初升高衔接暑期预习天天练（7）基本不等式-2025-2026学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

2025年苏教版（2019）初升高（新高一）暑期衔接预习天天练（7）--基本不等式（6+2+2+2） （限时：25min） 一、单选题 1．函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 3．已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 4．已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 5．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 6．现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 二、多选题 7．已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 8．数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（    ）    A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 三、填空题 9．已知，，且，则的最小值为 . 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 12．已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 参考答案 1．C 【分析】先配凑再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为3. 故选：C. 2．A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 3．C 【分析】由基本不等式“1”的妙用，根据展开，利用基本不等式即可得到. 【详解】， 当时取等，所以的最小值为. 故选：C. 4．C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】，当且仅当时等号成立. 答案：C. 5．D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 6．B 【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 7．ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 8．ABC 【分析】根据给定条件，借助相似三角形用表示相关线段，再借助图形即可判断得解. 【详解】依题意，不妨令，，， 由，得， 连接，则，而， 则，∽， 于是，，又，， 则∽，，于是， 观察图形知，，，，当且仅当点重合时取等号， 即，，，当且仅当点时取等号，ABC正确； 对于D，都表示线段长平方， 不能表示，，中边长，因此D错误. 故选：ABC    9．1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 10． 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 11．（1）；（2）9 【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函数求解； （2）根据已知条件构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； 法二： 函数图象开口向下，对称轴为，由， 所以当时，的最大值为 （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 12．(1)证明见解析 (2)2或3 (3) 【分析】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【详解】（1）证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. （2）可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$