18.2 平行四边形的判定 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4.已知：如图，AB∥CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：　          　（填一个即可），你判断的理由是：　                      　． 5.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　  　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 6.在四边形ABCD中，∠A和∠B互补，∠A＝∠C，那么四边形ABCD是平行四边形吗？试说明理由． 7.如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 2.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 3.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 4.如图所示，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个适当的条件　                            　，使四边形BEDF是平行四边形． 5.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 6.淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：四边形是__________四边形. (1)填空，补全已知和求证； (2)按淇淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________． 7.如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，和．证明四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 2.从①；②；③；④这四个条件中选取两个，使四边形成为平行四边形．下面条件不能说明四边形是平行四边形的是（    ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③ 3.下面各项不能判断是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 4.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 5.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 6.在四边形中，对角线与相交于点． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形； ④如果，，那么四边形是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 7.在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，点，点C，D的坐标分别为，，． (1)求点A的坐标； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 2.在四边形中，对角线与相交点O，，要使四边形是平行四边形，在下列条件中①；②；③；④，需要增加的条件是（    ） A.①或②或③或④ B.②或③ C.①或③或④ D.②或③或④ 3.如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 4.如图，在四边形中，厘米，则当        厘米时，四边形是平行四边形． 5.如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：        ，使四边形AECF是平行四边形． 6.如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 7.在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 五、平行四边形的个数问题 1.如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 3.如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有    个平行四边形. 5.如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有       个平行四边形． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 4.在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　     　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3． （1）BC＝　   　． （2）当AP＝　      　时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 6.如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝10 cm，AB＝6 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿CB方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动．若设运动时间为t s． （1）直接写出：AQ＝　   　cm，DQ＝　    　cm；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？ 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，M是的中点，且，则的面积为（    ） A.20 B.40 C.62 D.72 2.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（    ） A.5 B.10 C.15 D.20 3.如图，在平行四边形中，，，四个角的角平分线分别相交于点，，，，则四边形对角线的长为（    ） A. B. C. D. 4.如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为      ． 5.如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则线段的长等于           ． 6.如图，在平行四边形中，点E，F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为9，，，求平行四边形的周长． 7.已知：如图，E、F是对角线上的两点． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 2.如图，已知，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形为平行四边形；②∵四边形为平行四边形，∴，；③连接，交于点；④∵，∴，即．证明步骤正确的顺序是（    ） A. ①②③④ B. ③④②① C. ③②④① D. ④③②① 3.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 4.如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有            个． 5.如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论： ①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称． 其中正确的是           ． 6.如图，在中，E、F分别为延长线上的点，与交于点M，，．求证：． 7.如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固（参考答案） 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 3.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 4.已知：如图，AB∥CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：　          　（填一个即可），你判断的理由是：　                      　． 【答案】AD∥CB；两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】AD∥CB， 根据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 故答案为：AD∥CB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　  　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】∥ 【解析】当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠DAC＝∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：∥． 6.在四边形ABCD中，∠A和∠B互补，∠A＝∠C，那么四边形ABCD是平行四边形吗？试说明理由． 【答案】解：四边形ABCD是平行四边形， 理由：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 2.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 【答案】D 【解析】∵CE∥AB， ∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， , ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD， ∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 3.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 【答案】C 【解析】嘉嘉给出的条件是：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，嘉嘉可以； 琪琪给出的条件是：， ∴，， ∴四边形是平行四边形，琪琪也可以； 故选：C． 4.如图所示，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个适当的条件　                            　，使四边形BEDF是平行四边形． 【答案】AE＝CF或AF＝CE（答案不唯一） 【解析】添加：AE＝CF． 理由：连接BD，DE，BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故答案为：AE＝CF或AF＝CE（答案不唯一）． 5.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】3；5 【解析】∵AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴当AO＝3，BO＝5时，则AO＝CO＝3，BO＝DO＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：3，5． 6.淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：四边形是__________四边形. (1)填空，补全已知和求证； (2)按淇淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________． 【答案】（1）解：已知：如图，在四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 故答案为：，平行． （2）证明：在与中， ， ， ， ，同理， 四边形是平行四边形． （3）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的对角线互相平分，故答案为：平行四边形的对角线互相平分． 7.如图，中，，是的角平分线，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，和．证明四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵中，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A.， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A符合题意， B., ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D.， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2.从①；②；③；④这四个条件中选取两个，使四边形成为平行四边形．下面条件不能说明四边形是平行四边形的是（    ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】A.①②，即四边形满足，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B.③④，即四边形满足，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C.②④，即四边形满足，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D.②③，即四边形满足，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3.下面各项不能判断是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，，不可以判定四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C. 4.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】∵，， ∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意； ∵，， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意； ∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意； ∵，， ∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意； 故答案为：①④. 5.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①添加，条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故①可以； ②添加，；条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故②可以； ③添加，条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以； ④添加，条件， 则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故④可以； ⑤添加，条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故⑤可以； 故答案为：①②④⑤． 6.在四边形中，对角线与相交于点． ①如果，，那么四边形是平行四边形； ②如果，，那么四边形是平行四边形； ③如果，，那么四边形是平行四边形； ④如果，，那么四边形是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 【答案】解：（1）①如果，，那么四边形是平行四边形是真命题； ②如果，，那么四边形是平行四边形是真命题； ③如果，，那么四边形是平行四边形是假命题； ④如果，，那么四边形是平行四边形是假命题． （2）①， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ②， ， ， ， 四边形是平行四边形； ③如图1，当，时，则四边形不是平行四边形； ④如图2，当，时，则四边形不是平行四边形． 7.在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，点，点C，D的坐标分别为，，． (1)求点A的坐标； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）∵直线相交于x轴， ∴点A的纵坐标为0， ∴点A的横坐标：，即， ∴点A的坐标：． （2）把点代入中， 得到：， 即点B的纵坐标表示为， 又∵点C的纵坐标为，点D在x的正半轴上， ， 在四边形中， ， ， 由，得到， ， 即：平行且等于， ∴四边形是平行四边形． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形为平行四边形，故，，， A. 添加，则，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； B. 添加，则又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； C. 添加，则，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； D. 添加，无法证明四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件不能使四边形成为平行四边形； 故选：D． 2.在四边形中，对角线与相交点O，，要使四边形是平行四边形，在下列条件中①；②；③；④，需要增加的条件是（    ） A.①或②或③或④ B.②或③ C.①或③或④ D.②或③或④ 【答案】C 【解析】∵，添加①，能使四边形是平行四边形； ∵，添加②，不能使四边形是平行四边形； 添加③，∵， ∴，， ∴， ∴，能使四边形是平行四边形； 添加④，∵， ∴， ∴， ∴，能使四边形是平行四边形； 综上，添加①或③或④都使四边形是平行四边形； 故选：C. 3.如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定， 可添加的条件是：． 故选：B． 4.如图，在四边形中，厘米，则当        厘米时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【解析】当时，四边形是平行四边形，理由如下： ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 故答案为：6． 5.如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：        ，使四边形AECF是平行四边形． 【答案】或或． 【解析】使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证． 故答案为：或或． 6.如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）解：添加①，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加④，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加③不能得出四边形AECF为平行四边形． 故答案为：①或②或④（填一个即可）； （2）证明：如图， 添加①BE＝DF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AFCE时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， ∵AFCE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AFCE， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加④∠BAE＝∠DCF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形． 7.在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】解：补充条件②， ∵， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， 又∵OA=OC， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 条件① ③无法证明四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：②. 五、平行四边形的个数问题 1.如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， 又∵EG∥AB，FH∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：□ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个. 故选D． 2.如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个. A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 3.如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 4.如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有    个平行四边形. 【答案】3 【解析】∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点， ∴DF=BE，DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形， 图中四边形DHBG也是平行四边形， 故答案是：3. 5.如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有       个平行四边形． 【答案】3 【解析】依据已知条件，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA， 能够判断四边形ABCB′，C′BCA，ABA′C都是平行四边形． 所以有3个平行四边形． 故答案：3． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB， 如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l1的距离为1， ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A. 3 s B. 6 s C. 3 s或5 s D. 4 s或6 s 【答案】C 【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 2t6﹣t， 解得：t＝5， 当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t， 解得：t＝3， 故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 4.在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　     　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4 s或 s 【解析】①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝4﹣2t，解得t， ②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣4，解得t＝4， 综上所述，t＝4 s或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：4 s或s． 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3． （1）BC＝　   　． （2）当AP＝　      　时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）10 （2）4或12 【解析】（1）CE＝y＝2x﹣2，当y＝3时，则3＝2x﹣2， 解得x， ∴AP＝x，CQ＝2AP＝25， ∵此时Q为BC中点， ∴BC＝2CQ＝2×5＝10， 故答案为：10． （2）∵AD∥CB，点P在AD上，点E在CB上， ∴AP∥BE， ∴当AP＝BE时，以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 当点E在边BC上，则x＝10﹣（2x﹣2）， 解得x＝4， ∴AP＝4； 当点E在CB的延长线上，则x＝2x﹣2﹣10， 解得x＝12， ∴AP＝12， 故答案为：4或12． 6.如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时： ∵四边形ANDM为平行四边形， DM＝AN，DM∥AN ∵△ABC为等边三角形， △BMD和△NCD是等边三角形， ∴BM+CN＝CN+AN＝8， ∴2t+3t＝8， ∴t， 此时BD； 如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时： 同理△BND和△MCD是等边三角形， AM＝3t﹣8， AN＝2t﹣8， ∴AM+AN＝AC＝8， 3t﹣8+2t﹣8＝8， t， 此时BD． 如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时， 同理△BMN和△MCD是等边三角形， CM＝3t﹣16， AN＝2t﹣8， ∴ CM＝AN． 3t﹣16＝2t﹣8． t＝8＞7.5（不合题意，舍去）． 综上所述：运动了或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD或． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝10 cm，AB＝6 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿CB方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动．若设运动时间为t s． （1）直接写出：AQ＝　   　cm，DQ＝　    　cm；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？ 【答案】解：（1）∵AD＝8 cm，AQ＝t cm， ∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）cm， 故答案为：t，（8﹣t）． （2）∵AD∥BC，点Q、点P分别在AD、BC上， ∴DQ∥PC， 当DQ＝PC时，四边形PQDC是平行四边形， 当点Q与点D重合时，则t＝8； 当点P与点C重合时，则2t＝10， 解得t＝5， 当0＜t＜5时，由DQ＝PC得8﹣t＝10﹣2t， 解得t＝2； 当5＜t＜8时，由DQ＝PC得8﹣t＝2t﹣10， 解得t＝6， 综上所述，当t＝2或t＝6时，四边形PQDC为平行四边形． 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，M是的中点，且，则的面积为（    ） A.20 B.40 C.62 D.72 【答案】B 【解析】过点D作交的延长线于点F，如图， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在三角形中，∵， ∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴的面积的面积=. 故选：B. 2.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（    ） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】D 【解析】设点A到的距离为h， 则， ∴， ∵沿方向平移的距离是边长的两倍， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 故选：D． 3.如图，在平行四边形中，，，四个角的角平分线分别相交于点，，，，则四边形对角线的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，延长，交于点， ，平分， ， ， 又， ， 平分，平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又平分，平分， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 4.如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为      ． 【答案】10 【解析】过点作于，过点作垂直于的延长线于，如图所示： 根据题意知，≌≌， ，， ，， ，是等边三角形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 5.如图，在四边形中，，，，相交于点．若，则线段的长等于           ． 【答案】 【解析】，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 6.如图，在平行四边形中，点E，F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为9，，，求平行四边形的周长． 【答案】解：（1）∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为9，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴平行四边形的周长． 7.已知：如图，E、F是对角线上的两点． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【答案】解：（1）连接交于O， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形, ∴． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 【答案】A 【解析】甲方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， , ， ， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， , ， ， ， ，则， 在和中， , ， ， 在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ，， 在和中， , ， ， 平分；平分； ， 在和中， , ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 2.如图，已知，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形为平行四边形；②∵四边形为平行四边形，∴，；③连接，交于点；④∵，∴，即．证明步骤正确的顺序是（    ） A. ①②③④ B. ③④②① C. ③②④① D. ④③②① 【答案】C 【解析】连接，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， 证明步骤正确的顺序是③②④①， 故选：C． 3.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 4.如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有            个． 【答案】3 【解析】和都是等腰直角三角形，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ； ， ，即， ； 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； 综上与全等的三角形共有3个, 故答案为：3． 5.如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论： ①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称． 其中正确的是           ． 【答案】①②③④ 【解析】∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴, ∴四边形是平行四边形， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点，点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称，直线必经过点, ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④, 故答案为：①②③④. 6.如图，在中，E、F分别为延长线上的点，与交于点M，，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 7.如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$