+B=2x2+x-y+(-2x2-x+6y)=2x2+x-y-2x2-x+6y=5y. (2)若A-2B的值与x的取值无关，求代数式m2n2021的值， 解：A-2B=2x2+mx-y-2(nx2-x+6y)=(2-2)x2+(m+2)x-13y 由题意可得2-2n=0,m+2=0, 解得m=-2,n=1, 所以m2n2021=(-2)2×12021=4×1=4. 类型4利用数形绮合化简求值 8.有理数a,b,c所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式a-c-b-b-a+ b+al. 解：由数轴可得a-c<0,b>0,b-a>0,a+b<0, 所以原式=c-a-b-b+a-b-a=-a-3b+c. 9.已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示 a b 0 11/38 7数上练难点 (1)在数轴上标出-a,-b,-c这三个数所对应的点，并将a,b,c,-a,-b,-c这6个数 按从小到大的顺序用“<”连接； 解：在数轴上标出-a,-b,-c这三个数所对应的点，如下图.将a,b,c,-a,-b,-c这 6个数按从小到大的顺序用“<”连接如下：-c<a<b<-b<-a<c. -c a b 0-b -a c (2)化简式子引-a-bl+b-cl-lc-al 解：由题意得a<b<0<c,所以-a>0,-b>0,-c<0,所以-a-b>0, b-c<0,c-a>0,-a-bl+b-cl-lc-al=-a-b+(c-b)-(c-a)=-a -b+c-b-c+a=-2b. (3)若a+b+c=0,且表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互 为相反数，求-3(a-b)-(c+5)-2(c+4b)的值 解：因为表示数α的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互为相反数，所以a -1+c=0,所以a+c=1.因为a+b+c=0,所以b=-1.-3(a-b)-(c+5)-2(c+4b )=-3a+3b-c-5-2c-8b=-3a-5b-3c-5=-3(a+c)-5b-5=-3×1-5 ×(-1)-5=-3+5-5=-3. 12/387 数上 练难点 3 整式的化简求值 类型 1 化繁为简再求值 1.先化简，再求值：−3𝑎2𝑏 + (4𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏) − 2(2𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏)，其中𝑎 = 1，𝑏 = −1. 2. 先化简，再求值：2𝑥2 − [3(− 5 3 𝑥2 + 2 3 𝑥𝑦) − (𝑥𝑦 − 3𝑥2)] + 2𝑥𝑦，其中𝑥是最小的正整数，𝑦 是 2的相反数． 3. 先化简，再求值：2𝑥2 − [3(− 5 3 𝑥2 + 2 3 𝑥𝑦) − (𝑥𝑦 − 3𝑥2)] + 2𝑥𝑦，其中𝑥是最小的正整数，𝑦 是 2的相反数． 9/29 7 数上 练难点 类型 2 整体代入求值 4. 阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如： 已知5𝑎 + 3𝑏 = −4，求代数式2(𝑎 + 𝑏) + 4(2𝑎 + 𝑏)的值. 小颖同学提出了一种解法如下： 原式= 2𝑎 + 2𝑏 + 8𝑎 + 4𝑏 = 10𝑎 + 6𝑏 = 2(5𝑎 + 3𝑏),所以当5𝑎 + 3𝑏 = −4时，原式= 2 × (−4 ) = −8． 仿照小颖同学的解题方法，解答下面的问题： （1）若𝑎 + 𝑏 = 2，则𝑎 + 𝑏 + 1 =_____； （2）已知𝑎 − 𝑏 = −2，求3(𝑎 − 𝑏) − 2𝑎 + 2𝑏 + 5的值； （3）已知𝑎2 + 2𝑎𝑏 = −2，𝑎𝑏 − 𝑏2 = −4，求4𝑎2 + 7𝑎𝑏 + 𝑏2的值． 5. 【阅读理解】若代数式𝑥2 + 𝑥 + 3的值为 7，求代数式2𝑥2 + 2𝑥 − 3的值．小明采用的方法 如下： 由题意得𝑥2 + 𝑥 + 3 = 7，则有𝑥2 + 𝑥 = 4， 2𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 2(𝑥2 + 𝑥) − 3 = 2 × 4 − 3 = 5． 所以代数式2𝑥2 + 2𝑥 − 3的值为 5． 【方法运用】（1）若代数式𝑥2 + 𝑥 + 1的值为 10，求代数式−2𝑥2 − 2𝑥 + 3的值． 10/29 7 数上 练难点 （2）当𝑥 = 2时，代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 4的值为 9，当𝑥 = −2时，求代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 3的值． 【拓展应用】若𝑎2 − 𝑎𝑏 = 26，𝑎𝑏 − 𝑏2 = −16，则代数式𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2的值为____． 类型 3 整式化简中的“无关”问题 6. 如图，长为𝑎，宽为𝑏的长方形被分割成 7部分，除阴影图形𝑃，𝑄外，其余 5部分为形状和 大小完全相同的小长方形𝑂，其中小长方形𝑂的宽为 3. （1）求小长方形𝑂的长（用含𝑎的代数式表示）. （2）小明发现阴影图形𝑃与阴影图形𝑄的周长之和与𝑎值无关，他的判断是否正确？请说明理 由. 7. 已知𝐴 = 2𝑥2 +𝑚𝑥 − 𝑦，𝐵 = 𝑛𝑥2 − 𝑥 + 6𝑦是关于𝑥，𝑦的多项式，其中𝑚，𝑛为常数． （1）若𝑚 = 1，𝑛 = −2，化简𝐴 + 𝐵； （2）若𝐴 − 2𝐵的值与𝑥的取值无关，求代数式𝑚2𝑛2021的值． 11/29 7 数上 练难点 类型 4 利用数形结合化简求值 8. 有理数𝑎，𝑏，𝑐所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式|𝑎 − 𝑐| − |𝑏| − |𝑏 − 𝑎| + | 𝑏 + 𝑎|. 9.已知𝑎，𝑏，𝑐三个数在数轴上对应点的位置如图所示. （1）在数轴上标出−𝑎，−𝑏，−𝑐这三个数所对应的点，并将𝑎，𝑏，𝑐，−𝑎，−𝑏，−𝑐这 6个数 按从小到大的顺序用“<”连接； （2）化简式子| − 𝑎 − 𝑏| + |𝑏 − 𝑐| − |𝑐 − 𝑎|； （3）若𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0，且表示数𝑎的点向左运动 1 个单位长度后在数轴上对应的数恰好与𝑐互 为相反数，求−3(𝑎 − 𝑏) − (𝑐 + 5) − 2(𝑐 + 4𝑏)的值. 12/29