专题14.3 角的平分线（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题14.3 角的平分线 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：作一个角的平分线 1 知识点梳理02：角的平分线的性质 2 知识点梳理03：角的平分线的判定 2 知识点梳理04：三角形的角平分线的性质(拓展点) 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：作角平分线(尺规作图） 3 考点2：角平分线的性质定理 5 考点3：角平分线的判定定理 6 考点4：角平分线性质的实际应用 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 14 知识点梳理01：作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 知识点梳理02：角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点梳理03：角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到 角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点梳理04：三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 考点1：作角平分线(尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【变式训练1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【变式训练2】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 考点2：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长 考点3：角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 考点4：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 【变式训练1】（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练2】（2022·江苏宿迁·三模）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： (1)直线是线段的________线，射线是的________线； (2)求的度数． 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度． 3．（2021·广西河池·中考真题）如图，是的外角． （1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）； （2）若，求证：． 4．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H． （1）求证：； （2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由． 5．（2021·青海·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ） A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 基础夯实 1．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 2．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 5．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 7．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 9．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 10．已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 培优拔高 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）在中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7，，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 15．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 17．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    18．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 19．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 20．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． (1)求证：为的平分线． (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.3 角的平分线 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：作一个角的平分线 1 知识点梳理02：角的平分线的性质 2 知识点梳理03：角的平分线的判定 2 知识点梳理04：三角形的角平分线的性质(拓展点) 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：作角平分线(尺规作图） 4 考点2：角平分线的性质定理 7 考点3：角平分线的判定定理 11 考点4：角平分线性质的实际应用 15 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 30 知识点梳理01：作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 知识点梳理02：角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点梳理03：角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到 角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点梳理04：三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 考点1：作角平分线(尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【规范解答】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图-复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质，作的平分线，交射线OP于点M，则点M为所求． （2）连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H，由角平分线的性质可得，由，可得再由，可得 【规范解答】（1）解：如图，作的平分线，交射线OP于点M， 则点M为所求． （2）解：连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H， 平分，点M在OP上， 平分， ， ， ， ， 【变式训练2】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点2：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，利用证明即可； （2）证明，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 考点3：角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【规范解答】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据“”证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线定义得出平分，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 考点4：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 【答案】（1）122；（2）证明见详解；（3）①，理由见解析；②理由见解析. 【思路引导】（1）根据三角形内角和为和角平分线的定义，可得，再利用三角形内角和，即可求得的大小； （2）根据根据三角形内角和为和角平分线的定义，可表达出，再用同样的方法表达出，即可证明； （3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论. 【规范解答】（1）在中，平分平分 . （2） 平分、平分， ，，          在中， ， 平分， ， ，， ， . （3）①与相平行， 平分， ， 又， ， . ② ， . 【考点剖析】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题. 【变式训练1】（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可． 【规范解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=4， ∵S△ADB+S△ADC=S△ABC， ∴×4×7+×4×AC=26， ∴AC=6， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题． 【变式训练2】（2022·江苏宿迁·三模）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： (1)直线是线段的________线，射线是的________线； (2)求的度数． 【答案】(1)线段垂直平分；角平分 (2)23° 【思路引导】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可； 【规范解答】（1）解：根据作图痕迹可知， 直线是线段的线段垂直平分线； 射线是的角平分线； （2）∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 【考点剖析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【规范解答】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度． 【答案】15 【思路引导】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解． 【规范解答】解：由题意，，，， 即点O到BC、AB的距离相等， ∴ OB是的角平分线， ∵ ， ∴． 故答案为：15． 【考点剖析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键． 3．（2021·广西河池·中考真题）如图，是的外角． （1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）； （2）若，求证：． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【思路引导】（1）正确地利用尺规作出AE即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解. 【规范解答】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求； （2）∵AE∥BC， ∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD， ∵AE是∠CAD的角平分线， ∴∠CAE=∠EAD， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC. 【考点剖析】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 4．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H． （1）求证：； （2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，理由见解析 【思路引导】（1）根据角平分线的性质定理证得DE=DF，再根据HL定理证明△AED≌△AFD，则有AE=AF，利用等腰三角形的三线合一性质即可证得结论； （2）只需证得四边形AEDF是矩形即可， 【规范解答】解：（1）∵是的角平分线，，， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， 又∵AD=AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，又是的角平分线， ∴AD⊥EF； （2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形， 理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°， ∴四边形AEDF是矩形， 又∵AE=AF， ∴四边形AEDF是正方形． 【考点剖析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关知识间的联系和运用是解答的关键． 5．（2021·青海·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ） A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 【答案】A 【规范解答】试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E． ∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3． 又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5． 故选A． 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 基础夯实 1．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【答案】C 【思路引导】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 根据角平分线的判定定理求解即可． 【规范解答】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【规范解答】， 平分， ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【规范解答】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【规范解答】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 【答案】/55度 【思路引导】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【规范解答】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【规范解答】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 7．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【规范解答】（1）证明： 平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了尺规作三角形，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线， 对于（1），先作射线，截取，再作，然后截取，连接，则即为所求作的三角形； 对于（2），作线段的垂直平分线，再作的平分线，可知，点P到的两边的距离相等，则点P就是所求作的点． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，点P就是所求作的点． 10．已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【规范解答】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 培优拔高 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【规范解答】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【思路引导】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【规范解答】解：①设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤如图，作于，于， ， 由④可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）在中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键，根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，证明，再依据逐项判断即可． 【规范解答】解：根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，故选项B正确，不符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，，故选项A正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7，，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作于点，于点，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出的周长． 【规范解答】解：如图，连接，过点作于点，于点， 和的外角平分线交于点，且， ， 的面积为7， ， ， 的面积为10， ， ， ， ，即的周长为12， 故选：D． 15．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【规范解答】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ，的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【思路引导】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    【答案】28 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【规范解答】解：是的平分线，，， ∴， ∵周长为8， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【规范解答】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 19．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． (1)求证：为的平分线． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）过点作，，，根据角平分线的性质，得出，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，再结合，即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：如图，过点作，，， 分别是外角和的平分线， ，， ， ，， 为的平分线； （2）解：是的外角，是的外角， ，， 分别是外角和的平分线， ，， ， 为的平分线， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$