2026届高三数学一轮复习优生加练3：柯西不等式与权方和不等式

第3练　柯西不等式与权方和不等式 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (2)≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(a,b,c,d≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立). 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立). 4.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2, 当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 二、权方和不等式 1.二维形式：已知x,y,a,b∈R+,则有+≥(当且仅当x∶y=∶时,等号成立). 2.一般形式：设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),实数m>0,则≥当且仅当==…=时等号成立,称之为权方和不等式,m为该不等式的和,它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 一、单项选择题(每小题5分,共25分) 1.若++…+=1++…+=4,则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2024·白山模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下：设正数a,b,x,y满足+≥当且仅当=时等号成立.则函数f(x)=+的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 3.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值为(　　) A. B.4 C. D.5 4.“权方和不等式”具体内容为：设an>0,bn>0,n∈N*,m>0,则+++…+≥当且仅当===…=时,等号成立.根据权方和不等式,若x∈当+取得最小值时,x的值为(　　) A. B. C. D. 5.已知正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　) A.10 B.15 C.24 D. 27 二、多项选择题(共6分) 6.已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.若a2+b2=1,x2+y2=2,则ax+by的最大值为　　　　　　.  8.已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则++的最小值为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3练　柯西不等式与权方和不等式 (分值：41分) 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (2)≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(a,b,c,d≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立). 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立). 4.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2, 当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 二、权方和不等式 1.二维形式：已知x,y,a,b∈R+,则有+≥(当且仅当x∶y=∶时,等号成立). 2.一般形式：设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),实数m>0,则≥当且仅当==…=时等号成立,称之为权方和不等式,m为该不等式的和,它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 一、单项选择题(每小题5分,共25分) 1.若++…+=1++…+=4,则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(++…+)·(++…+)=4, ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤2,当且仅当ai=bi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 2.(2024·白山模拟)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下：设正数a,b,x,y满足+≥当且仅当=时等号成立.则函数f(x)=+的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 答案　D 解析　因为正数a,b,x,y满足+≥当且仅当=时等号成立, 又0<x<即1-3x>0,于是得f(x)=+≥=49, 当且仅当=即x=时,等号成立, 所以函数f(x)=+的最小值为49. 3.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值为(　　) A. B.4 C. D.5 答案　C 解析　由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21,当且仅当a=b=c=时,取等号,故++的最大值为. 4.“权方和不等式”具体内容为：设an>0,bn>0,n∈N*,m>0,则+++…+≥当且仅当===…=时,等号成立.根据权方和不等式,若x∈当+取得最小值时,x的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得,sin x>0,cos x>0, 则+=+≥==8, 当且仅当=即cos x=时等号成立,又x∈所以x=. 5.已知正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　) A.10 B.15 C.24 D. 27 答案　D 解析　设x=cos2α,y=sin2α,α∈ 由权方和不等式,可知+=+≥=27, 当且仅当=即x=y=时取等号, 所以+的最小值为27. 二、多项选择题(共6分) 6.已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 答案　ABD 解析　由柯西不等式(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2,得a2+b2≥当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确；利用分析法：要证2a-b>只需证明a-b>-1即可,即a>b-1.由于a>0,b>0,且a+b=1,所以a>0,-1<b-1<0,故B正确；利用基本不等式log2a+log2b=log2ab≤log2=-2,当且仅当a=b=时,等号成立,故C错误；由于a>0,b>0,且a+b=1,利用柯西不等式(a+b)(1+1)≥(+)2,所以+≤ 当且仅当a=b=时,等号成立,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.若a2+b2=1,x2+y2=2,则ax+by的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　 ∵(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=2,当且仅当ay=bx,即x=y=1,a=b=或x=y=-1,a=b=-时,等号成立, ∴ax+by≤. 8.已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则++的最小值为　　　　　　.  答案　9 解析　∵a+b+c=1, ∴++ =2 ≥=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$