第26章 反比例函数 第1课时反比例函数的概念暑假预习课- 2025-2026学年人教版九年级数学下册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九下数学 第26章《反比例函数》第1课时反比例函数的概念 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 反比例函数的概念：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫反比例函数，其中自变量x的取值范围是　x≠0　. 反比例函数的三种表达形式：①y＝；②xy＝k；③y＝kx－1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是( C ) A. y＝3x B. y＝ C. y＝ D. y＝ 知识点1：反比例函数的定义 【例1】下列y是x的反比例函数吗？如果是，请写出对应k的值. (1)y＝：　不是　； (2)y＝－：　是，k＝－4　； (3)y＝－x－1：　是，k＝－　； (4)xy＝－6：　是，k＝－6　. 知识点2：实际问题中的反比例关系 【例2】(人教九下P3练习改编)(1)一个长方体的体积为10 m3，这个长方体的高h(m)与底面积S(m2)的函数关系式为　h＝　； (2)某蓄水池的排水管的平均排水量为8 m3/h，6 h可以将满池水全部排空，则将满池水排空所需要的时间t(h)与平均每小时的排水量Q(m3)之间的函数关系式为　t＝　. 知识点3：用待定系数法求反比例函数的解析式 【例3】(人教九下P3例1改编)已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝3. (1)求y与x的函数关系式； (2)当x＝－1时，求y的值. 解：(1)设y＝(k≠0). ∵当x＝2时，y＝3，∴3＝，即k＝6. ∴y与x的函数关系式为y＝. (2)把x＝－1代入y＝，得y＝－6. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是关于的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 根据反比例函数的一般形式即可作出判断． 本题考查了反比例函数的定义，重点掌握反比例函数的一般式． 【解答】 解：、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、该函数不是关于的反比例函数，故本选项不符合题意； D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意． 故选：． 2.下列函数是反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数，熟记反比例函数的定义是解题关键． 根据反比例函数的定义，可得答案． 【解答】 解：、符合正比例函数的定义，故A错误； B、不符合反比例函数的定义，故B错误； C、不符合反比例函数的定义，故C错误； D、符合反比例函数的定义，故D正确； 故选：． 3.若函数是反比例函数，则  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  4.已知反比例函数，当时，，那么等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.下列几对变量间具有反比例函数关系的是(    ) A. 正三角形的面积与其周长 B. 人的身高与年龄 C. 当三角形的面积一定时，一边与这边上的高 D. 矩形的长与宽 【答案】C  【解析】A.不具有反比例函数关系； B.不具有函数关系，也就不具有反比例函数关系； C.   具有反比例函数关系； D.当矩形的面积一定时，矩形的长与宽具有反比例函数关系． 故选： 6.验光师测得一组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应数据如下表．根据表中数据，可得关于的函数表达式为  (    ) 度 米 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】因为，所以是的反比例函数，且，所以关于的函数表达式为故选A． 7.下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是(    ) A. 正方形的面积与边长的关系 B. 正方形的周长与边长的关系 C. 长方形的长为，宽为，其面积与的关系 D. 长方形的面积为，长为，宽为，与的关系 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数的定义，属于基础题． 由反比例函数的定义，对选项逐个判断即可． 【解答】 解：、根据题意，得，这两个量之间不是反比例函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以长方形的面积与长方形的长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，这两个量之间为反比例函数关系，故本选项正确． 故选D． 8.与成反比例，当时，，则与的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设，由题意，得，解得，故与的函数关系式是故选D． 9.已知是的反比例函数，且当时，，那么，当时，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  10.当反比例函数的函数值为时，自变量的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题： 11.当           时，关于的函数是反比例函数． 【答案】  12.已知函数是反比例函数，则的值为          ． 【答案】  13.若函数是关于的反比例函数，则__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查反比例函数的概念 根据反比例函数的概念可知且，求解即可 【解答】 解：由题意知：且， 解得， 14.已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】 解：设反比例函数为， 当时，，， 解得：． 反比例函数为． 当时， 15.已知反比例函数的图象经过点，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：反比例函数的图象经过点， ． 故答案为． 把代入函数解析式，即可求的值． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 16.已知一个圆柱的体积是，则其底面积单位：关于高单位：的函数解析式为          ，自变量的取值范围是          ． 【答案】    17.已知与成反比例，当时，，则当时，          ． 【答案】  18.已知，与成正比例、与成反比例，且当时，，当时，，则当时，的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正比例函数和反比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，反比例函数的一般形式是注意正比例函数和反比例函数，比例系数不一定相同，因而在设解析式时一定要用不同的字母表示．分别设，，可得，利用待定系数法求出，的值，再将代入求出的值即可． 【解答】 解：与成正比例，则可以设， 与成反比例，则可以设， 因而与的函数关系式是， 当时，，当时，， ，解得：， 因而与之间的函数关系式， 当时，． 故答案为：． 19.某种灯的使用寿命是小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数表达式为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的有关知识，属于基础题． 根据题意即可列出关系式． 【解答】 解：由题意得：使用天数与平均每天使用的小时数之间的关系式为． 故答案为． 20.在反比例函数中，比例系数的值为          ． 【答案】  三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.当取什么值时，函数是反比例函数？ 【答案】解：由  得．  22.已知与成反比例，且当时，，求： 关于的函数解析式； 当时，求的值． 【答案】解：设． 当时，． ． ． 当时，．  23.已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，求关于的函数解析式． 【答案】解：由题意可设，当时，；当时，，解得关于的函数解析式为．  24.已知与成反比例，并且当时，． 写出关于的函数解析式； 当时，求的值； 当时，求的值． 【答案】(1)解：设函数解析式为．∵当x＝3时，y＝4，∴．解得k＝36．∴．  (2)当x＝1.5时，．  (3)当y＝6时，．解得．  25.已知与成反比例，且当时，． 求与之间的函数解析式； 当时，求的值． 【答案】(1)解：设．  因为当x＝3时，y＝4，  所以k＝4×(3+2)＝20，  所以y与x之间的函数解析式为．  (2)把y＝5代入，得，解得x＝2．  26.我们中小学生每天都要做眼保健操，保护视力，预防近视．已知近视眼镜镜片的度数度与镜片焦距的调查数据如表： 眼镜片度数度 镜片焦距 求关于的函数解析式，它是什么函数？ 若近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距． 【答案】解：根据题意得与之积恒为，则函数的解析式是它是反比例函数． 令，则，解得，即该镜片的焦距是．   【解析】本题考查了反比例函数的应用． 根据题意可得 与之积恒为，即可得到关于的函数解析式，再根据反比例函数的定义判断出是反比例函数． 把代入反比例函数解析式即可求解． 27.在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． 设菱形的两条对角线的长分别为，，求关于的函数解析式．这个函数是反比例函数吗？如果是，请指出比例系数； 若其中一个菱形的一条对角线长为，求这个菱形的边长． 【答案】(1)解：因为在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm，所以．  因为菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，  所以，  所以y关于x的函数解析式为．  这个函数是反比例函数，比例系数是48．  (2)因为其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，所以另一条对角线长为，  所以这个菱形的边长为．  28.在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． 设菱形的两条对角线的长分别为，，求关于的函数解析式．这个函数是反比例函数吗？如果是，请指出比例系数； 若其中一个菱形的一条对角线长为，求这个菱形的边长． 【答案】(1)解：∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm， ∴=412=24(). ∵菱形的两条对角线的长分别为xcm，ycm， ∴=xy=24， ∴y关于x的函数解析式为y=(x>0)，这个函数是反比例函数，比例系数是48.  (2)解：∵其中一个菱形的一条对角线长为6cm， ∴另一条对角线长为=8(cm)， ​​​​​​​∴这个菱形的边长为​​​​​​​=5(cm).  【解析】 本题主要考查了菱形的性质、函数关系式、反比例函数的概念． 根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得出关于的函数表达式，再结合反比例函数的概念进行判断即可求解．  本题主要考查了菱形的性质、勾股定理． 先根据菱形的面积为定值可知两对角线的乘积为定值，则可求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，即可由勾股定理求得菱形的边长． 29.将油箱注满油后，轿车可行驶的总路程与平均耗油量之间满足反比例函数关系：是常数，已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为的速度行驶，可以行驶． 求关于的函数解析式； 当平均耗油量为时，油箱注满油后该轿车可以行驶多少千米？ 【答案】(1)由题意，得k＝0.1×700＝70．∴s关于a的函数解析式为  (2)将a＝0.08代入，得．∴当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱注满油后该轿车可以行驶875 km  30.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，当时，． 求关于的函数解析式； 若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1)解：由题意设y关于x的函数解析式为． 把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12． ∴y关于x的函数解析式为（ x＞0）．   (2)把y＝3代入，得 x＝4．∴小孔到蜡烛的距离为4 cm．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九下数学 第26章《反比例函数》第1课时反比例函数的概念 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 反比例函数的概念：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫反比例函数，其中自变量x的取值范围是　 　. 反比例函数的三种表达形式：①y＝；②xy＝k；③y＝kx－1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是( ) A. y＝3x B. y＝ C. y＝ D. y＝ 知识点1：反比例函数的定义 【例1】下列y是x的反比例函数吗？如果是，请写出对应k的值. (1)y＝：　 　； (2)y＝－：　 　； (3)y＝－x－1：　 　； (4)xy＝－6：　 　. 知识点2：实际问题中的反比例关系 【例2】(人教九下P3练习改编)(1)一个长方体的体积为10 m3，这个长方体的高h(m)与底面积S(m2)的函数关系式为　 　； (2)某蓄水池的排水管的平均排水量为8 m3/h，6 h可以将满池水全部排空，则将满池水排空所需要的时间t(h)与平均每小时的排水量Q(m3)之间的函数关系式为　 　. 知识点3：用待定系数法求反比例函数的解析式 【例3】(人教九下P3例1改编)已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝3. (1)求y与x的函数关系式； (2)当x＝－1时，求y的值. 解： 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是关于的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列函数是反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 3.若函数是反比例函数，则  (    ) A. B. C. D. 4.已知反比例函数，当时，，那么等于(    ) A. B. C. D. 5.下列几对变量间具有反比例函数关系的是(    ) A. 正三角形的面积与其周长 B. 人的身高与年龄 C. 当三角形的面积一定时，一边与这边上的高 D. 矩形的长与宽 6.验光师测得一组关于近视眼镜的度数度与镜片焦距米的对应数据如下表．根据表中数据，可得关于的函数表达式为  (    ) 度 米 A. B. C. D. 7.下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是(    ) A. 正方形的面积与边长的关系 B. 正方形的周长与边长的关系 C. 长方形的长为，宽为，其面积与的关系 D. 长方形的面积为，长为，宽为，与的关系 8.与成反比例，当时，，则与的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 9.已知是的反比例函数，且当时，，那么，当时，的值为(    ) A. B. C. D. 10.当反比例函数的函数值为时，自变量的值为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.当           时，关于的函数是反比例函数． 12.已知函数是反比例函数，则的值为          ． 13.若函数是关于的反比例函数，则__________． 14.已知与成反比例，且当时，，则当时，的值为_________． 15.已知反比例函数的图象经过点，则的值为          ． 16.已知一个圆柱的体积是，则其底面积单位：关于高单位：的函数解析式为          ，自变量的取值范围是          ． 17.已知与成反比例，当时，，则当时，          ． 18.已知，与成正比例、与成反比例，且当时，，当时，，则当时，的值是          ． 19.某种灯的使用寿命是小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数表达式为          ． 20.在反比例函数中，比例系数的值为          ． 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.当取什么值时，函数是反比例函数？ 22.已知与成反比例，且当时，，求： 关于的函数解析式； 当时，求的值．  23.已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，求关于的函数解析式． 24.已知与成反比例，并且当时，． 写出关于的函数解析式； 当时，求的值； 当时，求的值． 25.已知与成反比例，且当时，． 求与之间的函数解析式； 当时，求的值． 26.我们中小学生每天都要做眼保健操，保护视力，预防近视．已知近视眼镜镜片的度数度与镜片焦距的调查数据如表： 眼镜片度数度 镜片焦距 求关于的函数解析式，它是什么函数？ 若近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距． 27.在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． 设菱形的两条对角线的长分别为，，求关于的函数解析式．这个函数是反比例函数吗？如果是，请指出比例系数； 若其中一个菱形的一条对角线长为，求这个菱形的边长． 28.在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． 设菱形的两条对角线的长分别为，，求关于的函数解析式．这个函数是反比例函数吗？如果是，请指出比例系数； 若其中一个菱形的一条对角线长为，求这个菱形的边长． 29.将油箱注满油后，轿车可行驶的总路程与平均耗油量之间满足反比例函数关系：是常数，已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为的速度行驶，可以行驶． 求关于的函数解析式； 当平均耗油量为时，油箱注满油后该轿车可以行驶多少千米？ 30.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，当时，． 求关于的函数解析式； 若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$