专题14.4 全等三角形的解题模型（知识梳理+8个考点讲练+难度分层练 共36题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题14.4 全等三角形的解题模型 （知识梳理+8个考点讲练+难度分层练 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平移模型 1 知识点梳理02：翻折模型 2 知识点梳理03：手拉手模型 2 知识点梳理04：半角模型 2 知识点梳理05：一线三等角模型 2 知识点梳理06：倍长中线模型 3 知识点梳理07：截长补短模型 3 高频易错 考点讲练 3 考点1：倍长中线模型 3 考点2：旋转模型 5 考点3：垂线模型 10 考点4：一线三等角模型 13 考点5：一线三等角模型 16 考点6：半角模型 19 考点7：边边角模型 24 考点8：截长补短模型 26 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 41 知识点梳理01：平移模型 【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合. 【技巧点拨】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等. 知识点梳理02：翻折模型 【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合. 【技巧点拨】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等; ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等. 知识点梳理03：手拉手模型 【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【技巧点拨】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 知识点梳理04：半角模型 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【技巧点拨】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 知识点梳理05：一线三等角模型 【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3. 【技巧点拨】利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS或 ASA 证明三角形全等。 知识点梳理06：倍长中线模型 【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的. 【技巧点拨】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD. 知识点梳理07：截长补短模型 【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知 线段. 【技巧点拨】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。 考点1：倍长中线模型 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【规范解答】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的构成条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形中倍长中线模型的应用．由，得，由是边的中点，得，从而可得，即得，，，在中，，即得即，，即可求解． 【规范解答】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求， 故选：B. 考点2：旋转模型 【典例精讲】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【思路引导】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【规范解答】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 考点3：垂线模型 【典例精讲】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【规范解答】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 考点4：一线三等角模型 【典例精讲】（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【思路引导】在上截取，连接， 先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，由此即可得． 【规范解答】解：如图，在上截取，连接， ∵平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， 解得：， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【规范解答】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 考点5：一线三等角模型 【典例精讲】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【思路引导】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 【变式训练】（22-23八年级上·北京通州·期末）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点．    (1)根据题意补全图形； (2)如图，如果， ①_____；（用含有的代数式表示） ②用等式表示线段，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；证明见解答． 【思路引导】（1）根据要求作出图形即可； （2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； ②结论：；在上截取，使得，连接，；证明，推出，推出，可得结论． 【规范解答】（1）解：图形如图1所示：    （2）解：①线段与线段关于直线对称， ，垂直平分线段， ， 是等边三角形， ，， ，， ． 故答案为：； ②结论：； 理由：在上截取，使得，连接，．   ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 线段与线段关于直线对称， ， 即． 【考点剖析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 考点6：半角模型 【典例精讲】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【思路引导】延长至H，使，连接，如图，则可用证明，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得，，进而可根据证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差求出，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解． 【规范解答】证明：延长至H，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 则在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， 故答案为：6． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 【变式训练】（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 考点7：边边角模型 【典例精讲】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】见解析. 【思路引导】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 【规范解答】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 【变式训练】如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路引导】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．    ∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP， ∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中， ， ∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL）， ∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°， ∴∠KPD＝∠APC， ∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中， ， ∴△PAK≌△PCD（ASA）， ∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD， ∴BD﹣AB＝BC﹣BD， ∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA）， ∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确． 故选A． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 考点8：截长补短模型 【典例精讲】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【规范解答】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式训练】（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 基础夯实 1．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【思路引导】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 2．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 【规范解答】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 3．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】根据等边三角形的性质、三角形的全等证明，得到三角形的全等，即可选出答案； 【规范解答】解：△EBC≌△DAC，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下： BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△DAC． CD=EC，∠FCD=∠ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD． BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF． 故选C． 【考点剖析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定方法． 4．（19-20八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 . 【答案】10 【思路引导】作轴于，轴于，求出∠∠，证，推出，即可． 【规范解答】 作轴于，轴于， ，则四边形是正方形， ∴，∠∠°， ∴∠∠ 在和中， ， ∴， 则，， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（20-21八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【思路引导】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【规范解答】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．    （1）求证：△ABD≌△ACD． （2）求∠ADE的度数． （3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）DE＝AD+CD，理由详见解析. 【思路引导】(1)根据题干信息可以利用进行判定; (2)易求的大小，易求所在直线垂直平分，根据等腰三角形底边三线合一性质可得平分，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题； (3)连接，易证，可得，根据即可求得 ． 【规范解答】解：(1)证明：在和中， ， (2)解： ， ， ， ， ， ， ； (3)解：， 理由如下：在线段DE上截取，连接，    ， 是等边三角形， ． ， ， 在和中， , ， ， ． ， ． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，需要根据题中条件进行转化. 7．（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析 【思路引导】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【规范解答】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【考点剖析】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期末）已知：如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·福建福州·三模）如图，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，即可解决问题．解决本题的关键是得到． 【规范解答】证明：， 在和中， ， ， ． 10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2 【思路引导】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【规范解答】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得 ， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 培优拔高 11．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【规范解答】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 12．（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【思路引导】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【规范解答】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 13．如图，中， BP平分∠ABC， AP⊥BP于P，连接PC，若的面积为3.5cm2，的面积为4.5cm2，则的面积为(     ). A．0.25cm2 B．0.5 cm2 C．1cm2 D．1.5cm2 【答案】C 【思路引导】延长AP，交BC于点D，则可证△ABP≌△DBP，可得AP=DP，△ABP与△DBP的面积相等，则△PCD与△ACP的面积相等，然后得到△PAC的面积. 【规范解答】解：如图，延长AP，交BC于点D， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠DBP， ∵BP=BP，∠APB=∠DPB=90°， ∴△ABP≌△DBP， ∴AP=DP，， ∵△PCD与△ACP底边相等，高相同， ∴ ∵， ∴； 故选择：C. 【考点剖析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 14．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【规范解答】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 15．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 【答案】20° 【思路引导】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果． 【规范解答】解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 16．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【规范解答】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【规范解答】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【规范解答】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 19．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【思路引导】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【规范解答】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【规范解答】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.4 全等三角形的解题模型 （知识梳理+8个考点讲练+难度分层练 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平移模型 1 知识点梳理02：翻折模型 2 知识点梳理03：手拉手模型 2 知识点梳理04：半角模型 2 知识点梳理05：一线三等角模型 2 知识点梳理06：倍长中线模型 3 知识点梳理07：截长补短模型 3 高频易错 考点讲练 3 考点1：倍长中线模型 3 考点2：旋转模型 4 考点3：垂线模型 5 考点4：一线三等角模型 6 考点5：一线三等角模型 7 考点6：半角模型 8 考点7：边边角模型 9 考点8：截长补短模型 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 14 知识点梳理01：平移模型 【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合. 【技巧点拨】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等. 知识点梳理02：翻折模型 【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合. 【技巧点拨】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等; ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等. 知识点梳理03：手拉手模型 【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【技巧点拨】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 知识点梳理04：半角模型 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【技巧点拨】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 知识点梳理05：一线三等角模型 【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3. 【技巧点拨】利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS或 ASA 证明三角形全等。 知识点梳理06：倍长中线模型 【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的. 【技巧点拨】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD. 知识点梳理07：截长补短模型 【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知 线段. 【技巧点拨】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。 考点1：倍长中线模型 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）在中，，则的中线取值范围是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 考点2：旋转模型 【典例精讲】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【变式训练】（23-24七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 考点3：垂线模型 【典例精讲】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 考点4：一线三等角模型 【典例精讲】（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【变式训练】（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，平分，于点，．求证：． 考点5：一线三等角模型 【典例精讲】（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（22-23八年级上·北京通州·期末）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点．    (1)根据题意补全图形； (2)如图，如果， ①_____；（用含有的代数式表示） ②用等式表示线段，与的数量关系，并证明． 考点6：半角模型 【典例精讲】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【变式训练】（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 考点7：边边角模型 【典例精讲】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【变式训练】如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点8：截长补短模型 【典例精讲】如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【变式训练】（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 基础夯实 1．（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 . 5．（20-21八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．    （1）求证：△ABD≌△ACD． （2）求∠ADE的度数． （3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论． 7．（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期末）已知：如图，，求证：． 9．（2025·福建福州·三模）如图，，求证：． 10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 培优拔高 11．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 13．如图，中， BP平分∠ABC， AP⊥BP于P，连接PC，若的面积为3.5cm2，的面积为4.5cm2，则的面积为(     ). A．0.25cm2 B．0.5 cm2 C．1cm2 D．1.5cm2 14．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 15．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 16．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 17．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 18．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 19．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$