第26章 反比例函数 第4课时反比例函数与一次函数的交点问题暑假预习课 2025-2026学年人教版九年级数学下册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九下数学第26章《反比例函数》第4课时反比例函数与一次函数的交点问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 直线y1与双曲线y2的图象如图所示，交点的横坐标为－1和1，以交点和y轴为分界线，将平面分为4个区间. 例：在区间①中， 双曲线在上，直线在下， ∴当x＜－1时， y1＜y2. 根据左边的图象填空： (1)当x＝　 　时，y1＝y2； (2)当－1＜x＜0时，y1　 　y2； (3)当0＜x＜1时，y1　 　y2； (4)当x＞1时，y1　 　y2； (5)当y1＜y2时，x的取值范围是　 　； (6)当y1＞y2时，x的取值范围是　 　. 知识点1：利用图象求自变量的取值范围 【例1】如图，点A(－4，2)和点B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象上的两个交点. 　 (1)当　 　时，kx＋b＝； (2)当　 　　时，kx＋b＞； (3)当　 　　时，kx＋b＜. ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：面积问题 【例2】如图，已知一次函数y＝－x＋2与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是4. (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOM的面积. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设点和是反比例函数图像上的两个点，当时，，则一次函数的图像不经过的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 3.一次函数与反比例函数的图象相交于点，其中直线与的图象的交点纵坐标为，与的图象的交点纵坐标为，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 4.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象经过(    ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 5.如图，在平面直角坐标系中，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点则当时，与的大小关系为  (    ) A. B. C. D. 以上说法都不对 6.如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.一次函数与反比例函数均为常数在同一平面直角坐标系中的图象不可能是(    ) A. B. C. D. 8.在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形沿轴向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.如果当时，反比例函数的函数值随的增大而增大，那么一次函数的图象经过(    ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 二、填空题： 11.反比例函数和一次函数的图象的两个交点分别是，，则____________     ． 12.一次函数的图象过点，与反比例函数的图象交于，两点，若，则的值为          ． 13.如图，一次函数与的图像与反比例函数的图像在第一象限内分别交于，两点．已知的面积为，则的值为          ． 14.如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点连结，则点到线段的距离为______． 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点点是反比例函数图像上一点且纵坐标是，连接、，则的面积为          ． 16.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，在第一象限内，当时，的取值范围是，则__________． 17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数图象上，则的值为______． 18.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，其交点的横坐标分别为和，则实数的值是          ． 19.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点、若，则的值是          ． 20.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． 求一次函数与反比例函数的解析式； 求的面积． 22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． 求一次函数和反比例函数的解析式； 点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 23.已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． 求和的值； 若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值的取值范围； 直接写出关于的不等式的解集          ． 24.如图，一次函数的图像与轴负半轴交于点，与反比例函数的图像交于点． 求反比例函数的表达式； 连接，当的面积为时，求一次函数的表达式． 25.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． 求这个反比例函数的表达式； 求的面积； 在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26.如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和边的中点． 求的值和点的坐标； 若一次函数经过，，根据图象回答：当为何值时，？可直接写出答案． 27.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． 求反比例函数的解析式； 若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 28.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标是，点的横坐标是． 求反比例函数的解析式； 求的面积； 根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 29.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为． 求点的坐标； 求该反比例函数和一次函数的表达式； 连接，求四边形的面积． 30.如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点． 求、两点的坐标和反比例函数的表达式； 连接、，求的面积； 在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 31.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点以为边在左侧作正方形． 求一次函数和反比例函数的表达式． 判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 32.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． 求一次函数和反比例函数的解析式； 直接写出时，的取值范围； 在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九下数学第26章《反比例函数》第4课时反比例函数与一次函数的交点问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 直线y1与双曲线y2的图象如图所示，交点的横坐标为－1和1，以交点和y轴为分界线，将平面分为4个区间. 例：在区间①中， 双曲线在上，直线在下， ∴当x＜－1时， y1＜y2. 根据左边的图象填空： (1)当x＝　－1或1　时，y1＝y2； (2)当－1＜x＜0时，y1　＞　y2； (3)当0＜x＜1时，y1　＜　y2； (4)当x＞1时，y1　＞　y2； (5)当y1＜y2时，x的取值范围是　x＜－1或0＜x＜1　； (6)当y1＞y2时，x的取值范围是　－1＜x＜0或x＞1　. 知识点1：利用图象求自变量的取值范围 【例1】如图，点A(－4，2)和点B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象上的两个交点. 　 (1)当　x＝－4或x＝2　时，kx＋b＝； (2)当　x＜－4或0＜x＜2　时，kx＋b＞； (3)当　－4＜x＜0或x＞2　时，kx＋b＜. ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：面积问题 【例2】如图，已知一次函数y＝－x＋2与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是4. (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOM的面积. 解：(1)当x＝－2时，y＝－x＋2＝4. ∴A(－2，4). 把点A(－2，4)代入y＝，得k＝－8. ∴反比例函数的解析式为y＝－. (2)对于y＝－x＋2，令y＝0，则x＝2. ∴M(2，0)，即OM＝2. 　 ∴S△AOM＝OM·＝×2×4＝4. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设点和是反比例函数图像上的两个点，当时，，则一次函数的图像不经过的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C  2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 【答案】B  【解析】解：反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上， 解方程组， 得， 的图象与一次函数有两个不同的交点， 方程有两个不同的实数根， ， 或， 故选B． 3.一次函数与反比例函数的图象相交于点，其中直线与的图象的交点纵坐标为，与的图象的交点纵坐标为，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： 由题意，点在两个函数图像上， 可得： 解得 将代入一次函数得：． 代入反比例函数得：． ， ，即 4.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象经过(    ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B  【解析】解：因为反比例函数， 当时，随的增大而增大， 根据反比例函数的性质，， 再根据一次函数的性质，一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故选B． 由反比例函数的性质可判断的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 本题考查了反比例函数的性质，一次函数图象与系数的关系． 反比例函数的性质：、当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限． 、当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大． 、反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，即第一三，二四象限角平分线，对称中心是原点． 5.如图，在平面直角坐标系中，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点则当时，与的大小关系为  (    ) A. B. C. D. 以上说法都不对 【答案】A  6.如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A  7.一次函数与反比例函数均为常数在同一平面直角坐标系中的图象不可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、函数的图象经过第一、三、四象限，则，，则，所以函数的图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意； B、函数的图象经过第一、二、四象限，则，，则，所以函数的图象经过第二、四象限，故本选项符合题意； C、函数的图象经过第一、二、三象限，则，，则，所以函数的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意； D、函数的图象经过第一、二、三象限，则，，当时，函数的图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，关键是掌握两个函数图象的性质． 8.在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定反比例函数图象经过的象限是解题的关键．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】 解：、一次函数图象应该过第一、二、四象限， ，， ， 反比例函数的图象经在二、四象限， 故A错误； B、一次函数图象应该过第一、三、四象限， ，， ， 反比例函数的图象经在二、四象限， 故B错误； C、一次函数图象应该过第一、二、三象限， ，， ， 反比例函数的图象经在一、三象限，故C错误； D、一次函数图象应该过第二、三、四象限， ，， ， 反比例函数的图象经在一、三象限， 故D正确， 故选D． 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形沿轴向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段的长是解决问题的关键，合理的转化是常用的方法． 由一次函数的关系式可求出与轴，轴的交点坐标，即求出、的长，由正方形的性质、三角形全等可以求出、、、的长，进而求出的坐标，最后求出的长就是的值． 【解答】 解：过、分别作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图象于， 把和分别代入得：和， ，， ，； 由是正方形，易证≌≌， ，， ，， 把，代入得，， 把代入得，，即， ，即， 故选：． 10.如果当时，反比例函数的函数值随的增大而增大，那么一次函数的图象经过(    ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B  【解析】本题考查了一次函数的图象性质：与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．的图象在一、二、三象限；的图象在一、三、四象限；的图象在一、二、四象限；的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．由反比例函数的性质可判断的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：由题意得：， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：． 二、填空题： 11.反比例函数和一次函数的图象的两个交点分别是，，则____________     ． 【答案】  【解析】解：把带代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得， ， ， 把，代入一次函数得， ， 故答案为：． 12.一次函数的图象过点，与反比例函数的图象交于，两点，若，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：一次函数的图象过点， 设一次函数的解析式为，反比例函数解析式， ， 整理得， ，， ， 点的横坐标是点横坐标的倍，不防设， ，， ， 整理得，． 故答案为． 13.如图，一次函数与的图像与反比例函数的图像在第一象限内分别交于，两点．已知的面积为，则的值为          ． 【答案】  【解析】提示：如图，设一次函数的图像与轴的交点为，则点连接因为直线与直线平行，所以，所以，所以将代入，得，所以点，所以． 14.如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点连结，则点到线段的距离为______． 【答案】  【解析】解：由条件可知， ，，即，， 过点的一次函数的图象与轴交于点， ，，， ， 设点到线段的距离为， 又， ， 解得， 点到线段的距离为， 故答案为：． 根据题意得到即，，根据两点之间距离的计算，，，根据等面积法即可求解． 本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是关键． 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点点是反比例函数图像上一点且纵坐标是，连接、，则的面积为          ． 【答案】  【解析】一次函数的图像过点，，点的坐标为点在反比例函数的图像上，，解得，反比例函数的表达式为点是反比例函数图像上一点且纵坐标是，点的坐标为作轴，交直线于点，点的纵坐标为将其代入，得，解得，点的坐标为，． 16.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，在第一象限内，当时，的取值范围是，则__________． 【答案】  【解析】【分析】 见答案 【解答】 见答案 17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数图象上，则的值为______． 【答案】  【解析】解：如图，作轴，垂足为， 一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点， ，， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， ． 故答案为：． 先求出点、坐标，得到，，再证明≌得到，，继而得到点坐标，求出值即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点坐标是关键． 18.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，其交点的横坐标分别为和，则实数的值是          ． 【答案】  【解析】解：点、的横坐标分别为和， ，， ，在反比例函数图象上， ，解得， ，， ． 故答案为：． 19.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点、若，则的值是          ． 【答案】  【解析】如图，设一次函数的图像与轴的交点为，把代入得，，解得，，，，，即，，，，，设，则，点、在反比例函数图像上，，解得，，． 20.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查的是一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数的图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数的综合等有关知识，根据直线图象在反比例函数图象的上方部分的对应的自变量的值即为所求． 【解答】 解：由图象可知，当时，的取值范围为或． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． 求一次函数与反比例函数的解析式； 求的面积． 【答案】解：将代入反比例函数得， ， 解得， ， 所以点的坐标为， 反比例函数解析式为， 将点代入得，， 解得， 所以点的坐标为， 将点，代入得， ， 解得， 所以一次函数解析式为； 设与轴相交于点， 令，则， 解得， 所以点的坐标为， 所以， ， ．  【解析】将点坐标代入反比例函数求出的值，从而得到点的坐标以及反比例函数解析式，再将点坐标代入反比例函数求出的值，从而得到点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； 设与轴相交于点，根据一次函数解析式求出点的坐标，从而得到的长度，再根据列式计算即可得解． 本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式和待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积的求解，关键在于先求出点的坐标． 22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． 求一次函数和反比例函数的解析式； 点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】(1)解：∵点A(6，-3-2n)，点B(n，-3)在的图象上，∴6(-3-2n)＝-3n＝k，  解得n＝-2．∴A(6，1)，B(-2，-3)，k＝6．∴反比例函数的解析式为．  将点A(6，1)，B(-2，-3)代入一次函数y＝ax+b中，  得解得∴一次函数的解析式为．  (2)对于直线，  令x＝0，得y＝-2，∴点C的坐标为(0，-2)．∵点D是点C关于x轴的对称点，∴点D(0，2)．∴CD＝2-(-2)＝4．∴​​​​​​​．  23.已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． 求和的值； 若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值的取值范围； 直接写出关于的不等式的解集          ． 【答案】(1)解：当时，， ∴点B的坐标为． ∵反比例函数的图象过点， ∴．   (2)∵， ∴当时，y随x值增大而减小． ∵时，时， ∴当时，．   (3)或  【解析】 此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，求不等式的解集． 将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出和的值．  根据反比例函数的增减性解答．  即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答． 由图象可知，不等式的解集是或． 故答案为或． 24.如图，一次函数的图像与轴负半轴交于点，与反比例函数的图像交于点． 求反比例函数的表达式； 连接，当的面积为时，求一次函数的表达式． 【答案】(1)解：k＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为．  (2)∵，∴OA＝2，∴A(0，-2)，  把点A、B的坐标代入y＝mx+n，  得解得∴一次函数的表达式是．  25.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． 求这个反比例函数的表达式； 求的面积； 在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)  ∵一次函数y＝x+1的图象经过点A(m，2)，∴m+1＝2，∴m＝1，∴A(1，2)．∵反比例函数的图象经过点A(1，2)，∴k＝2，∴反比例函数的表达式为．  (2)解方程组得或∴B(-2，-1)．∵对于一次函数y＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴C(0，1)，∴．  (3)存在．满足条件的点P的坐标为(-3，-3)或(-1，1)或(3，3)．  26.如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和边的中点． 求的值和点的坐标； 若一次函数经过，，根据图象回答：当为何值时，？可直接写出答案． 【答案】(1)解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵四边形是平行四边形，且边在轴上， ∴点B的纵坐标为4． ∵点是边的中点， ∴点的纵坐标为2． ∵反比例函数的图象经过点， ∴，则， ∴点的坐标为．   (2)解：，，观察图象． 当​​​​​​​或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当或时，．   【解析】 利用待定系数法可求得，利用平行四边形的性质得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，据此即可求得点的坐标．  观察图象即可求解． 27.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． 求反比例函数的解析式； 若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】解：把点代入， 解得， 点坐标为 把代入反比例函数， ， 反比例函数的解析式为； 一次函数的图象与轴交于点， 点坐标为， 设点坐标为， ， ， 或， 的坐标为或．  【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数的解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征． 利用点在上求，进而代入反比例函数求即可； 设，求得点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 28.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标是，点的横坐标是． 求反比例函数的解析式； 求的面积； 根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围． 【答案】(1)解：∵点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4，∴当x＝-2时，y＝-(-2)+2＝4，  当x＝4时，y＝-4+2＝-2，∴A(-2，4)，B(4，-2)，∵反比例函数的图象经过A，B两点，∴k＝-2×4＝4×(-2)＝-8，∴反比例函数的解析式为．  (2)在一次函数y＝-x+2中，令y＝0，则x＝2，∴M(2，0)，即OM＝2，∴△AOM的面积．  (3)-2＜x＜0或x＞4．  29.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为． 求点的坐标； 求该反比例函数和一次函数的表达式； 连接，求四边形的面积． 【答案】解：在中，，， ， 解得，， 点的坐标为； 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的解析式为； 反比例函数经过点，而点的纵坐标为， ， 解得， 点坐标； 将点和的坐标代入一次函数的解析式中，得 解得 一次函数的解析式为； 一次函数与轴交于点，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 又轴， ， 四边形为平行四边形， ．  【解析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式、勾股定理等． 利用勾股定理得到，求解出，，进而解出此题； 根据反比例函数的图象经过点，求出，进而得到反比例函数的解析式，再根据反比例函数经过点求解出点的坐标，最后将点和的坐标代入一次函数的解析式求解即可； 判断出四边形为平行四边形，然后再利用面积公式进行求解即可． 30.如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点． 求、两点的坐标和反比例函数的表达式； 连接、，求的面积； 在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【答案】解：把、两点的坐标代入， 得，，， 则、． 把代入，得， 反比例函数的表达式为 一次函数的图象与轴交于点， ，， 、， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入， 得． 解得 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为．  【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，是熟练掌握待定系数法，利用割补法，是作出点关于轴的对称点，求得对称点的坐标． 把、两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出、的值，再把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； 求得的坐标，然后根据求得即可； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点坐标即可得到点坐标． 31.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点以为边在左侧作正方形． 求一次函数和反比例函数的表达式． 判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】反比例函数的表达式为一次函数的表达式为；   点在反比例函数图象上．  【解析】解：把点代入，得． 反比例函数的表达式为． 把点代入，得． ． 把，分别代入， 得， 解得：， 一次函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点，则， 在中，当时，， ， ． ， ，． ． 四边形是正方形， ，． ， ． ≌． ，． ． ． ， 点在反比例函数图象上． 将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将点代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； 过点作轴于点，过点作轴于点，通过证得≌，得出，，即可求得，得出，代入反比例函数解析式即可判定点在反比例函数的图象上． 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，求得交点坐标是解本题的关键． 32.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． 求一次函数和反比例函数的解析式； 直接写出时，的取值范围； 在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为．   或．   或．  【解析】解：点和在反比例函数的图象上， ， ，， 反比例函数的解析式为， 点和在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 如图， 由图可知，不等式时的取值范围为：或． 由一次函数解析式可知，设点的坐标为，根据题意得： ， 解得或． 或． 利用待定系数法分别求出两个函数解析式即可； 根据图象直接写出不等式的解集即可； 设点的坐标为，根据题意得到关于的方程解得或即可得到点的坐标． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$