专题14.5 全等三角形（章节复习）知识梳理+19个易错考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题14.5 全等三角形（章节复习） （知识梳理+19个高频易错考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：全等三角形 2 知识点梳理02：全等三角形的性质 2 知识点梳理03： 全等三角形的判定 3 知识点梳理04：角的平分线的性质和判定 4 高频易错 考点讲练 5 考点讲练1：全等三角形的性质 5 考点讲练2：用SSS证明三角形全等(SSS) 6 考点讲练3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 7 考点讲练4：全等的性质和SSS综合(SSS) 8 考点讲练5：用SAS证明三角形全等(SAS) 9 考点讲练6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 10 考点讲练7：全等的性质和SAS综合(SAS) 11 考点讲练8：尺规作一个角等于已知角 12 考点讲练9：尺规作角的和、差 13 考点讲练10：过直线外一点作已知直线的平行线 14 考点讲练11：尺规作图——作三角形 15 考点讲练12：用ASA (AAS) 证明三角形全等(ASA或者AAS) 16 考点讲练13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 17 考点讲练14：用HL证全等(HL) 18 考点讲练15：全等的性质和HL综合(HL) 20 考点讲练16：角平分线的性质定理 21 考点讲练17：角平分线的判定定理 22 考点讲练18：角平分线性质的实际应用 23 考点讲练19：角平分线性质定理及证明 24 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 27 基础夯实 27 培优拔尖 30 知识点梳理01：全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点梳理02：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点梳理03： 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点梳理04：角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 考点讲练1：全等三角形的性质 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含的式子表示、； (2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，； (3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 考点讲练2：用SSS证明三角形全等(SSS) 3．（2022·福建漳州·一模）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分，可将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．      4．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，垂足分别为B、C．，，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，则图中共有______________对全等三角形． 考点讲练3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 5．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 6．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 考点讲练4：全等的性质和SSS综合(SSS) 7．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在四边形中分别是上的点，且． (1)如图1，若，求之间的数量关系．小明的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，最后可得出结论：______． (2)如图2，若，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，求与之间的数量关系． 考点讲练5：用SAS证明三角形全等(SAS) 9．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动到中点时，求证：． (2)若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． (3)若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 考点讲练6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 11．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，、分别在、上，是的中点，，求证：．    12．如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE =∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE．    （1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由； （2）求∠D的度数． 考点讲练7：全等的性质和SAS综合(SAS) 13．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】（1）证明：； 【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 考点讲练8：尺规作一个角等于已知角 15．（24-25八年级上·河南信阳·期末）（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 16．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④，， ∵， ∴． 考点讲练9：尺规作角的和、差 17．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段，，，．    求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)线段； (2)． 18．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知及上一点A， (1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得． 考点讲练10：过直线外一点作已知直线的平行线 19．（2020·广东东莞·一模）如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB． （1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≌△BEF．    20．（2020·江苏泰州·二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点 （1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）； （2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE． 考点讲练11：尺规作图——作三角形 21．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 22．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，已知． (1)尺规作图：以点为圆心，的长为半径画圆弧，再以点为圆心，的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接，（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 考点讲练12：用ASA (AAS) 证明三角形全等(ASA或者AAS) 23．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 24．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与交于点O，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（写3组不包含（1）中的全等三角形）． 考点讲练13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 25．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 26．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 考点讲练14：用HL证全等(HL) 27．（24-25八年级上·广东珠海·期中）【提出问题】 在本学期的学习中，我们已经知道了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法，数学兴趣小组组长小唐带领小组成员继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【探索研究】成员小凡根据三角形的分类提出以下探索路径： 已知：在和中，，，． （1）如图①，当时，可知，判定全等的方法是____． （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，通过作图，可知与_________全等．（填“一定”或“不一定”） （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请加以证明；若不全等，请举出反例． 【归纳总结】成员悦悦对以上探索进行总结： （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是_____时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【结论应用】智多星小崔根据以上探究结果，提出以下问题： （5）如图④，为等边三角形（，），是外角的平分线，点E在边上，点F在上，且，求的度数． 28．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ． 考点讲练15：全等的性质和HL综合(HL) 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 30．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 考点讲练16：角平分线的性质定理 31．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ． 32．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 考点讲练17：角平分线的判定定理 33．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 考点讲练18：角平分线性质的实际应用 35．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）    36．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则︰︰等于 ．      考点讲练19：角平分线性质定理及证明 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 38．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． (1)依题意补全图形； (2)用等式写出、、之间的数量关系，并给出证明； (3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出、、之间的数量关系． 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·湖北黄冈·中考真题）如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：． 基础夯实 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 4．（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 培优拔尖 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点与交于点，连接．下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值． 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）小聪同学学了《全等三角形》后，在已知条件不变的情况下，对一道复习题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 【原题呈现】如图1，，，，． (1)、有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论； (2)如图2，连接、，过点C作于点F交于点G． ①求证：点G是的中点． ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.5 全等三角形（章节复习） （知识梳理+19个高频易错考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：全等三角形 2 知识点梳理02：全等三角形的性质 2 知识点梳理03： 全等三角形的判定 3 知识点梳理04：角的平分线的性质和判定 4 高频易错 考点讲练 5 考点讲练1：全等三角形的性质 5 考点讲练2：用SSS证明三角形全等(SSS) 7 考点讲练3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 9 考点讲练4：全等的性质和SSS综合(SSS) 11 考点讲练5：用SAS证明三角形全等(SAS) 15 考点讲练6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 18 考点讲练7：全等的性质和SAS综合(SAS) 20 考点讲练8：尺规作一个角等于已知角 23 考点讲练9：尺规作角的和、差 26 考点讲练10：过直线外一点作已知直线的平行线 28 考点讲练11：尺规作图——作三角形 29 考点讲练12：用ASA (AAS) 证明三角形全等(ASA或者AAS) 31 考点讲练13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 33 考点讲练14：用HL证全等(HL) 36 考点讲练15：全等的性质和HL综合(HL) 42 考点讲练16：角平分线的性质定理 47 考点讲练17：角平分线的判定定理 50 考点讲练18：角平分线性质的实际应用 55 考点讲练19：角平分线性质定理及证明 58 中考真题 实战演练 63 难度分层 拔尖冲刺 67 基础夯实 67 培优拔尖 73 知识点梳理01：全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点梳理02：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点梳理03： 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点梳理04：角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 考点讲练1：全等三角形的性质 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1)5，3 (2)①；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【规范解答】（1）解：，，， ，， ； （2）解：① ≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ②∵是的外角， ∴ ∵是外角， ∴. 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含的式子表示、； (2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，； (3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 【答案】(1)，； (2)； (3)每秒；． 【思路引导】（）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 考点讲练2：用SSS证明三角形全等(SSS) 3．（2022·福建漳州·一模）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分，可将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．      【答案】理由见详解 【思路引导】根据，，结合即可得到即可得到证明； 【规范解答】证明：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 【考点剖析】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到公共边条件． 4．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，垂足分别为B、C．，，与交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，则图中共有______________对全等三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)5 【思路引导】（1）根据HL证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； （2）利用HL证明与全等，进而得出，利用证明 与全等后解答即可； （3）再证明，，结合前面（1） （2），从而可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴ 在与中 ∴ ∴； （2）∵ ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴； （3）根据 可得， 由， 可得， ∴全等三角形有，，，，， 故答案为：5． 【考点剖析】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 考点讲练3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 5．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【思路引导】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 6．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．先证明，再利用证明即可； （2）本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定；先证明，再利用证明，可得，从而可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点讲练4：全等的性质和SSS综合(SSS) 7．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【规范解答】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在四边形中分别是上的点，且． (1)如图1，若，求之间的数量关系．小明的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，最后可得出结论：______． (2)如图2，若，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析； (3)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 考点讲练5：用SAS证明三角形全等(SAS) 9．（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动到中点时，求证：． (2)若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． (3)若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 (3)1，3，5 【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【规范解答】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时，． 故答案为：； ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒x个单位长度的速度运动，时， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 考点讲练6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 11．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，、分别在、上，是的中点，，求证：．    【答案】见解析 【思路引导】由是的中点，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，所以，则． 【规范解答】证明：是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 【考点剖析】此题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键． 12．如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE =∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE．    （1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由； （2）求∠D的度数． 【答案】（1）见解析（2）45°. 【思路引导】（1）连接AC, 利用全等三角形的判定方法（SAS）进而判断得出答案． （2）由第（1）△ABC≌△DEC,可得AC=DC, ∠ACB=∠DCE，根据∠BCE=90°, ∠ACB+∠ACE=∠BCE, ∠ACB=∠DCE，∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE=∠BCE=90°, 可得∠ACD=90°,继而可得△ADC是等腰直角三角形. 【规范解答】沿AC剪一刀.    理由：∵∠BAE=∠BCE=90°， ∴∠ABC+∠AEC=180°， ∵∠AEC+∠DEC=180°， ∴∠DEC=∠B， 在△ABC和△DEC中， AB＝DE，∠B＝∠EDC， BC＝EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． （2）∵△ABC≌△DEC, ∴AC=DC, ∠ACB=∠DCE， ∵∠BCE=90°, ∠ACB+∠ACE=∠BCE, ∠ACB=∠DCE， ∴∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE=∠BCE=90°, ∴∠ACD=90°, ∵AC=DC, ∴∠D=45°. 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的判定是解题关键． 考点讲练7：全等的性质和SAS综合(SAS) 13．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】（1）证明：； 【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【规范解答】证明：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接，若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和中全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 考点讲练8：尺规作一个角等于已知角 15．（24-25八年级上·河南信阳·期末）（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）8 【思路引导】本题考查尺规作一个角等于已知角，三角形全等的判定与性质， （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）根据中线得到，然后证明出，得到，，然后证明出，求出． 【规范解答】（1）图形如图所示： （2）∵是边上的中线， ∴，， 由（1）作图知 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴． 16．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④，， ∵， ∴． 【答案】(1)作图见解析； (2)；；；． 【思路引导】（）根据作一个角等于已知角的基本作法作图即可； （）根据全等三角形的判定和性质求解； 本题考查了基本作图，掌握作角等于已知角的基本作法和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，，． 考点讲练9：尺规作角的和、差 17．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段，，，．    求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)线段； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）首先作射线，然后截取线段，，则即为所求； （2）首先作射线，然后利用尺规作，，则即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，线段即为所求的线段．   ； （2）解：如图所示，即为所求作的角．    【考点剖析】此题主要考查根据已知线段作另外一条线段，作一个角等于已知角．解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行作图． 18．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知及上一点A， (1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据垂线的定义，作出图形即可； （2）以点为圆心，已任意长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，以长为半径，在的下方画弧，与之前的弧交于点，再以点为圆心，以长为半径，在点下方画弧，与第一个弧交于点，连接，并延长至点，即可得出． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求，此时线段的长为点A到直线的距离． （2）解：如图，即为所求， 【考点剖析】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考点讲练10：过直线外一点作已知直线的平行线 19．（2020·广东东莞·一模）如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB． （1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≌△BEF．    【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【思路引导】（1）利用尺规作∠CBD=∠C即可． （2）根据SAS证明三角形全等即可． 【规范解答】解：（1）如图，射线BD即为所求．    （2）∵BD∥AC， ∴∠EBD＝∠A， ∵BE＝AB，BF＝AC， ∴△EBF≌△BAC（SAS）． 【考点剖析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（2020·江苏泰州·二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点 （1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）； （2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE． 【答案】（1）点E即为所求，图见解析；（2）证明见解析． 【思路引导】（1）过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC．根据平行线间的距离相等得到DF=EG，然后再分别表示出S△BCD和S△BCE即可证明． 【规范解答】（1）如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC ∵DE//BC ∴DF=EG ∵S△BCD＝BC·DF, S△BCE＝BC·EG, ∴S△BCD＝S△BCE 【考点剖析】本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键． 考点讲练11：尺规作图——作三角形 21．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作一条线段等于已知线段是解题关键，在延长线上截取，在延长线上截取，连接即可得出． 【规范解答】解：如下图，即为所求作． 22．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，已知． (1)尺规作图：以点为圆心，的长为半径画圆弧，再以点为圆心，的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接，（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】此题考查了基本作图、全等三角形的判定和性质． （1）根据线段的作法作图即可； （2）证明，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求． （2）． 理由如下：由作图可知，． 在和中， ． ． 考点讲练12：用ASA (AAS) 证明三角形全等(ASA或者AAS) 23．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【思路引导】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 先作射线，然后作，在射线上作，再作，即可． 【规范解答】解：如图，即为所求． 24．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与交于点O，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（写3组不包含（1）中的全等三角形）． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的综合问题． （1）利用证明，由三角形全等的性质可得出； （2）先利用证明，再利用证明，最后再利用证明和即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上：在不添加任何辅助点的情况下，全等三角形的有，，，． 考点讲练13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 25．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 26．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图，过点E作垂直交于点G，然后证明可得，进而得到，再证明得到即可证明结论． 【规范解答】证明：如图，过点E作垂直交于点G， ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴点F是的中点． 考点讲练14：用HL证全等(HL) 27．（24-25八年级上·广东珠海·期中）【提出问题】 在本学期的学习中，我们已经知道了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法，数学兴趣小组组长小唐带领小组成员继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【探索研究】成员小凡根据三角形的分类提出以下探索路径： 已知：在和中，，，． （1）如图①，当时，可知，判定全等的方法是____． （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，通过作图，可知与_________全等．（填“一定”或“不一定”） （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请加以证明；若不全等，请举出反例． 【归纳总结】成员悦悦对以上探索进行总结： （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是_____时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【结论应用】智多星小崔根据以上探究结果，提出以下问题： （5）如图④，为等边三角形（，），是外角的平分线，点E在边上，点F在上，且，求的度数． 【答案】（1）；（2）图见解析，不一定；（3）全等，证明见解析；（4）②③；（5） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据即可解答； （2）以点为圆心，为半径画弧，即可得出，根据图形，即可得出结论； （3）过点A，点D作、的垂线，垂足为点G和点H，通过证明，得出，进而求证，则，即可求证， （4）由（1）（2）（3）可知，即可得出结论； （5）过点E作交于点M，过点E作于点P，作延长线于点Q，先证明，即可推出，则，进而求证，得出，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）如图所示：即为所求， 由图可知，与不一定全等， 故答案为：不一定； （3）过点A，点D作、的垂线，垂足为点G和点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， （4）由（1）（2）（3）可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角时，这两个三角形一定全等， 故答案为：②③； （5）过点E作交于点M，过点E作于点P，作延长线于点Q， ∵，为等边三角形，是外角的平分线， ∴， ∵，， ∴， 即平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 28．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质即可判断①；在上取一点，使得，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可判断②；过点作于点，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，再根据直角三角形全等的判定定理证出，从而可得，然后根据线段的和差即可判断③；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断④． 【规范解答】解：在中，， ， 分别是的角平分线， ， ， ，结论①正确； 如图，在上取一点，使得，连接， 在和中，， ， ， ， 由对顶角相等得：， ， 在和中，， ， ， ，结论②错误； 如图，过点作于点，连接， 由上已证：， ， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， ，结论③正确； 由上已证：， ， ， ， ， ， 即，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 考点讲练15：全等的性质和HL综合(HL) 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【规范解答】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 30．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ， ， 在和中 ， ． ． （2）①，理由如下： 连结，如图：   ，， 是边上的高，是边上的高， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则， ， 即：， ， ． 考点讲练16：角平分线的性质定理 31．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积计算公式等知识，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题的关键．过点作，交的延长线于点，根据是的角平分线，得，再利用三角形的面积转换，即可得解． 【规范解答】解：如图，过点作，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， 的面积是，，， ，即， ， 故答案为：2． 32．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【规范解答】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 考点讲练17：角平分线的判定定理 33．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 正确，符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：． 34．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 【答案】 ；；． 【思路引导】根据三角形外角的性质可得、，根据角平分线的定义可得、，所以可得，从而可得； 延长到，根据角平分线的定义可得，从而可得平分、平分，构造出中的模型，由中的结论可知； 过点作、、，根据、，可得平分，构造出中的模型，由中的结论可知． 【规范解答】解：， 理由如下： 如下图所示， 是的外角， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， ； 解：如下图所示，延长到点， ， ， 又平分， ， 平分， 又平分， 由可知， 根据折叠可知 ， ， ， 解得：， ； 解：如下图所示，过点 作垂足为点， 垂足为点，垂足为点， ，， ， 平分， 平分，， 由（1）知 ， 平分， 平分， ， ， 平分， ， 故答案为． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角性质，解决本题的关键是根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、角平分线把一个角分成两个相等的角，找到角之间的关系；另外还要作辅助线构造出中的模型． 考点讲练18：角平分线性质的实际应用 35．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）    【答案】①②③ 【思路引导】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【规范解答】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③．    【考点剖析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 36．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则︰︰等于 ．      【答案】6：8：3 【思路引导】由角平分线性质可知，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA边上的高相等，利用面积公式即可求解. 【规范解答】      解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F ∵P是三条角平分线的交点 ∴PD=PE=PF ∵AB=30，BC=40，CA=15 ∴︰︰=30∶40∶15=6∶8∶3 故答案为6∶8∶3. 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等. 难度不大，作辅助线是关键. 考点讲练19：角平分线性质定理及证明 37．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高． （1）先利用为边上的高得到，再根据是的角平分线，得到，最后利用外角求； （2）先根据尺规作图作出图形，再根据角平分线得到，，最后根据求解即可； （3）作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，，，再证明，从而得到，接着证明得到，所以，得到． 【规范解答】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，在线段上作一点，使平分， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，连接交于点，过点作于点，于点， 平分，，， ， ∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 38．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． (1)依题意补全图形； (2)用等式写出、、之间的数量关系，并给出证明； (3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由题意画出图形即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解； （3）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意补全图形如下： （2）解：． 证明：过点D作于点F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 证明：过点D作于点F，如图： ∵是外角的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【规范解答】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【规范解答】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【规范解答】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【规范解答】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（2024·湖北黄冈·中考真题）如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：． 【答案】详见解析 【思路引导】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论． 【规范解答】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAF≌△ADG是解题的关键． 基础夯实 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可． 【规范解答】解:A．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； B．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； C．，则，即，结合，，用“”可判定，故本选项符合题意； D．，这是同一个角，无法补充有效条件判定全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【规范解答】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【规范解答】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【思路引导】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【规范解答】解：分割线如图所示： ． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【规范解答】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 培优拔尖 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点与交于点，连接．下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据已知得和，有，故①正确；根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得，，故②正确；根据三角形外角定理得，则，故③错误；由点E到的距离相等，有，故④正确． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵，是高， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 则；故③错误； ∵是角平分线， ∴点E到的距离相等， ∵， ∴，故④正确． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【思路引导】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图1，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故②错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【规范解答】解：①∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故①正确； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 故④正确． 故答案为：①②③④． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值． 【答案】(1)，，见解析 (2)3或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，． 综上，当与全等时，的值为3或． 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）小聪同学学了《全等三角形》后，在已知条件不变的情况下，对一道复习题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题： 【原题呈现】如图1，，，，． (1)、有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论； (2)如图2，连接、，过点C作于点F交于点G． ①求证：点G是的中点． ②求证：． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①见解析，②见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： （1）证明，即可得出结论； （2）①过点作的延长线于点，过点于点，证明，，得到，，即得，进而可证明，得到，即可求证； ②延长至点N使，证明，得到，，同角的余角相等，得到，推出，证明，得到，进而得出结论即可． 【规范解答】（1）解：，． 证明：如图，设相交于点，相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点作的延长线于点，过点于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点是的中点． ②延长至点N使，连接， 由①知：， ∵， ∴， ，， 又， ， ∵，， ∴， ， 又 ， 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$