第20讲 抛体运动（举一反三讲义）（全国通用）

第20讲 抛体运动 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：平抛运动运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点02：有约束条件的平抛运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点03：类平抛运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点04：斜抛运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 二、 拓展学习（平抛运动中的临界问题（1例+1变式）） 三、 巩固提升（精选20道题） 平抛运动 考点一 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4.规律： (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【例1-1】（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【例1-2】（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 【变式1-1】（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【变式1-2】（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【解题能力提升】 平抛运动所涉及物理量的计算 物理量 公式 决定因素 飞行 时间 t= 取决于下落高度h和重力加速度g,与初速度v0无关 水平 射程 x=v0t= v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定 落地 速度 vt= = 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关 有约束条件的平抛运动 考点二 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.落点在斜面上的三种情境分析 模型 方法 分解速度,构建速度三角形,找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度,构建速度的矢量三角形 分解位移,构建位移三角形,隐含条件:斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角 运动时间 由tan θ== 得 t= 由tan θ== 得 t= 由tan θ== 得t= 3.落点在曲面上的三种情境分析 模型 处理方法 分解速度 利用位移关系 利用位移关系 物理量 分析 因tan θ== 得t= x=R+R·cos θ=v0t y=Rsin θ=gt2 (x-R)2+y2=R2 x=v0t y=gt2 x2+y2=R2 【例2-1】（多选）（2025·广东深圳·三模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（    ） A．他们飞行时间之比为1：4 B．他们飞行的水平位移之比为1：8 C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【例2-2】（多选）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将、两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知，，，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中 【变式2-1】如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为(　　) A． sin θ B． cos θ C． tan θ D． 【变式2-2】如图所示，竖直平面xOy中存在一抛物线其满足方程y=x2，现在y轴上y0=216m处，以v0=1m/s水平抛出一质点，则该质点击中抛物线p(x,y）的位置坐标满足（忽略空气阻力，g=10m/s2）（    ） A．x=36m B．x=6m C．y=6m D．y=72m 类平抛问题 考点三 1．受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2． 运动特点： 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 【例3】（多选）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（　　） A．物块运动的加速度 B．物块由P运动到Q所用的时间 C．物块由P点水平射入时的初速度 D．物块离开Q点时的速度大小 【变式3】如图甲所示的风洞实验中小球的运动简化为如图乙所示的匀变速曲线运动，虚线AB与水平地面的夹角为 ，质量为m的小球从P点以大小为的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小，方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的某点D （图中未标出）点，重力加速度大小为g，，，小球可视为质点。试计算： (1)小球从P点运动到最高点的时间。 (2)若小球的离地高度，，重力加速度，求小球落地时的水平位移。 (3)小球从抛出到落到D点的所用的时间。 【解题能力提升】 分析空间中的抛体运动的思路 1.明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓； 2.以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系； 3.确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质； 4.依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小； 5.利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。 斜抛运动 考点四 1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4.基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为：v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为： y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【例4-1】（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【变式4-1】（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（2022·山东·高考真题）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　） A． B． C． D． 【解题能力提升】 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程,可以逆向看成平抛运动;分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解有关问题。 拓展学习 1.两种常见情形 （1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； （2）物体的速度方向恰好为某一方向. 2.解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界” “刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题. 【例5】2024年，中国选手郑钦文在巴黎奥运会上夺得金牌，掀起了全民网球运动的热潮。某学校网球场地示意图如图所示，场地水平，半场长度，中央球网高。某同学在练习击球时，击球点到地面的距离保持，球的运动都视为平抛运动，取重力加速度。 (1)该同学站在底线MN上的P点水平发球，P点到M点的距离为6m，球能过网且落在阴影区域内视为发球成功，则该同学发球成功的发球初速度最大不能超过多少？ (2)若某次击球时，该同学在P点将球垂直于底线MN水平击出，球恰好贴近网的上边而过，求球落地的瞬时速度大小及球落地点到网的距离。（计算结果中可有根式） 【变式5】如图所示，还没有安装玻璃的窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m。某人在离墙壁距离L=1.4 m，距窗子上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上（ g=10 m/s2），求v的取值范围。    巩固提升 1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（    ）    A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等 4．（2022·广东·高考真题）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（　　） A． B． C． D． 5．（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 6．（多选）（2025·山东·模拟预测）某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v₀跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是（　　） A． B． C．θ=30° D． 7．（2021·河北·高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（　　） A．100∶1 B．1∶100 C．1∶200 D．200∶1 8．（2025·河北沧州·二模）在巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的历史。如图所示，某次在网前截击中，若郑钦文在球网正上方距地面处的点将球沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上点。已知底线到网的水平距离为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列有关说法正确的是（　　） A．网球击出后球的运动是加速度和速度都不断增大的曲线运动 B．网球从点击出至落在底线上点所用时间为 C．网球从点击出至落在底线上点位移的大小等于 D．网球做平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机组成的无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为S=3000m2的拦截炸弹区，不计空气阻力，现以离地2000m处相应的面积比为拦截炸弹比，取，则拦截炸弹比约为（　　） A．0.5 B．0.25 C．0.05 D．0.025 10．（2025·河北秦皇岛·二模）2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队勇夺网球女子单打首枚金牌。若某次训练中，她第一次在地面上方A点把网球以初速度水平击出，落在水平面上B点；第二次在地面上方C点把网球以一定初速度斜向上击出，初速度方向与水平方向的夹角为，网球运动的最高点恰好为A点，落在水平面上D点，如图为网球两次运动的轨迹，两轨迹在同一竖直平面内，A点在水平地面的投影点为，，A点到地面的距离是C点到地面的距离的，不计空气阻力，重力加速度大小为g，。下列说法正确的是（　　） A．网球两次在空中做匀变速运动的加速度不同 B．网球第二次的初速度大小为 C．A、C两点间的水平距离为 D．网球在B点的速度大小为 11．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，圆心为点，、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球（可视为质点）获得一个水平向右的初速度，不计空气阻力，则小球从点离开后运动到圆弧上某点过程说法正确的是（    ） A．初速度越大，小球落在圆弧上时速度越大 B．初速度越大，小球平抛运动过程速度的变化量越大 C．改变初速度的大小，落在圆弧上不同位置速率可能相等 D．改变初速度的大小，落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线 12．（24-25高三下·四川巴中·开学考试）如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为，在O点击中网球，球以的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小，，下列说法正确的是（    ） A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为10 B．网球由O点运动到P点的时间为1.6s C．O、P两点间的水平距离为12.8m D．若O、P两点连线与墙壁的夹角为，则 13．如图所示，为建筑工地上的四分之一圆弧轨道，圆心为O，半径竖直，点将分成3等份。工件甲、乙分别从点水平向右抛出，不计空气阻力，则能垂直击中轨道的是（　　） A．仅甲能 B．仅乙能 C．甲、乙都能 D．甲、乙都不能 14．如图所示，在同一竖直平面内，水平面的右端固定一倾角为的斜面，在水平面上D点正上方O点处水平向右以的速度抛出一个小球M，同时位于斜面底端C点、质量的滑块，在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由静止开始向上加速运动，经过时间恰好在P点被M击中。已知滑块与斜面间动摩擦因数，重力加速度，小球和滑块均可看成质点，不计空气阻力，则拉力F大小为（　　） A． B． C． D． 15．（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（　　） A． B． C． D． 16．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）如图所示，位于同一高度的两小球、之间的距离为，现将球以水平向右的速度抛出的同时，球自由下落。已知重力加速度为，不计空气阻力，则在两球第一次落地的过程中（　　） A．、会相碰 B．、不会相碰 C．只有当特别小时、才可能相碰 D．无法判断、能否相碰 17．（多选）（2025·广东深圳·三模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（    ） A．他们飞行时间之比为1：4 B．他们飞行的水平位移之比为1：8 C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 18．（多选）（2025·山东潍坊·二模）如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲 B．甲、乙初速度大小之比为 C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为 D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧 19．（2025·山西·二模）小明坐在倾角为的斜坡上将质量为的小球抛出，抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为，不计空气阻力，，，求： (1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间和小球的位移大小s； (2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间。 20．（2025·福建泉州·模拟预测）某同学受《三国演义》的启发，设计了一个“借箭”游戏模型。如图所示，城堡上装有一根足够长的光滑细杆，杆上套一个质量为的金属环，金属环用长度轻绳悬挂着一个质量为的木块，静止在城墙上方。若士兵以一定角度射出质量为的箭，箭刚好水平射中木块并留在木块中箭与木块的作用时间很短，之后带动金属环运动。已知箭的射出点到木块的水平距离为、竖直高度为，重力加速度，在整个运动过程中，木块整体上升的最大高度小于绳长，箭、木块、金属环均可视为质点，忽略空气阻力，求： (1)箭射中木块前瞬间的速度大小； (2)箭射入木块的过程中系统损失的机械能； (3)木块第一次回到最低点时绳子的拉力大小？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 抛体运动 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：平抛运动运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点02：有约束条件的平抛运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点03：类平抛运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点04：斜抛运动（必备知识+2例+2变式+能力提升） 二、 拓展学习（平抛运动中的临界问题（1例+1变式）） 三、 巩固提升（精选20道题） 平抛运动 考点一 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4.规律： (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【例1-1】（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误； CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 故选D。 【例1-2】（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 【答案】（1）4m/s；；（2） 【详解】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为 薄板做加速运动的加速度 对物块 对薄板 解得 （2）物块飞离薄板后薄板得速度 物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为 则平台距地面的高度 【变式1-1】（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中、 解得，故选B。 【变式1-2】（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 【解题能力提升】 平抛运动所涉及物理量的计算 物理量 公式 决定因素 飞行 时间 t= 取决于下落高度h和重力加速度g,与初速度v0无关 水平 射程 x=v0t= v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定 落地 速度 vt= = 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关 有约束条件的平抛运动 考点二 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.落点在斜面上的三种情境分析 模型 方法 分解速度,构建速度三角形,找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度,构建速度的矢量三角形 分解位移,构建位移三角形,隐含条件:斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角 运动时间 由tan θ== 得 t= 由tan θ== 得 t= 由tan θ== 得t= 3.落点在曲面上的三种情境分析 模型 处理方法 分解速度 利用位移关系 利用位移关系 物理量 分析 因tan θ== 得t= x=R+R·cos θ=v0t y=Rsin θ=gt2 (x-R)2+y2=R2 x=v0t y=gt2 x2+y2=R2 【例2-1】（多选）（2025·广东深圳·三模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（    ） A．他们飞行时间之比为1：4 B．他们飞行的水平位移之比为1：8 C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【答案】AC 【详解】A．设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动，有x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有 运动员落在斜面上时，有 联立解得 则知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为，故A正确； B．水平位移 运动员飞行的水平位移x与初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移之比为1:16，故B错误； C．将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，则运动员在空中离雪道坡面的最大高度为 所以他们在空中离雪道坡面的最大高度之比为1:16，故C正确； D．落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α，则有 则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故 D错误。 故选AC。 【例2-2】（多选）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将、两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知，，，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中 【答案】AD 【详解】A．从Ｍ点抛出的小球， 解得，故Ａ正确； B．从N点抛出的小球， 解得，故B错误； C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，则运动时间相同均为 根据 两球抛出的速率之和 随着落点的竖直高度的变化而变化，故C错误； D．根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，假设小球垂直落在半球型坑中，速度反向延长线过球心O并不是水平位移的中点，两者矛盾，所以假设错误，不可能使小球垂直坑壁落在圆弧轨道内，故D正确。 故选AD。 【变式2-1】如图，倾角为θ的斜面体ABC固定在水平地面上，在A点正上方的P点，以速度v0水平抛出一个小球，小球落在斜面上的Q点(图中未画出)，且落到斜面上时速度方向与斜面垂直，重力加速度为g，不计空气阻力，则Q点离地面的高度为(　　) A． sin θ B． cos θ C． tan θ D． 【答案】D 【详解】当小球落到斜面上时，设竖直方向的分速度为vy，则有 又vy＝gt，x＝v0t 联立解得 则Q点离地面的高度h＝xtan θ＝ 故选D。 【变式2-2】如图所示，竖直平面xOy中存在一抛物线其满足方程y=x2，现在y轴上y0=216m处，以v0=1m/s水平抛出一质点，则该质点击中抛物线p(x,y）的位置坐标满足（忽略空气阻力，g=10m/s2）（    ） A．x=36m B．x=6m C．y=6m D．y=72m 【答案】B 【详解】设质点经时间t击中抛物线，则有 又由x、y满足方程y=x2，带入可得 解得 则可得 故选B。 类平抛问题 考点三 1．受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2． 运动特点： 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 【例3】（多选）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（　　） A．物块运动的加速度 B．物块由P运动到Q所用的时间 C．物块由P点水平射入时的初速度 D．物块离开Q点时的速度大小 【答案】BCD 【详解】AB．根据牛顿第二定律 物体运动的加速度为 根据运动学公式 得物块由P运动到Q所用的时间 故A错误，B正确； C．入射的初速度为 故C正确； D．物块离开Q点时沿斜面向下的分速度的大小 物块离开Q点时的速度大小 故D正确。故选BCD。 【变式3】如图甲所示的风洞实验中小球的运动简化为如图乙所示的匀变速曲线运动，虚线AB与水平地面的夹角为 ，质量为m的小球从P点以大小为的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小，方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的某点D （图中未标出）点，重力加速度大小为g，，，小球可视为质点。试计算： (1)小球从P点运动到最高点的时间。 (2)若小球的离地高度，，重力加速度，求小球落地时的水平位移。 (3)小球从抛出到落到D点的所用的时间。 【答案】(1)(2)31m(3) 【详解】（1）小球从P点运动到最高点时竖直方向速度减为0，则有 （2）设小球空中运动时间为，规定向上为正方向，对小球，竖直方向有 代入题中数据，解得 则小球落地时的水平位移 其中 联立解得 （3）把F和mg合成一个力 设与F的夹角为，则有 可知 即恰好沿PC方向，小球从P点到D点做类平抛运动，由类平抛运动的规律有 其中 解得 【解题能力提升】 分析空间中的抛体运动的思路 1.明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓； 2.以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系； 3.确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质； 4.依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小； 5.利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。 斜抛运动 考点四 1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4.基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为：v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为： y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【例4-1】（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】网球水平方向上做匀速直线运动，有 设球网高度为h，则对A点发出的球，有 对B点发出的球，有 联立以上各式，可得，故选C。 【例4-2】（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为，故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得，故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为，故D正确。故选BD。 【变式4-1】（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得，故选B。 【变式4-2】（多选）（2022·山东·高考真题）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设网球飞出时的速度为，竖直方向 代入数据得 则 排球水平方向到点的距离 根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量 平行墙面的速度分量 反弹后，垂直墙面的速度分量 则反弹后的网球速度大小为 网球落到地面的时间 着地点到墙壁的距离 故BD正确，AC错误。故选BD。 【解题能力提升】 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程,可以逆向看成平抛运动;分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解有关问题。 拓展学习 1.两种常见情形 （1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； （2）物体的速度方向恰好为某一方向. 2.解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界” “刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题. 【例5】2024年，中国选手郑钦文在巴黎奥运会上夺得金牌，掀起了全民网球运动的热潮。某学校网球场地示意图如图所示，场地水平，半场长度，中央球网高。某同学在练习击球时，击球点到地面的距离保持，球的运动都视为平抛运动，取重力加速度。 (1)该同学站在底线MN上的P点水平发球，P点到M点的距离为6m，球能过网且落在阴影区域内视为发球成功，则该同学发球成功的发球初速度最大不能超过多少？ (2)若某次击球时，该同学在P点将球垂直于底线MN水平击出，球恰好贴近网的上边而过，求球落地的瞬时速度大小及球落地点到网的距离。（计算结果中可有根式） 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）点到阴影区域最大距离为 球落地的时间为 则初速度为 P点到球网距离为 球能通过球网的最长时间为 速度为 可得 则该同学发球成功的发球初速度最大不能超过。 （2）球落地的时间为 球通过球网的时间为 球的初速度为 球落地点到网的距离 球落地的瞬时速度为 【变式5】如图所示，还没有安装玻璃的窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，墙的厚度d=0.4 m。某人在离墙壁距离L=1.4 m，距窗子上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上（ g=10 m/s2），求v的取值范围。    【答案】3 m/s<v<7 m/s 【详解】若小物体恰好从窗口上沿右侧飞过，此时速度最大，根据图示有 解得 该速度为小物体直接穿过窗口并落在水平地面上的最大速度，若小物体恰好从窗口下沿左侧飞过，此时速度最小，根据图示有 解得 综合上述可知，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，小物体的速度范围为 3 m/s<v<7 m/s 巩固提升 1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 【答案】C 【详解】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有 可得 因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c上面。 故选C。 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 3．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（    ）    A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等 【答案】B 【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误； C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误； B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于，B正确； D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 故选B。 4．（2022·广东·高考真题）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜坡倾角为，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律 可得 运动员在水平段做匀速直线运动，加速度 运动员从点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度 设在点的速度为，则从点飞出后速度大小的表达式为 由分析可知从点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且 C正确，ABD错误。 故选C。 5．（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 【答案】B 【详解】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据 可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有 故选B。 6．（多选）（2025·山东·模拟预测）某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v₀跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是（　　） A． B． C．θ=30° D． 【答案】ABD 【详解】海豚若能顶到球，则水平方向H=v0cosθt 竖直方向 则 当海豚在落水前所经历的时间为 故当海豚落水时恰好顶到球，则有 解得 故当时，海豚可以顶到球，则选项AB均可。 故选ABD。 7．（2021·河北·高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（　　） A．100∶1 B．1∶100 C．1∶200 D．200∶1 【答案】C 【详解】铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即 解得 铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即 解得 则 故选C。 8．（2025·河北沧州·二模）在巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，创造了新的历史。如图所示，某次在网前截击中，若郑钦文在球网正上方距地面处的点将球沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上点。已知底线到网的水平距离为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列有关说法正确的是（　　） A．网球击出后球的运动是加速度和速度都不断增大的曲线运动 B．网球从点击出至落在底线上点所用时间为 C．网球从点击出至落在底线上点位移的大小等于 D．网球做平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定 【答案】D 【详解】A．网球击出之后网球的运动视作平抛运动，平抛运动的加速度不变，做匀变速曲线运动，速度不断增大，故A错误； B．竖直方向，根据，网球从击出至落地所用时间为，故B错误； C．网球从击球点至落地点的位移大小为，故C错误； D．根据 可知平抛运动的水平位移由抛出时的高度和初速度的大小共同决定，故D正确。 故选D。 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机组成的无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为S=3000m2的拦截炸弹区，不计空气阻力，现以离地2000m处相应的面积比为拦截炸弹比，取，则拦截炸弹比约为（　　） A．0.5 B．0.25 C．0.05 D．0.025 【答案】D 【详解】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律得 ， 解得 拦截炸弹比为 故选D。 10．（2025·河北秦皇岛·二模）2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队勇夺网球女子单打首枚金牌。若某次训练中，她第一次在地面上方A点把网球以初速度水平击出，落在水平面上B点；第二次在地面上方C点把网球以一定初速度斜向上击出，初速度方向与水平方向的夹角为，网球运动的最高点恰好为A点，落在水平面上D点，如图为网球两次运动的轨迹，两轨迹在同一竖直平面内，A点在水平地面的投影点为，，A点到地面的距离是C点到地面的距离的，不计空气阻力，重力加速度大小为g，。下列说法正确的是（　　） A．网球两次在空中做匀变速运动的加速度不同 B．网球第二次的初速度大小为 C．A、C两点间的水平距离为 D．网球在B点的速度大小为 【答案】C 【详解】A．网球在空中只受重力，加速度均为，故A错误； B．设、两点距离为，第二次网球过点后做平抛运动，根据，，解得水平方向的速度为，结合，可得第二次网球过A点的速度大小为，所以网球第二次的初速度大小为，故B错误； C．初速度竖直分量，网球从点到A点的时间，则、两点间的水平距离为，故C正确； D．根据题意有，即，网球在点，竖直方向的速度为，又水平方向的速度为，故网球在B点的速度大小为，故D错误。 故选C。 11．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，圆心为点，、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球（可视为质点）获得一个水平向右的初速度，不计空气阻力，则小球从点离开后运动到圆弧上某点过程说法正确的是（    ） A．初速度越大，小球落在圆弧上时速度越大 B．初速度越大，小球平抛运动过程速度的变化量越大 C．改变初速度的大小，落在圆弧上不同位置速率可能相等 D．改变初速度的大小，落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线 【答案】C 【详解】AC．由，与几何关系 可得， 通过求导化简可知当,即时,末速度最小，故A错误，C正确； B．初速度越大，时间越短，速度的变化量越小，故B错误； D．若落在圆弧上速度的方向垂直于该点的切线，则速度的反向延长线过点，不能过水平位移的中点而不合理，故D错误。 故选C。 12．（24-25高三下·四川巴中·开学考试）如图所示，某同学对着竖直墙壁练习打网球，该同学使球拍与水平方向的夹角为，在O点击中网球，球以的速度垂直球拍离开O点，恰好垂直击中墙壁上的P点，忽略空气阻力的影响，取重力加速度大小，，下列说法正确的是（    ） A．网球在P点与墙壁碰撞时的速度大小为10 B．网球由O点运动到P点的时间为1.6s C．O、P两点间的水平距离为12.8m D．若O、P两点连线与墙壁的夹角为，则 【答案】B 【详解】A．网球的逆向运动（由P点到O点）为平抛运动，对O点速度进行分解可得 选项A错误； B．在竖直方向上有 解得 选项B正确； C．O、P两点间的水平距离 选项C错误； D．根据题意可知 根据几何关系有 联立可得 选项D错误。 故选B。 13．如图所示，为建筑工地上的四分之一圆弧轨道，圆心为O，半径竖直，点将分成3等份。工件甲、乙分别从点水平向右抛出，不计空气阻力，则能垂直击中轨道的是（　　） A．仅甲能 B．仅乙能 C．甲、乙都能 D．甲、乙都不能 【答案】A 【详解】设在OB上某点C水平抛出正好垂直落于圆弧上D点，可知速度反向延长线交于水平位移中点，如图所示 可见 故OB中点下方水平抛出的小球，都不可能垂直落于AB圆弧轨道上，从M点水平抛出，可见竖直位移为 水平位移为 可得水平速度为 即甲能垂直击中轨道，乙不能。 故选A。 14．如图所示，在同一竖直平面内，水平面的右端固定一倾角为的斜面，在水平面上D点正上方O点处水平向右以的速度抛出一个小球M，同时位于斜面底端C点、质量的滑块，在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由静止开始向上加速运动，经过时间恰好在P点被M击中。已知滑块与斜面间动摩擦因数，重力加速度，小球和滑块均可看成质点，不计空气阻力，则拉力F大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，水平方向上，由可知，间的水平距离为 则间水平距离为 由几何关系可得 由运动学公式可得，滑块沿斜面向上运动的加速度大小为 对物块，由牛顿第二定律有 代入数据解得 故选D。 15．（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将AB过程沿水平和竖直方向分解，如图所示 水平方向则有 竖直方向则有 由几何知识可得 解得 同理可得 故 根据数学知识， 解得 则 故 故选B。 16．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）如图所示，位于同一高度的两小球、之间的距离为，现将球以水平向右的速度抛出的同时，球自由下落。已知重力加速度为，不计空气阻力，则在两球第一次落地的过程中（　　） A．、会相碰 B．、不会相碰 C．只有当特别小时、才可能相碰 D．无法判断、能否相碰 【答案】A 【详解】设球抛出时速度为，第一次落到地面时与球恰好相碰，则， 联立两式可得，说明在两球在第一次落地前相碰。 故选A。 17．（多选）（2025·广东深圳·三模）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（    ） A．他们飞行时间之比为1：4 B．他们飞行的水平位移之比为1：8 C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【答案】AC 【详解】A．设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动，有x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有 运动员落在斜面上时，有 联立解得 则知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为，故A正确； B．水平位移 运动员飞行的水平位移x与初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移之比为1:16，故B错误； C．将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，则运动员在空中离雪道坡面的最大高度为 所以他们在空中离雪道坡面的最大高度之比为1:16，故C正确； D．落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α，则有 则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故 D错误。 故选AC。 18．（多选）（2025·山东潍坊·二模）如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲 B．甲、乙初速度大小之比为 C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为 D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧 【答案】BD 【详解】A．速度变化量为 两球运动时间相等，所以从抛出到相遇，速度变化量大小相等，故A错误； B．小球甲做平抛运动，则， 小球乙做斜上抛运动，则， 联立可得， 故B正确； C．相遇前瞬间，甲的速度大小为 乙的速度大小为 所以 故C错误； D．对乙球，有， 所以 由此可知，当时，乙球的水平位移最大，所以若改变乙抛出的θ角，其水平位移减小，即其落地时一定位于M点的左侧，故D正确。 故选BD。 19．（2025·山西·二模）小明坐在倾角为的斜坡上将质量为的小球抛出，抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为，不计空气阻力，，，求： (1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间和小球的位移大小s； (2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间。 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）小球运动的位移与水平方向夹角为，由平抛运动知识，则有 解得 小球的水平位移大小 解得 小球的位移大小 解得 （2）由于小球的初速度大小一定，且最终落在斜坡上，可知垂直于斜坡方向抛出运动时间最长 垂直于斜坡方向加速度 解得 小球运动的时间 解得 20．（2025·福建泉州·模拟预测）某同学受《三国演义》的启发，设计了一个“借箭”游戏模型。如图所示，城堡上装有一根足够长的光滑细杆，杆上套一个质量为的金属环，金属环用长度轻绳悬挂着一个质量为的木块，静止在城墙上方。若士兵以一定角度射出质量为的箭，箭刚好水平射中木块并留在木块中箭与木块的作用时间很短，之后带动金属环运动。已知箭的射出点到木块的水平距离为、竖直高度为，重力加速度，在整个运动过程中，木块整体上升的最大高度小于绳长，箭、木块、金属环均可视为质点，忽略空气阻力，求： (1)箭射中木块前瞬间的速度大小； (2)箭射入木块的过程中系统损失的机械能； (3)木块第一次回到最低点时绳子的拉力大小？ 【答案】(1)(2)21J(3) 【详解】（1）箭射出后做斜抛运动，设箭射中木块前瞬间的速度大小为，即斜抛运动的水平分速度为，由运动学公式得， 解得 （2）箭射入木块的过程，两者动量守恒，以向右为正方向，根据动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律可得此过程损失的机械为 其中， 解得 （3）在木块与圆环一起向右运动再回到最低点过程中，在水平方向上满足动量守恒定律，设木块回到最低点时，木块与圆环的速度分别为、。以向右为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得， 其中 解得， 设木块第一次回到最低点时绳子的拉力大小为F，根据牛顿第二定律得 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$