难点1 简化有理数的计算(学用版)-2025-2026学年新教材七年级数学上册练难点技巧（人教版2024）

7 数上 练难点 1 简化有理数的计算 类型 1 归类——同号相加，同分母相加 1. 计算：−16 − (−21) + (−12) − 35 − (−3). 2. 计算：(− 3 2 ) + (− 5 12 ) + 5 2 + (− 7 12 ). 类型 2 凑整——将和（积）为整数的数相结合 3. 计算：2 1 2 − 0.6 + 2 − 2.5 + 10 − 1 2 5 . 4. 计算：(−1.25) × 5 7 × (−4) × (− 7 5 ). 类型 3 变序——方便约分和计算 5. 计算:45 × (−25) × 7 8 × (− 11 15 ) ÷ 1 4 × (−1 1 7 ). 3/29 7 数上 练难点 6. 计算：4 × (−3 6 7 ) − 3 × (−3 6 7 ) − 6 × 3 6 7 . 类型 4 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化计算 7. 计算：1 − 3 × 2 + 5 + 7 − 9 × 2 + 11 + 13 − 15 × 2 + 17 +⋯+ 2011 − 2013 × 2 + 2015 + 2017. 8. 计算：(− 1 2 × 3 2 ) × (− 2 3 × 4 3 ) × (− 3 4 × 5 4 ) × ⋯× (− 2021 2022 × 2023 2022 ). 类型 5 拆分——将带分数拆分 9.用简便方法计算： （1） (−2024 5 6 ) + 4046 2 3 + (−2025 2 3 ) + 1 5 6 . （2） (−199 37 38 ) × 76. 4/29 7 数上 练难点 类型 6 裂项——拆项相消 10. 阅读下面的解答过程. 计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 9×10 . 解：因为 1 1×2 = 1 − 1 2 ， 1 2×3 = 1 2 − 1 3 ， 1 3×4 = 1 3 − 1 4 ，⋯， 1 9×10 = 1 9 − 1 10 ， 所以原式= (1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯+ ( 1 9 − 1 10 ) = 1 + (− 1 2 + 1 2 ) + (− 1 3 + 1 3 ) +⋯+ (− 1 9 + 1 9 ) − 1 10 = 1 − 1 10 = 9 10 根据以上解题方法计算： （1） 1 𝑛(𝑛+1) =________（𝑛为正整数）； （2）1 − 1 2 − 1 6 − 1 12 − 1 20 − 1 30 − 1 42 ； （3） 1 2×4 + 1 4×6 + 1 6×8 +⋯+ 1 2018×2020 . 5/29 7 数上 练难点 类型 7 换位——将被除数与除数颠倒位置 11.阅读下列材料，回答问题. 计算：50 ÷ ( 1 3 − 1 4 + 1 12 ). 解法 1：原式= 50 ÷ 1 3 − 50 ÷ 1 4 + 50 ÷ 1 12 = 50 × 3 − 50 × 4 + 50 × 12.该解法对吗？ 答：_______________________________________________________. 解法 2：先计算原式的倒数，( 1 3 − 1 4 + 1 12 ) ÷ 50 = 1 3 × 1 50 − 1 4 × 1 50 + 1 12 × 1 50 = 1 300 ，故原式= 300. （1）请你用解法 2的方法计算：(− 1 30 ) ÷ ( 2 3 − 1 10 + 1 6 − 2 5 )； （2）计算：(1 3 4 − 7 8 − 7 12 ) ÷ (− 7 8 ) + (− 7 8 ) ÷ (1 3 4 − 7 8 − 7 12 ) 6/29 7 数上 练难点 1 简化有理数的计算 类型 1 归类——同号相加，同分母相加 1. 计算：−16 − (−21) + (−12) − 35 − (−3). 解：−16 − (−21) + (−12) − 35 − (−3) = −16 + 21 − 12 − 35 + 3 = −(16 + 12 + 35) + (21 + 3) = −39. 2. 计算：(− 3 2 ) + (− 5 12 ) + 5 2 + (− 7 12 ). 解：原式= [(− 3 2 ) + 5 2 ] + [(− 5 12 ) + (− 7 12 )] = 1 + (−1) = 0. 类型 2 凑整——将和（积）为整数的数相结合 3. 计算：2 1 2 − 0.6 + 2 − 2.5 + 10 − 1 2 5 . 解：原式= [2 1 2 + (−2.5)] + [(−0.6) + (−1 2 5 ) + 2] + 10 = 0 + 0 + 10 = 10. 4. 计算：(−1.25) × 5 7 × (−4) × (− 7 5 ). 解：原式= [(−1.25) × (−4)] × [ 5 7 × (− 7 5 )] = 5 × (−1) = −5. 类型 3 变序——方便约分和计算 5. 计算:45 × (−25) × 7 8 × (− 11 15 ) ÷ 1 4 × (−1 1 7 ). 解：原式= −(45 × 11 15 ) × (25 × 4) × ( 7 8 × 8 7 ) = −33 × 100 × 1 = −3300. 6. 计算：4 × (−3 6 7 ) − 3 × (−3 6 7 ) − 6 × 3 6 7 . 解：原式= − 27 7 × (4 − 3 + 6) = − 27 7 × 7 = −27. 类型 4 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化计算 7. 计算：1 − 3 × 2 + 5 + 7 − 9 × 2 + 11 + 13 − 15 × 2 + 17 +⋯+ 2011 − 2013 × 2 + 2015 + 2017. 解：原式= (1 − 3 × 2 + 5) + (7 − 9 × 2 + 11) + (13 − 15 × 2 + 17) +⋯+ (2011 − 2013 × 2 + 2015) + 2017 = 2017. 8. 计算：(− 1 2 × 3 2 ) × (− 2 3 × 4 3 ) × (− 3 4 × 5 4 ) × ⋯× (− 2021 2022 × 2023 2022 ). 解：原式= − 1 2 × ( 3 2 × 2 3 ) × ( 4 3 × 3 4 ) × ( 5 4 × 4 5 ) × ⋯× ( 2022 2021 × 2021 2022 ) × 2023 2022 3/38 7 数上 练难点 = − 1 2 × 1 × 1 × 1 ×⋯× 1 × 2023 2022 = − 2023 4044 . 类型 5 拆分——将带分数拆分 9.用简便方法计算： （1） (−2024 5 6 ) + 4046 2 3 + (−2025 2 3 ) + 1 5 6 . 解：(−2024 5 6 ) + 4046 2 3 + (−2025 2 3 ) + 1 5 6 = [(−2024) + (− 5 6 )] + (4046 + 2 3 ) + [(−2025) + (− 2 3 )] + (1 + 5 6 ) = [(−2024) + 4046 + (−2025) + 1] + [(− 5 6 ) + 2 3 + (− 2 3 ) + 5 6 ] = −2 + 0 = −2. （2） (−199 37 38 ) × 76. 解：(−199 37 38 ) × 76 = (−200 + 1 38 ) × 76 = −200 × 76 + 1 38 × 76 = −15200 + 2 = −15198. 类型 6 裂项——拆项相消 10. 阅读下面的解答过程. 计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 9×10 . 解：因为 1 1×2 = 1 − 1 2 ， 1 2×3 = 1 2 − 1 3 ， 1 3×4 = 1 3 − 1 4 ，⋯， 1 9×10 = 1 9 − 1 10 ， 所以原式= (1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯+ ( 1 9 − 1 10 ) = 1 + (− 1 2 + 1 2 ) + (− 1 3 + 1 3 ) +⋯+ (− 1 9 + 1 9 ) − 1 10 = 1 − 1 10 = 9 10 根据以上解题方法计算： （1） 1 𝑛(𝑛+1) =________（𝑛为正整数）； 答案： 1 𝑛 − 1 𝑛+1 （2）1 − 1 2 − 1 6 − 1 12 − 1 20 − 1 30 − 1 42 ； 解：1 − 1 2 − 1 6 − 1 12 − 1 20 − 1 30 − 1 42 = 1 − 1 1×2 − 1 2×3 − 1 3×4 − 1 4×5 − 1 5×6 − 1 6×7 4/38 7 数上 练难点 = 1 − 1 + 1 2 − 1 2 + 1 3 −⋯− 1 6 + 1 7 = 1 7 . （3） 1 2×4 + 1 4×6 + 1 6×8 +⋯+ 1 2018×2020 . 解：原式= 1 4 × (1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 1009 − 1 1010 ) = 1 4 × (1 − 1 1010 ) = 1 4 × 1009 1010 = 1009 4040 . 类型 7 换位——将被除数与除数颠倒位置 11.阅读下列材料，回答问题. 计算：50 ÷ ( 1 3 − 1 4 + 1 12 ). 解法 1：原式= 50 ÷ 1 3 − 50 ÷ 1 4 + 50 ÷ 1 12 = 50 × 3 − 50 × 4 + 50 × 12.该解法对吗？ 答：_______________________________________________________. 解法 2：先计算原式的倒数，( 1 3 − 1 4 + 1 12 ) ÷ 50 = 1 3 × 1 50 − 1 4 × 1 50 + 1 12 × 1 50 = 1 300 ，故原式= 300. 解：因为除法没有分配律，所以解法 1不对.故答案为不对. （1）请你用解法 2的方法计算：(− 1 30 ) ÷ ( 2 3 − 1 10 + 1 6 − 2 5 )； 解：先计算原式的倒数， ( 2 3 − 1 10 + 1 6 − 2 5 ) ÷ (− 1 30 ) = 2 3 × (−30) − 1 10 × (−30) + 1 6 × (−30) − 2 5 × (−30) = −20 − (−3) + (−5) − (−12) = −20 + 3 − 5 + 12 = −10，故原式= − 1 10 . （2）计算：(1 3 4 − 7 8 − 7 12 ) ÷ (− 7 8 ) + (− 7 8 ) ÷ (1 3 4 − 7 8 − 7 12 ) 解：(1 3 4 − 7 8 − 7 12 ) ÷ (− 7 8 ) = 7 4 × (− 8 7 ) − 7 8 × (− 8 7 ) − 7 12 × (− 8 7 ) = −2 − (−1) − (− 2 3 ) = −2 + 1 + 2 3 = − 1 3 ，所以(− 7 8 ) ÷ (1 3 4 − 7 8 − 7 12 ) = −3，所以原式= − 1 3 + (−3) = − 10 3 5/38