专题02 指数函数（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题02 指数函数 教学目标 1.指数函数的基本概念、图象与性质； 2.体会研究一个函数的基本方法. 教学重难点 1.重点： 指数函数的基本概念、图象与性质； 2.难点：指数函数图象与性质的应用． 知识点01 指数函数的概念（重点） (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是 ，定义域是 . (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为 ; ②底数a是 且 的常数. 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 知识点02 指数函数的图象与性质（重点） 图象 性质 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， 单调性 在上是 函数 在上是 函数 函数值的变化范围 当时， 1 当时， 当时，y= 当时， 当时， 当时， . 【即学即练】 1.已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D．或 2.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域为 ，值域是 ． 3.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是 ． 知识点03 底数对指数函数图象的影响（拓展） 1.对函数值变化快慢的影响 (1)当a>1时,指数函数y=ax是R上的增函数,且当x>0时,底数a的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得 . (2)当0<a<1时,指数函数y=ax是R上的减函数,且当x<0时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,说明其函数值减少得 . 2.对函数图象变化的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=bx(b>0,且b≠1)的图象的特点: (1)若a>b>1,则①当x<0时,总有0<ax<bx<1;②当x=0时,总有ax=bx=1;③当x>0时,总有ax>bx>1. (2)若0<a<b<1,则①当x<0时,总有ax>bx>1;②当x=0时,总有ax=bx=1;③当x>0时,总有0<ax<bx<1. 3.指数函数图象在第一象限内的规律 在第一象限内，指数函数的底数越大，指数函数图象越靠近于y轴，这个规律可简记为： 如图， ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大）时， 【即学即练】 1．若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d 题型01 判断函数是否为指数函数 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 判断一个函数是否是指数函数的方法 牢记指数函数的标准形式必须是,其中注意两点： (1)整个指数幂的系数必须是1或者可以通过指数幂的运算化简成1; (2)底数的范围：且． 【变式1-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 已知函数为指数函数求参 【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 已知函数为指数函数求参问题求解策略 先由指数幂的系数为1，解出参数的值，而后通常利用且或函数的单调性等其他性质来舍去其中一个值. 【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【变式2-2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 题型03 求指数函数的解析式 【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 求指数函数的解析式的方法 对于这类问题，一般利用待定系数法设出函数的解析式为（且），再找出一个条件列出关于底数a的方程并解之. 【变式3-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则= . 题型04 根据指数型函数图象判断参数的取值范围 【典例4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 根据指数型函数图象判断参数的取值范围 先由题干画出大致图象，通常将其与标准的指数函数进行比较，再利用图象平移变换及指数函数的单调性的结论从而得出答案. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型05 指数型函数图象过定点问题 【典例5】（24-25高二下·河北·期末）函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 指数型函数图象过定点问题求解策略 利用得到横坐标的值,再将其代入解析式中得到纵坐标的值,从而求得定点坐标. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点 ． 【变式5-2】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型06指数函数的图象识别问题 【典例6】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征，函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 指数型函数图象的识别策略 对于这类问题，可从特殊点、函数的单调性、奇偶性、对称性等角度入手，结合排除法求解，同时由于函数涉及到了指数函数，故往往还需考虑底数与指数函数图象之间的关系． 【变式6-1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(　　) 题型07 指数型函数图象的变换问题 【典例7-1】利用函数的图象，作出下列各函数的图象 (l)f(x-1)；（2）f(|x|）；(3)f(x) -1; (4)- f(x);(5)|f(x)-1|. 【典例7-2】（1）确定方程2x＝－x2＋2的根的个数． （2）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 指数型函数图象的变换问题求解策略 1.平移变换(a>0,且a≠1) 把函数y＝ax的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图象；若向右平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝ax－φ的图象；若向上平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝ax＋φ的图象；若向下平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝ax－φ的图象．即“左加右减，上加下减”． 2.对称变换(a>0,且a≠1) 函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；函数y＝a|x|的图象关于y轴对称． 【变式7-1】为了得到函数y=9×3x+5的图象,可以把函数y=3x的图象(　　) A.先向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B.先向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C.先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D.先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 【变式7-2】根据函数f(x)=的图象,作出函数g(x)=的图象,并借助图象写出这个函数的一些重要性质. 题型08 求指数（型）函数的定义域 【典例8】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 求指数（型）函数的定义域方法 (1)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同． (2)y＝f(ax)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，而f(x)＝的定义域则为R.求y＝f(ax)的定义域时，应通过复合函数的定义，由f(x)的定义域与g(x)＝ax的值域的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解． 【变式8-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型09 求指数(型)函数的值域 【典例9】求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝2； (3)y＝； （4）y=. 求指数（型）函数的值域的两大策略 (1)求y＝af(x)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝af(x)的值域． (2)求y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围 【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【变式9-2】（24-25高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【变式9-3】（24-25高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 题型10 判断指数型复合函数的单调性 【典例10】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 判断形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的方法 利用复合函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性如果相同，则复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，则复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数． 【变式10-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【变式10-2】求下列函数的单调区间． (1)y＝a－x2＋3x＋2(a>0且a≠1)； (2)y＝2. 题型11 由指数型函数单调性求参 【典例11】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 由指数型函数的单调性求参的方法 这类问题其解决方法是换元法，通过换元，将问题转化为外层函数或内层函数的单调性问题，再根据“同增异减”列出关于参数的方程、不等式（组），解之即得所求. 【变式11-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型12 由指数(型)函数值域（最值）求参 【典例12】（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 根据指数(型)函数的值域或最值求参的策略 先讨论指数(型)函数的单调性，结合单调性与值域（或最值）得到关于参数的方程或不等式（组），解之即得所求. 【变式12-1】若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【变式12-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 题型13 解指数不等式 【典例13】不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2） 指数不等式的三种求解方法 (1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与 0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解. (3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解. 【变式13-1】不等式的解集是（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） 【变式13-2】已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R 【变式13-3】已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）． （1） 求函数y＝f（x）的解析式； （2）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围． 题型14 比较指数幂的大小 【典例14-1】（24-25高一上·天津·期中）已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例14-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 比较幂的大小的方法 (1)“底同”,利用单调性.当底数相同、指数不同时,构造指数函数,根据其单调性比较. (2)“指同”,分析图形.当指数相同、底数不同时,分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小，也可构造幂函数,利用幂函数的单调性比较. (3)“全不同”,寻求“参照物”.当底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较. 【变式14-1】（24-25高一上·贵州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型15 指数函数的实际应用 【典例15】某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？ （3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg） 指数型函数模型的实际应用 指数型函数的模型可分为以下几类： (1)指数增长模型． 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1＋p)x表示． (2)指数减少模型． 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1－p)x表示． (3)指数型函数． 把形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 应用指数型函数横型解决实际问题时需注意的事项： (1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时，要注意自变量x取值的确定要准确． (2)对于指数型函数y＝kax，不仅要注意a的取值，还要注意k的符号对函数性质的影响． (3)若原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，原有量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 【变式15-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h （1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式； （2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）. 【变式15-2】已知某地区现有人口50万． （1）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系； （2）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（1.009） 练基础 1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 2．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 6．（多选）（24-25高一上·湖北随州·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 9．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 10．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象经过点，其中且. (1)求的值： (2)若，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． . 练提升 12．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设集合，则等于（ ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·天津·阶段练习）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选）（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 16．(多选)（24-25高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 17．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 19．已知函数[来源:学#科#网] (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)当时，求函数的值域． 20.已知函数f(x)=·x3. (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)证明: f(x)>0. 练创新 21．（2025高三·全国·专题练习）欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. (1)判断函数是不是倒函数，并说明理由； (2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. 22.设m＜1，f(x)＝，若0＜a＜1，试求： (1)f(a)＋f(1－a)的值； (2)f＋f＋f＋…＋f的值． 23．（24-25高一下·河南·阶段练习）函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用． (1)判断函数（其中）的奇偶性，并加以证明； (2)我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如 …… ①请你用，，与表示和（不要求证明）． ②若，求证：． 1 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 指数函数 教学目标 1.指数函数的基本概念、图象与性质； 2.体会研究一个函数的基本方法. 教学重难点 1.重点： 指数函数的基本概念、图象与性质； 2.难点：指数函数图象与性质的应用． 知识点01 指数函数的概念（重点） (1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1; ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2.（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【解析】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 知识点02 指数函数的图象与性质（重点） 图象 性质 定义域 值域 过定点 图象过定点(，即当 0 时， 1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当时，>1 当时，01. 当时，y= 当时， 1 当时，01 当时， 1. 【即学即练】 1.已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故， ． 故选 2.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域为 ，值域是 ． 【答案】， 【解析】由题意知，解得，所以定义域为．因为，所以，所以． 3.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【解析】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 知识点03 底数对指数函数图象的影响（拓展） 1.对函数值变化快慢的影响 (1)当a>1时,指数函数y=ax是R上的增函数,且当x>0时,底数a的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快. (2)当0<a<1时,指数函数y=ax是R上的减函数,且当x<0时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,说明其函数值减少得越快. 2.对函数图象变化的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=bx(b>0,且b≠1)的图象的特点: (1)若a>b>1,则①当x<0时,总有0<ax<bx<1;②当x=0时,总有ax=bx=1;③当x>0时,总有ax>bx>1. (2)若0<a<b<1,则①当x<0时,总有ax>bx>1;②当x=0时,总有ax=bx=1;③当x>0时,总有0<ax<bx<1. 3.指数函数图象在第一象限内的规律 在第一象限内，指数函数的底数越大，指数函数图象越靠近于y轴，这个规律可简记为：底大图高. 如图， ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大）时， 【即学即练】 1．若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【答案】B 【分析】】由题意，做出直线x＝1，结合图象可得结论． 【解析】对于指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象，做出直线x＝1，结合图象可得， 直线x＝1和指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx 的图象的交点的纵坐标分别为a、b、c，且c＞a＞b，故选B． 2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d 【答案】B 【分析】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系． 【解析】作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d）， 由图象可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c， 故选B． 题型01 判断函数是否为指数函数 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 判断一个函数是否是指数函数的方法 牢记指数函数的标准形式必须是,其中注意两点： (1)整个指数幂的系数必须是1或者可以通过指数幂的运算化简成1; (2)底数的范围：且． 【变式1-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项. 【解析】指数函数的一般形式为（且），其具有以下性质： 定义域为，值域为 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. 图象恒过点. 观察图象可知，D有可能是指数函数图象. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选：C. 题型02 已知函数为指数函数求参 【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【解析】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 已知函数为指数函数求参问题求解策略 先由指数幂的系数为1，解出参数的值，而后通常利用且或函数的单调性等其他性质来舍去其中一个值. 【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【答案】3 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【解析】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 【变式2-2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【解析】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 【变式2-3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【解析】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 题型03 求指数函数的解析式 【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【解析】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 求指数函数的解析式的方法 对于这类问题，一般利用待定系数法设出函数的解析式为（且），再找出一个条件列出关于底数a的方程并解之. 【变式3-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则= . 【答案】4 【解析】设（且），则， 解得，故,所以=4. 题型04 根据指数型函数图象判断参数的取值范围 【典例4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【解析】已知函数的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 根据指数型函数图象判断参数的取值范围 先由题干画出大致图象，通常将其与标准的指数函数进行比较，再利用图象平移变换及指数函数的单调性的结论从而得出答案. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【解析】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 【变式4-2】函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【解析】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 题型05 指数型函数图象过定点问题 【典例5】（24-25高二下·河北·期末）函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点. 【解析】根据题意，函数中， 令，得， 将代入函数可得， 即函数的图象恒过点. 故选：A 指数型函数图象过定点问题求解策略 利用得到横坐标的值,再将其代入解析式中得到纵坐标的值,从而求得定点坐标. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据，可得指数型函数定点. 【解析】令得，此时， 故函数（，且）的图象过定点． 【变式5-2】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】函数恒过定点， ，解得，， 在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点， 的图象不经过第四象限． 故选：D． 题型06指数函数的图象识别问题 【典例6】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征，函数在的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确. 故选：B. 指数型函数图象的识别策略 对于这类问题，可从特殊点、函数的单调性、奇偶性、对称性等角度入手，结合排除法求解，同时由于函数涉及到了指数函数，故往往还需考虑底数与指数函数图象之间的关系． 【变式6-1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且定义域为R，故为奇函数，排除B、D； 时，都趋向于，且增长快于，所以趋向于0，排除C. 故选：A 【变式6-2】函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(　　) 【答案】D. 【解析】当x=2时,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-ex,求导得y'=4x-ex,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故选D. 【点拨】对于函数图象的识别题，一般首选排除法，即通过函数的性质（尤其是奇偶性和单调性）及取特殊点的策略排除错误选项，从而得到正解. 题型07 指数型函数图象的变换问题 【典例7-1】利用函数的图象，作出下列各函数的图象 (l)f(x-1)；（2）f(|x|）；(3)f(x) -1; (4)- f(x);(5)|f(x)-1|. 【分析】（1）将f(x)的图象向右平移1个单位；（2）保留f(x)在y轴右方图象，并对称至左边;(3)将f(x)的图象向下平移1个单位;(5)-f(x)与f(x)的图象关于x轴对称;(5)先作出函数f(x)-1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方. 【解析】利用指数函数的图象及变换作图法可作所要作的函数图象,其图象如下： 【点拨】利用平移变换作函数图象时,要明确平移方向及平移的单位长度;而利用对称法作函数图象时,要明确对称轴是哪条直线,点与点的坐标有何关系等. 【典例7-2】（1）确定方程2x＝－x2＋2的根的个数． （2）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 【分析】（1）将求方程的根的个数问题转化为两个函数y=2x与y=－x2＋2图象的交点个数问题去求解；（2）根据条件确定直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1图象的位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果． 【解析】 根据方程的两端分别设函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2.在同一坐标系中画出函数f(x)＝2x与g(x)＝－x2＋2的图象，如图所示： 由图可以发现，二者仅有两个交点， ∴方程2x＝－x2＋2的根的个数为2. (2)当a>1时，通过平移变换和翻折交换可得y＝|ax－1|＋1的图象（如图①所示）,则由图可知1<2a<2，即<a<1，与a>1矛盾； 当0<a<1时，同样通过平移变换和翻折变换可得y＝|ax－1|＋1的图象（如图②所示），则由图可知1<2a<2. 综上所述，实数a的取值范围为<a<1. 【点拨】(1)对于一些较为复杂的方程的根的个数问题，往往转化为某两个函数图象的交点个数问题去求解. (2)对于第(2)题，要注意底数的不确定性，因此作图时要分类讨论. 指数型函数图象的变换问题求解策略 1.平移变换(a>0,且a≠1) 把函数y＝ax的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图象；若向右平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝ax－φ的图象；若向上平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝ax＋φ的图象；若向下平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝ax－φ的图象．即“左加右减，上加下减”． 2.对称变换(a>0,且a≠1) 函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；函数y＝a|x|的图象关于y轴对称． 【变式7-1】为了得到函数y=9×3x+5的图象,可以把函数y=3x的图象(　　) A.先向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B.先向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C.先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D.先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 【答案】C 【解析】∵y=9×3x+5=3x+2+5,∴把函数y=3x的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数y=9×3x+5的图象,故选C. 【变式7-2】根据函数f(x)=的图象,作出函数g(x)=的图象,并借助图象写出这个函数的一些重要性质. 【分析】通过对称变换得到图象，再求其性质. 【解析】因为g(x)=所以可由f(x)=的图象 保留y轴上及其右边部分,再作其关于y轴对称的图象即可得到左边部分,合起来就可得到函数g(x)=的图象,如图所示.由图象可知,函数g(x)的定义域为R,值域是(0,1],图象关于y轴对称,单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞). 题型08 求指数（型）函数的定义域 【典例8】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【解析】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 求指数（型）函数的定义域方法 (1)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同． (2)y＝f(ax)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，而f(x)＝的定义域则为R.求y＝f(ax)的定义域时，应通过复合函数的定义，由f(x)的定义域与g(x)＝ax的值域的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解． 【变式8-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【解析】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【变式8-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【解析】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 题型09 求指数(型)函数的值域 【典例9】求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝2； (3)y＝； （4）y=. 【分析】首先要注意外层函数与内层函数的特征，然后利用指数函数的定义域、值域整体求解. 【解析】 (1)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0. ∴y＝的定义域为(－∞，0]． 由0<2x≤1得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1. ∴y＝的值域为[0，1)． (2)由x－1≠0得x≠1， ∴函数y＝2的定义域为{x|x∈R且x≠1}． ∵≠0， ∴2≠1. ∴y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}． (3)定义域为R.(11分) ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴≤＝16. 又>0， ∴函数y＝的值域为(0，16]． (4)y=的定义域为R.令t=2x,则t>0, ∴y==. 令u=t2+6t+10,又u=t2+6t+10在(0,+∞)上是增函数, ∴u>10,∴y>. ∴函数的值域为{y|y>}. 设t＝2x，则y＝t2＋2t＋2， ∵x∈[－1，2] ∴t∈. 又对称轴为t＝－1， ∴函数y＝t2＋2t＋2在上为增函数， ymin＝，ymax＝26， ∴所求函数的值域是. 【点拨】(1)求与指数函数有关的函数的值域时，要充分考虑到用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性. (2)在引入新元后,一定要注意新元的范围,否则会将所求的范围扩大(或缩小).如本题第(4)小题中,若不考虑t的范围,就会得到值域为[1,+∞)的错误结果 求指数（型）函数的值域的两大策略 (1)求y＝af(x)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝af(x)的值域． (2)求y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围 【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【解析】由于，故且， 故函数的值域为， 【变式9-2】（24-25高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【解析】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 【变式9-3】（24-25高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【解析】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 题型10 判断指数型复合函数的单调性 【典例10】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【解析】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 判断形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的方法 利用复合函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性如果相同，则复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，则复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数． 【变式10-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区间. 【解析】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选： 【变式10-2】求下列函数的单调区间． (1)y＝a－x2＋3x＋2(a>0且a≠1)； (2)y＝2. 【分析】本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性问题，解题的关键是先确定指数的单调区间，再求函数的单调区间，对(1)，要注意对a分类讨论；对(2)，要注意其定义域． 【解析】 (1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋， 可知u在上是增函数，在上是减函数． 当a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数； 即当a>1时，函数y＝a－x2＋3x＋2的单调增区间是，减区间是. 当0<a<1时，y＝au在上是减函数，在上是增函数． 即当0<a<1时，函数y＝a－x2＋3x＋2的单调增区间是，减区间是. (2)∵－x2＋2x＋3≥0，x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3. ∴函数的定义域为[－1，3]． 函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1. ∴u＝－x2＋2x＋3在[－1，1)上单调递增，在[1，3]上单调递减， ∴函数y＝2在[－1，1)上单调递增，在[1，3]上单调递减， ∴函数y＝2的单调增区间是[－1，1)，减区间是[1，3]． 【点拨】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数是一增一减，则其复合函数是减函数．但一定要注意考虑复合函数的定义域． 题型11 由指数型函数单调性求参 【典例11】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解析】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 由指数型函数的单调性求参的方法 这类问题其解决方法是换元法，通过换元，将问题转化为外层函数或内层函数的单调性问题，再根据“同增异减”列出关于参数的方程、不等式（组），解之即得所求. 【变式11-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【解析】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 【变式11-2】（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【解析】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 【变式11-3】（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【解析】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 题型12 由指数(型)函数值域（最值）求参 【典例12】（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解； （2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解. 【解析】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得（且）. 当时，在上单调递增，，解得. 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 根据指数(型)函数的值域或最值求参的策略 先讨论指数(型)函数的单调性，结合单调性与值域（或最值）得到关于参数的方程或不等式（组），解之即得所求. 【变式12-1】若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】首先由一次函数的单调性得，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值. 【解析】若函数在内是严格增函数， 则，， 若， 因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，不满足， 若， 因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，满足， 所以. 【变式12-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围. 【解析】（1）解：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得， 可得，则，其定义域为， 又由，所以函数为上的奇函数. （2）解：由， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为对恒成立，所以， 即，所以实数的取值范围为. 题型13 解指数不等式 【典例13】不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2） 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性解不等式． 【解析】因为0＜a＜1， 所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x， 解得：x＜2， 所以原不等式中x的取值范围是（﹣∞，2）． 故选：C． 指数不等式的三种求解方法 (1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与 0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解. (3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解. 【变式13-1】不等式的解集是（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） 【答案】A 【解析】∵， ∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4． 故选：A． 【变式13-2】已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R 【答案】A 【解析】依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1， 所以函数y＝ax为R上的减函数， 由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x， 解得x， 故选：A． 【变式13-3】已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）． （1） 求函数y＝f（x）的解析式； （2）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围． 【分析】（1）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），构造方程，可得函数y＝f（x）的解析式； （ 2）利用指数函数的单调性，可将f（2x+1）＞1化为：2x+1＜0，解得答案． 【解析】（1）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）， 所以 所以指数函数的解析式为． （2）由（1）得，f（2x+1）＞1等价于 因为函数在R上单调递减， 所以2x+1＜0，解得 综上，x的取值范围是． 题型14 比较指数幂的大小 【典例14-1】（24-25高一上·天津·期中）已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性，结合中间值比较大小. 【解析】，故. 故选：B 【典例14-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数与指数函数的单调性即可得到答案. 【解析】易知幂函数在上单调递增函数，所以，即， 又指数函数在上单调递减函数，所以，即. 于是. 故选：B. 比较幂的大小的方法 (1)“底同”,利用单调性.当底数相同、指数不同时,构造指数函数,根据其单调性比较. (2)“指同”,分析图形.当指数相同、底数不同时,分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小，也可构造幂函数,利用幂函数的单调性比较. (3)“全不同”,寻求“参照物”.当底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较. 【变式14-1】（24-25高一上·贵州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式可构造函数，再利用函数单调性可得，由指数函数单调性即可得. 【解析】由可得， 令函数，易知在上单调递增， 由可得，即可得； 因此，即. 故选：A 【变式14-2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【解析】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 题型15 指数函数的实际应用 【典例15】某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？ （3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg） 【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式； （2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可； （3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量． 【解析】（1）当0≤t＜1时，y＝8t； 当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得， 故； （2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药； （3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：， 含第二次服药量为：，所以此时两次服药剩余的量为， 故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg. 指数型函数模型的实际应用 指数型函数的模型可分为以下几类： (1)指数增长模型． 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1＋p)x表示． (2)指数减少模型． 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1－p)x表示． (3)指数型函数． 把形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 应用指数型函数横型解决实际问题时需注意的事项： (1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时，要注意自变量x取值的确定要准确． (2)对于指数型函数y＝kax，不仅要注意a的取值，还要注意k的符号对函数性质的影响． (3)若原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，原有量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 【变式15-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h （1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式； （2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）. 【分析】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h，即可得出函数解析式； （2）x＝30°时，y＝192•（），x＝16°时，y＝192•（），运用解析式求解即可 【解析】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则有， ∴， ∴y＝192•（）．x≥0． （2）x＝30°时，y＝192•（）， x＝16°时，y＝192•（）90． 【变式15-2】已知某地区现有人口50万． （1）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系； （2）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（1.009） 【分析】（1）由于人口的年自然增长率为1.2%，由此即可得出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系； （2）可直接设年人口自然增长率为p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增长率 【解析】（1）x年后y＝50（1+1.2%）x． （2）设年人口自然增长率为p，因此有50（1+p）20＝60， 即（1+p）20＝1.2．时 解得．于是p＝0.009． 即人口年自然增长率为0.9%． 练基础 1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【解析】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D 2．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（   ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【解析】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 3．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质比较大小. 【解析】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 4．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【解析】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【解析】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 6．（多选）（24-25高一上·湖北随州·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二次函数、反比例函数和指数函数的性质逐一判断可得. 【解析】对A，的值域为，A错误； 对B，y=的值域为，B错误； 对C，的值域为，C正确； 对D，的值域为，D正确. 故选：CD. 7．（多选）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【解析】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【解析】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 9．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 【答案】或 【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案. 【解析】函数， 令， 则在上单调递增，在上单调递减， 由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 10．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象经过点，其中且. (1)求的值： (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数的图象经过点，所以，即； （2），即，所以，， 所以的范围是． 11．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明； （2）根据函数单调性的定义证明； （3）根据函数的奇偶性、单调性、得到关于的不等式，解不等式即可得结果． 【解析】（1）因为，，函数的定义域为，， 所以. 所以是定义在上的奇函数. （2）任取，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即，所以函数在其定义域上是增函数. （3）由，得， 因为函数为奇函数，所以， 所以． 由（2）已证得函数在上是增函数， 所以， 所以. 所以不等式的解集为. 练提升 12．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解. 【解析】，又在上单调递减，， ，即． 故选：B 13．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性得出集合，再应用并集定义计算求解. 【解析】因为集合， 则. 故选：D. 14．（24-25高一上·天津·阶段练习）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【解析】集合，， 所以. 故选：C 15．（多选）（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【解析】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 16．(多选)（24-25高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（    ）    A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等 B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍 C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周 D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人 【答案】BCD 【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项. 【解析】由图象可知，，即，得， 所以， A.第三周，即时，感染人数为千人， 所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误； B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为， 则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确. C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确； D.第四周，即时，感染人数千人， 所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确. 故选：BCD. 17．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【解析】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域. （2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可. 【解析】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 19．已知函数[来源:学#科#网] (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)当时，求函数的值域． 【解析】(1)函数f(x)是奇函数，证明如下：∵x∈R， f(－x)＝＝＝＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)令2x＝t，则g(t)＝＝－1＋. ∵x∈(1，＋∞)，∴t>2，∴t＋1>3,0<<， ∴－1<g(t)<－， 所以f(x)的值域是. 20.已知函数f(x)=·x3. (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)证明: f(x)>0. 【解析】(1)由题意,知2x-1≠0,即x≠0,∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)令g(x)=+=,φ(x)=x3,则g(-x)===-g(x), φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x),∴g(x),φ(x)均为奇函数.∴f(x)=·x3为偶函数. (3)证明:当x>0时,2x>1,∴2x-1>0.又∵x3>0,∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称,知当x<0时,f(x)>0也成立. 故x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,恒有f(x)>0. 练创新 21．（2025高三·全国·专题练习）欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. (1)判断函数是不是倒函数，并说明理由； (2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. 【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可； （2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解. 【解析】（1）函数是倒函数，理由如下： 因为函数的定义域为，对任意的， 函数是倒函数. （2）当时，，而当时， 所以， 由倒函数的定义，可得， 综上，函数的解析式为. 22.设m＜1，f(x)＝，若0＜a＜1，试求： (1)f(a)＋f(1－a)的值； (2)f＋f＋f＋…＋f的值． 【分析】第（1）小题代入求值即可；第（2）小题利用第（1）小题结论求解. 【解析】(1)f(a)＋f(1－a)＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋＝＝1. (2)f＋f＋f＋…＋f ＝＋＋…＋ ＝500×1＝500. 23．（24-25高一下·河南·阶段练习）函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用． (1)判断函数（其中）的奇偶性，并加以证明； (2)我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如 …… ①请你用，，与表示和（不要求证明）． ②若，求证：． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解， （2）根据，，即可求解①；先用，，与表示，再结合，即证得②. 【解析】（1）由于，定义域为，且， 因此为奇函散， ，定义域为， 且， 因此为偶函数， 故奇函数， （2）①， ， ②∵， ∴，， 又， ， 故， ， 由于， 故． 1 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$