三角函数的图像与性质复习讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数的图像与性质复习讲义 三角函数的图像与性质复习讲义 考点一 已知三角函数解析式求函数性质 【知识点解析】 1.三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 增区间 减区间 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 无 对称中心 ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且. 增区间 令，化简得增区间. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 【例题分析】 1．（24-25高一下·河南濮阳·期末·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一个对称中心为点 C．在区间上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线对称 D．函数为奇函数 3．（2025·四川·三模·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．1是的周期 B．的定义域为 C． D．的图象关于点对称 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习·多选）已知函数，，则（   ） A．与的值域相同 B．与的最小正周期相同 C．与的图象都关于直线对称 D．与在上都单调递减 5．（24-25高一下·广东汕头·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心为 C．在区间上单调递增 D．的图像向右平移个单位后，解析式为 6．（24-25高二下·湖南湘西·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 7．（24-25高一上·安徽黄山·期末·多选）已知函数的图象为，则（    ） A．此函数的一个对称中心为 B．此函数在上的最小值为 C．为了得到的图象，只要把上所有点向左平移个单位 D．为了得到的图象，只要把上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 考点二 先求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 1.辅助角公式(合一公式)求三角函数解析式 . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 2.由图像求解析式求三角函数解析式 对于三角函数，（）由最值决定，最大值为，最小值为；由周期决定，；最后可代入特殊值点求解.（最好为最大值点或最小值点） ※并不一定求才能代入特殊值点求解，实际上任何参数理论上都可以代入特殊值点求解. ※并不一定只能代入最值点，但代入的如果不是最值点，需要分辨其是上升阶段还是下降阶段的对应点. 3.伸缩平移变换求函数解析式求三角函数解析式 对于三角函数 向上平移个单位，得，向下平移个单位，得. 向左平移个单位，得，向右平移个单位，得. 将所有的纵坐标变化为原来的倍（横坐标保持不变），得. 将所有的横坐标变化为原来的倍（纵坐标保持不变），得. ※口诀：左加右减，上加下减 ※左右平移个单位，只是把变成；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得. 【例题分析】 1．（24-25高二下·湖南衡阳·期末·多选）将曲线向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为2 C．曲线关于直线对称 D．曲线关于点对称 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末·多选）已知函数，则（   ） A．最小正周期为π B．是该函数的一个极值点 C．当，的取值范围是 D．图象可由的图象向右平移个单位长度得到 3．（24-25高一下·云南保山·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的单调递减区间为， C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 4．（24-25高一下·河南洛阳·期末·多选）已知函数，则以下说法中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心 C．若，则的最小值为 D．若，且是偶函数，则的最小值是 5．（24-25高一下·广东茂名·期末·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．若函数在上单调递增，则 C．的图象关于点中心对称 D．若，则 6．（24-25高一下·辽宁锦州·期末·多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A．的最小正周期为 B．时，的最大值是 C．的图象向右平移个单位后为奇函数 D．与有相同的零点 7．（24-25高一下·甘肃天水·期末·多选）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 8．（24-25高一下·四川成都·期末·多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 9．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末·多选）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．的最小正周期 B．是的一个对称中心 C．在区间上的值域为 D．将函数的图象向左平移后得到的图象，则 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末·多选）若函数则（   ） A．为偶函数 B．在上单调 C．的图象与直线，线段围成的图形面积为π D．若，且，若，则 11．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． (1)求的解析式； (2)将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值； (3)记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域． 12．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知 (1)求证：； (2)若，在上的最小值为． ①求的值； ②求的单调递减区间． 考点三 已知函数性质求参数范围 【知识点解析】 1.已知三角函数 （1）若已知函数周期为，则令，求解得. （2）若已知函数在递增，则周期且. （3）若已知函数在递减，则周期且. （4）若已知函数的一个对称轴为，则令. （5）若已知函数的一个对称中心为，则令. 2.若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. 3.对于三角函数，函数的极值点等价于函数的对称轴，函数的零点等价于函数的对称中心的横坐标. ※若对于三角函数，零点不能等价于对称中心. 【例题分析】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 4．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 8．（2025·山东烟台·三模）若函数图象的一个对称中心为，则的值为（    ）． A． B． C．1 D． 9．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习·多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最大值为 B．当时，函数的对称轴方程为 C．若向左平移个单位后，关于轴对称，则的最小值为 D．若在上有且仅有个最大值点，则的取值范围是 10．（24-25高一下·四川南充·期末·多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．时，点是函数图象的一个对称中心 B．时，函数在上有4个零点 C．将图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则最小值为3 D．当时，恰有4个最大值，则实数的取值范围为 11．（24-25高一下·辽宁大连·期中·多选）已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 13．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ． 14．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 16．（24-25高一下·湖南永州·期中）的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 17．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 18．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ． 考点四 定义法求函数性质 【知识点解析】 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则. 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函数性质 定义与求解方法 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 【例题分析】 1．（2025·浙江·二模·多选）已知函数，则下列正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 3．（2025·吉林长春·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上有个零点 D．的值域为 4．（2025·河南信阳·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．直线是曲线的对称轴 D．的最小正周期为 5．（2025·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数，其导函数为，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数在区间上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．若，且，则 6．（2025·湖北黄冈·三模·多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 7．（2025·广西南宁·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习·多选）对于函数，下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期 高考真题演练 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 9．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 12．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 14．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$三角函数的图像与性质复习讲义 三角函数的图像与性质复习讲义 考点一 已知三角函数解析式求函数性质 【知识点解析】 1.三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 增区间 减区间 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 无 对称中心 ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且；若为偶函数，则. 增区间 令，化简得增区间. 减区间 令，化简得减区间. 对称轴 令，化简得对称轴. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 奇偶性 若为奇函数，则且. 增区间 令，化简得增区间. 对称中心 令，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 【例题分析】 1．（24-25高一下·河南濮阳·期末·多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一个对称中心为点 C．在区间上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【详解】A选项，的最小正周期为，A正确； B选项，，故为的一条对称轴，B错误； C选项，时，， 由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确； D选项，将的图象向右平移个单位长度后得到， 显然为奇函数，D错误. 故选：AC 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．曲线关于直线对称 D．函数为奇函数 【答案】ABD 【详解】的值域为，的最小正周期，A，B均正确. 因为，所以曲线不关于直线对称，C错误. 因为，所以为奇函数，D正确. 故选：ABD 3．（2025·四川·三模·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．1是的周期 B．的定义域为 C． D．的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】正切函数的周期为，选项A正确； 正切函数无定义时，，，解得： ，因此定义域为，选项B不正确； 因为， ， 因为在上递增，， 所以，即，选项C不正确； 令，求得，，可得的对称中心是，，当时，可得的对称中心是，故D正确； 故选：AD. 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习·多选）已知函数，，则（   ） A．与的值域相同 B．与的最小正周期相同 C．与的图象都关于直线对称 D．与在上都单调递减 【答案】AC 【详解】与的值域均为，A正确. 的最小正周期为，的最小正周期为，B错误. 当时，，，， 所以与的图象都关于直线对称，C正确. 当时，， 根据正弦函数的单调性可知，在上先减后增，D错误. 故选：AC 5．（24-25高一下·广东汕头·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心为 C．在区间上单调递增 D．的图像向右平移个单位后，解析式为 【答案】ABD 【详解】对于A, 由于，则的最小正周期为，故A正确， 对于B，时，则，故是的一个对称中心，故B正确， 对于C,当时， 由于，故在区间上不是单调递增，C错误 对于D, 的图像向右平移个单位后得到，故D正确， 故选：ABD 6．（24-25高二下·湖南湘西·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】BD 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，故A错误； 因为，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 由，得，所以函数在区间上不单调，故C错误； 因为， 所以将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，故D正确． 故选：BD． 7．（24-25高一上·安徽黄山·期末·多选）已知函数的图象为，则（    ） A．此函数的一个对称中心为 B．此函数在上的最小值为 C．为了得到的图象，只要把上所有点向左平移个单位 D．为了得到的图象，只要把上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 【答案】AD 【详解】A选项，因，即函数的一个对称中心为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减，且， 故当时，取得最小值，故函数在上的最小值不为，B错误； C选项，上所有点向左平移单位长度，得到的图象，C错误； D选项，把上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，D正确. 故选：AD 考点二 先求函数解析式，进而求函数性质 【知识点解析】 1.辅助角公式(合一公式)求三角函数解析式 . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 2.由图像求解析式求三角函数解析式 对于三角函数，（）由最值决定，最大值为，最小值为；由周期决定，；最后可代入特殊值点求解.（最好为最大值点或最小值点） ※并不一定求才能代入特殊值点求解，实际上任何参数理论上都可以代入特殊值点求解. ※并不一定只能代入最值点，但代入的如果不是最值点，需要分辨其是上升阶段还是下降阶段的对应点. 3.伸缩平移变换求函数解析式求三角函数解析式 对于三角函数 向上平移个单位，得，向下平移个单位，得. 向左平移个单位，得，向右平移个单位，得. 将所有的纵坐标变化为原来的倍（横坐标保持不变），得. 将所有的横坐标变化为原来的倍（纵坐标保持不变），得. ※口诀：左加右减，上加下减 ※左右平移个单位，只是把变成；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得. 【例题分析】 1．（24-25高二下·湖南衡阳·期末·多选）将曲线向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为2 C．曲线关于直线对称 D．曲线关于点对称 【答案】BD 【详解】由图象变换可得，则的最小正周期，A错误，B正确．，，C错误，D正确． 故选：BD 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末·多选）已知函数，则（   ） A．最小正周期为π B．是该函数的一个极值点 C．当，的取值范围是 D．图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABC 【详解】对于A，，所以最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以是该函数的一个极值点，故B正确； 对于C，，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，的图象向右平移个单位长度得到的函数图象对应的解析式为，故D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高一下·云南保山·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的单调递减区间为， C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【详解】 ． 对于A，的最小正周期，故选项A 正确； 对于B，令，，得，， 所以的单调递减区间为，，选项B不正确； 对于C，由可得， 当，即时，函数取得最小值，故选项C正确； 对于D，令，，得，， 当时，，所以的图象关于点中心对称，选项D不正确， 故选：AC． 4．（24-25高一下·河南洛阳·期末·多选）已知函数，则以下说法中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心 C．若，则的最小值为 D．若，且是偶函数，则的最小值是 【答案】AC 【详解】因为 ， 对于A，因为的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由，得到，令，得， 所以是图象的一个对称中心，故B错误； 对于C，令，得到，即， 所以或， 即或，又， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，又是偶函数， 则，整理得到，又，所以的最小值是，故D错误. 故选：AC. 5．（24-25高一下·广东茂名·期末·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．若函数在上单调递增，则 C．的图象关于点中心对称 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可知函数的最小正周期，则，解得，故A正确； 对于B，由，则， 由正弦函数的单调性，则，解得，故B正确； 对于C，令，解得，显然，故C错误； 对于D，由题意可得，即， 则，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一下·辽宁锦州·期末·多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A．的最小正周期为 B．时，的最大值是 C．的图象向右平移个单位后为奇函数 D．与有相同的零点 【答案】AC 【详解】观察图象得，，得，而，所以， 因为，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，所以， 所以，即的最大值是，故B错误； 对于C，的图象向右平移个单位后为， 则，故为奇函数，C正确； 对于D，令得， 即函数的零点为，令得， 即函数的零点为， 显然与无交集， 故与没有相同的零点，D错误. 故选：AC 7．（24-25高一下·甘肃天水·期末·多选）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】由，故A错误； 的最小正周期为，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，故C正确； 因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高一下·四川成都·期末·多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 【答案】ACD 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末·多选）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（    ） A．的最小正周期 B．是的一个对称中心 C．在区间上的值域为 D．将函数的图象向左平移后得到的图象，则 【答案】AD 【详解】对于A，由图可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，则函数的对称中心为，其中， 显然不存在，使得，故B错误； 对于C，由图可得，由A可知，解得， 由B可得，其中，解得，其中， 所以， 由，则，可得，故C错误； 对于D，由题可得，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末·多选）若函数则（   ） A．为偶函数 B．在上单调 C．的图象与直线，线段围成的图形面积为π D．若，且，若，则 【答案】ACD 【详解】. 对于A，是偶函数，故A正确； 对于B，由，得，结合正弦函数的性质知在上不单调，故B不正确； 对于C，画出的图象与直线，线段，如下图实线围成区域即为所求， 由，，结合对称性，知所求区域面积等于矩形的面积，等于，故C正确； 对于D，当时，， 因为，所以， ∴，∴， 因为，所以， 所以.故D正确 故选：ACD. 11．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且． (1)求的解析式； (2)将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若且，求的最大值； (3)记在区间上的最大值为，最小值为，设，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数， 由图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，得，解得， 则，由，得，解得， 所以. （2）由（1）得， 由，即时，， 由，即时，， 由，得，， ，由，得， 同理，因此当时，， 所以的最大值为. （3）由，得， 当时，， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，又，则， 因此，，，； 当时，函数在上单调递减，， ， 因此，，， 所以在区间上的值域为. 12．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知 (1)求证：； (2)若，在上的最小值为． ①求的值； ②求的单调递减区间． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【详解】（1） . （2）①由 ， 当时，， 则，即时，取得最小值， 则. ②由①知，则， 令， 解得， 因此的单调递减区间为. 考点三 已知函数性质求参数范围 【知识点解析】 1.已知三角函数 （1）若已知函数周期为，则令，求解得. （2）若已知函数在递增，则周期且. （3）若已知函数在递减，则周期且. （4）若已知函数的一个对称轴为，则令. （5）若已知函数的一个对称中心为，则令. 2.若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围. 3.对于三角函数，函数的极值点等价于函数的对称轴，函数的零点等价于函数的对称中心的横坐标. ※若对于三角函数，零点不能等价于对称中心. 【例题分析】 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意，可得，且，即， 所以，解得：，， 函数， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·江西九江·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】依题意得，为偶函数， 则，即. 故选：B. 4．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，解得， 由可得，又因为，，故，则. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 5．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，即，则，所以， 且和是两个对称中心，且， 所以和在同一周期内， 又的一个周期内有个对称中心， 所以，即，，则， 又，解得，， 又当，时单调递减， 解得，， 所以区间为的一个子集， 所以，结合得，，可得， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 7．（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位得到的函数为：， 依题意，函数是偶函数，故， 解得，又，结合选项，可得可以取1． 故选：B. 8．（2025·山东烟台·三模）若函数图象的一个对称中心为，则的值为（    ）． A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：D. 9．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习·多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最大值为 B．当时，函数的对称轴方程为 C．若向左平移个单位后，关于轴对称，则的最小值为 D．若在上有且仅有个最大值点，则的取值范围是 【答案】BD 【详解】对于A，函数， 所以函数的最大值为2，故A错误； 对于B，当时，由A得，令， 所以当时，函数的对称轴方程为，故B正确； 对于C，向左平移个单位后得到的函数图象解析式为， 因为其图象关于轴对称，所以， 因为，所以的最小值为，故C错误； 对于D，当时，， 因为在上有且仅有个最大值点， 所以，故D正确. 故选：BD 10．（24-25高一下·四川南充·期末·多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．时，点是函数图象的一个对称中心 B．时，函数在上有4个零点 C．将图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则最小值为3 D．当时，恰有4个最大值，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【详解】当时，则，即点是函数图象的一个对称中心，A对； 令，可得， 因为，则， 故在区间共有3个零点或或， 所以函数函数在上有3个零点或或，B错； 由图象关于轴对称，则， 所以，且，故最小值为3，C对； 由，则，即在上有4个最大值， 所以，可得，D对. 故选：ACD 11．（24-25高一下·辽宁大连·期中·多选）已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，， 即的一个对称中心为，，且在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则，即，解得， 又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期，则，即， 解得，而，因此， 所以可能得取值为，. 故选：BC 12．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【答案】 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 13．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ． 【答案】/1.5 【详解】因为偶函数，所以，， 即或， 又的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以， 因为函数单调，所以，即， 所以当时，符合条件. 故答案为： 14．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，， 得或，解得或， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将曲线向左平移个单位长度后，所得曲线解析式为：， 因为的图象关于原点对称，所以，即， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为： 16．（24-25高一下·湖南永州·期中）的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为的图象经过点，所以， 又因为，所以， 当时，， 因为在区间上单调递增， 则，，知， 又因为，且，， 所以，即． 故答案为：. 17．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数在上单调递增， 可得，可得，即，可得， 又由，可得， 则满足，解得， 当时，可得，当时，可得， 当时，不合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知函数在区间上有且仅有一个零点， 故函数的最小正周期, 又，则，而， 当时，即时，需有，即，此时； 当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意； 当时，即时，需有，即，此时； 当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意； 当时，即时，需有，即，此时； 综合上述，得的取值范围为， 故答案为： 考点四 定义法求函数性质 【知识点解析】 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则. 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函数性质 定义与求解方法 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 【例题分析】 1．（2025·浙江·二模·多选）已知函数，则下列正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】， 因为,是函数的一个周期，故A正确； 因为,   不恒为0，故B错误； 因为,   所以的图象关于直线对称，故C正确； 当时，,则在时单调递增，且 又单调递减，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减，故D正确. 故选：ACD. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 【答案】ABC 【详解】对于A，，是偶函数，故A正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，所以， 所以，， 又时，， 因为，所以，所以， 所以， 又时，， 所以当时，是以为周期的周期函数，又是偶函数， 所以函数的值域为，故BC正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，得， 所以时，， 作出函数在的图象的示意如图所示， 故函数在有没有零点，故D错误. 故选：ABC. 3．（2025·吉林长春·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上有个零点 D．的值域为 【答案】BD 【详解】A选项：由已知的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为，A选项错误； B选项：由已知， 则， 所以函数关于点中心对称，B选项正确； C选项：令， 则或，又，则或， 即函数在共有个零点，C选项错误； D选项：由，则， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，最大值为， 即函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为，D选项正确； 故选：BD. 4．（2025·河南信阳·模拟预测·多选）已知函数，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．直线是曲线的对称轴 D．的最小正周期为 【答案】AC 【详解】对于A，则，故A正确； 对于B，令则 令解得 而当因，故B错误； 对于C，因 ，即直线是曲线的对称轴，故C正确； 对于D，因， 故不是函数的周期，故D错误. 故选：AC. 5．（2025·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数，其导函数为，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数在区间上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．若，且，则 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，因为，当时，；当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，，因为的最小正周期为，故的最小正周期为，故C正确； 对于D，若且，则，又， 则函数在上无零点，且，使得，故，D正确. 故选：ACD 6．（2025·湖北黄冈·三模·多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】若函数满足，则函数为偶函数. 已知，那么. 根据三角函数诱导公式可得. 所以是偶函数，选项正确. ，根据三角函数诱导公式可得. 所以是的一个周期，而不是最小正周期，选项错误. 当时，，，则. 可得. 当时，，正弦函数在上单调递增，所以在上单调递增，选项正确. 函数的定义域为. 对，令， 因为，所以，则. 又，所以. 对求导得，所以在上单调递增. 当时，取得最小值；当时，取得最大值，因，开方则的最大值为. 所以的值域为，选项正确. 故选：ACD. 7．（2025·广西南宁·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．为的周期 B．的图象关于对称 C．的图象关于点对称 D．是奇函数 【答案】ACD 【详解】已知， 则， 可得，所以为的周期，A正确. 可知， 可得，则B错误，C正确. 可知， 则，可知， 所以是奇函数，所以D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习·多选）对于函数，下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期 【答案】BD 【详解】，， 所以，所以是偶函数， 又，所以是函数的周期， 对于A，因为的一个周期为，令，当时， ，所以， 当时，， 所以，所以的值域为，故A不正确； 对于B，当，时， 函数与均在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以的图象不关于直线对称，故C不正确； 对于D，前面已证明正确. 故选：BD. 高考真题演练 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 6．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 8．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 9．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 12．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 14．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$