1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系 1.在空间直角坐标系Oxyz中,与点(-1,2,1)关于平面Ozx对称的点为(　　) A.(-1,-2,1)　　B.(-1,2,1)　C.(-1,-2,-1)　　D.(1,-2,-1) 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标为　　　　.  3.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为　　　　.  知识点二　空间向量运算的坐标表示 4.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为(　　) A.(1,-1,1)　　B.(-1,1,1)　　 C.(1,-1,2)　　D.(-1,1,2) 5.已知空间向量a=(3,4,0),b=(-3,1,4),则b在a上的投影向量的坐标是(　　) A.(-3,-4,0)　　B.　　 C.　　D.(3,-1,-4) 6.已知向量a=(3,-2,3),b=(-1,3,-2),c=(7,0,λ),若a,b,c共面,则λ=　　　　.  7.已知向量a=(2,-1,m),b=(1,4,1),且a⊥b.则: (1)|a+2b|=　　　　;  (2)向量a+2b与a-b夹角的余弦值为　　　　.  知识点三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 8.已知空间向量a=(3,2,1),b=(2,m,-3),若(a-b)⊥a,则实数m=(　　) A.4　　B.6　　C.　　D. 9.已知向量a=(-1,2,1),b=(-3,x,y),且a∥b,那么|b|=(　　) A.3　　B.6　　C.9　　D.18 10.已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 11.(多选题)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则(　　) A.|a-b|=6　　B.(a+3b)·(b+c)=7　　 C.(a+4b)⊥c　　D.a∥(b-c) 12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在BD上,且BE=BD,点F在CB1上,且CF=CB1.求证: (1)EF⊥BD; (2)EF⊥CB1. 13.已知空间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5). (1)若四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标; (2)若|a|=3,且a∥,求向量a; (3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内,求m的值. 知识点四　利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的相关问题 14.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A(2,-1,1),B(1,1,2),若点C与点B关于平面Ozx对称,则||=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 15.已知向量a=(1,x,1),b=(y,1,1),c=(-2,-2,z),且a⊥b,b∥c,则|a+b+c|=(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.16 16.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 17.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O为坐标原点,点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)若点E在直线AB上,且⊥b,求点E的坐标. 18.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,D1F1=C1D1. (1)求线段AM的长; (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 答案 1.A　在空间直角坐标系Oxyz中,与点(-1,2,1)关于平面Ozx对称的点为(-1,-2,1). 2.答案　(-4,3,2) 解析　因为的坐标为(4,3,2),所以A(4,0,0),C1(0,3,2),所以=(-4,3,2). 3.答案　 解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以M(0,1,1),N(1,1,0), 则线段MN的中点坐标为. 4.D　由题意可知,=(0,0,3),=(-1,1,-1), 设B(x,y,z),则=-,即(-1,1,-1)=(x,y,z-3),所以x=-1,y=1,z=2,故B(-1,1,2). 5.B　∵a=(3,4,0),b=(-3,1,4), ∴a·b=-9+4+0=-5,|a|==5,|b|==, ∴b在a上的投影向量的坐标是·=×(3,4,0)=. 6.答案　5 解析　因为a,b,c共面,所以存在实数x,y,使得c=xa+yb,即(7,0,λ)=x(3,-2,3)+y(-1,3,-2)=(3x-y,-2x+3y,3x-2y), 即解得 7.答案　(1)9　(2)- 解析　(1)因为a=(2,-1,m),b=(1,4,1),a⊥b, 所以a·b=2-4+m=0,解得m=2, 因此a=(2,-1,2), 则a+2b=(2,-1,2)+2(1,4,1)=(4,7,4), 所以|a+2b|==9. (2)由a=(2,-1,2),b=(1,4,1),可得a-b=(1,-5,1), 所以|a-b|==3, 又(a+2b)·(a-b)=4×1+7×(-5)+4×1=-27, 所以向量a+2b与a-b夹角的余弦值为=-. 8.D　因为a=(3,2,1),b=(2,m,-3), 所以a-b=(3,2,1)-(2,m,-3)=(1,2-m,4), 因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=3+4-2m+4=0,解得m=. 9.A　因为a∥b,且向量a=(-1,2,1),b=(-3,x,y),所以==,解得x=6,y=3, 因此|b|==3. 10.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).若OA⊥平面ABC,则OA⊥AB,OA⊥AC,即⊥,⊥, 即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=. 11.BD　对于A,a-b=(2,-1,-1),故|a-b|==,因此A错误; 对于B,a+3b=(-2,-1,3),b+c=(1,-3,2), 所以(a+3b)·(b+c)=-2+3+6=7,因此B正确; 对于C,a+4b=(-3,-1,4),所以(a+4b)·c=-6+3+4=1≠0,因此C错误; 对于D,b-c=(-3,3,0)=-3a,所以a∥(b-c),因此D正确. 12.证明　以D为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, 则D(0,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),B1(3,3,3),E(2,2,0),F(1,3,1), 则=(-3,-3,0),=(-1,1,1),=(3,0,3). (1)∵·=3-3=0,∴⊥,即EF⊥BD. (2)∵·=-3+3=0,∴⊥,即EF⊥CB1. 13.解析　(1)设D(x,y,z), 由四边形ABCD是平行四边形,可得=, 即(3,-3,-3)=(-1-x,-1-y,5-z), 所以x=-4,y=2,z=8,故点D的坐标为(-4,2,8). (2)易得=(1,-2,2),因为a∥,所以a=λ=(λ,-2λ,2λ),λ∈R, 又|a|=3,所以=3,解得λ=±1, 所以a=(1,-2,2)或a=(-1,2,-2). (3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC内,所以存在实数a,b使得=a+b, 又=(4,-2,m-3),=(3,-3,-3),=(1,-2,2),故(4,-2,m-3)=a(3,-3,-3)+b(1,-2,2), 所以解得 故m的值为-7. 14.A　由点C与点B(1,1,2)关于平面Ozx对称,可得C(1,-1,2), 又A(2,-1,1),故=(-1,0,1),所以||==. 15.B　因为向量a=(1,x,1),b=(y,1,1),c=(-2,-2,z),且a⊥b,b∥c, 所以 解得x=-2,y=1,z=-2, 则a=(1,-2,1),b=(1,1,1),c=(-2,-2,-2), 所以a+b+c=(0,-3,0),因此|a+b+c|=3. 16.A　∵A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4), ∴=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3), ∴||=3,||=,·=5, ∴cos<,>===, ∴直线AB和直线CD所成角的余弦值为. 17.解析　(1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1), ∴2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|==5. (2)若点E在直线AB上,则可设=t,t∈R, 则=+t=(-3+t,-1-t,4-2t), ∵⊥b,b=(-2,1,1), ∴·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,故点E的坐标为. 18.解析　(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),M,则=, 所以||==, 即线段AM的长为. (2)结合(1)中所建坐标系,可得B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1, 所以=-(1,1,0)=, =-(0,0,0)=, 所以||=,||=,·=0×0-×+1×1=, 所以cos<,>==. 所以BE1与DF1所成角的余弦值为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$