2.2.2 一元二次不等式的求解 课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

追 本 源 溯 一元二次不等式的求解 3 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 一元二次不等式 ？ 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 ! 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 一元二次不等式 问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米? 则另一条边长为m 由题意得：，其中； 整理得： 只有一个未知数 最高次数为2次 设这个矩形的一条边长为m 【解析】 知识点1 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式： 或， （均为常数，） 如何求解一元二次不等式？ 或 两式异号 或 无解 或 更简洁的求解方式？ 问题2：如何求解不等式 【解析】 原不等式可化为： 因式分解 求一次不等式的解集： 观察一元一次函数的图象与一元一次方程的解，你发现了什么？ 方程的解 函数图像与轴交点横坐标 问题3：在初中阶段,学习过一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数,请回答下列问题： 画出一次函数的图象： 求一次方程的解： 不等式大于0的解集 函数图像在轴的上方 求解不等式 寻找方程的根，绘制函数图像 结合图像找到不等式的解集 问题3：在初中阶段,学习过一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数,请回答下列问题： 画出一次函数的图象： 求一次方程的解： 求一次不等式的解集： 方程的解 函数图像与轴交点横坐标 进一步观察一元一次不等式的解与一元一次函数的图象，还能发现了什么？ 三个“二次” 问题4：求解不等式 求解二次不等式 寻找二次方程的根，绘制二次函数图像 结合图像找到不等式的解集 绘制一元二次函数： 根据图像可得： 小于零，取中间 问题4：求解不等式 求解方程： 解得：或 【解析】 根据图像可得解集为 绘制二次函数的图像 问题5：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (1) 求解方程： 解得： 【解析】 绘制二次函数的图像 问题5：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (2) 求解方程： 此方程在实数上无解 【解析】 根据图像可得解集为 根据图像可得解集为 一元二次函数的开口方向影响不等式的解集，是否可以统一开口方向？ 绘制二次函数的图像 问题5：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (3) 求解方程： 解得：或 【解析】 最高次项系数小于零，二次函数开口向下 因式分解为： 绘制二次函数的图像 根据图像可得解集为 小于零，取中间 问题5：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (3) 不等式的左右两边同时乘以 得到不等式： 【解析】 方程 二次函数 不等式 不等式 两个不相等的实数根 知识点2 一元二次不等式的解法 两个相等的实数根 没有实数根 求解不等式或（均为常数，） 小于零，取中间 大于零，取两边 调正最高次项系数 判别式 方程有两个不相等的实数根 解得， 根据图像可得解集为 绘制二次函数的图像 大于零，取两边 调正最高次项系数 问题6：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (1) 原不等式等价于 【解析】 方程有两个相等的实数根 解得 根据图像可得解集为R 绘制二次函数的图像 注意取等 问题6：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (2) 【解析】 方程没有实数根 根据图像可得解集为 绘制二次函数的图像 同学们可以尝试总结一下求解一元二次不等式的一般方法和步骤吗？ 问题6：解下列关于的不等式 (1) (2) (3) (3) 原不等式等价于 【解析】 求 写 计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或). 求出对应的一元二次方程的根． 当二次项系数大于0时，还可以利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 问题7：解一元二次不等式的一般方法和步骤是什么呢？我们一起来总结看看. 化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 判 或 两式异号 或 无解 或 从解题过程中你能发现什么？ 问题8：求解关于的不等式： 【解析】 或 【解析】 问题8：求解关于的不等式： 两式异号 原不等式可化为： 不等式的解集为： 变式： 分母不为0 原不等式可化为： 问题8：求解关于的不等式： 【解析】 原不等式可化为： 不等式的解集为： 知识点3 分式不等式的解法 一般地，对于分式不等式我们可以做如下等价处理： 分母不为0 绘制对应二次函数 的图像 是方程的两根 由题可得，是方程的两根 由韦达定理可得：， 所以 所以. 例题1：已知关于的不等式的解集为 ，则求的值. 【解析】 【分析】 【分析】 最高次项系数含参数 若，该不等式为一次不等式 若，该不等式为二次不等式 变式1：已知关于的不等式的解集为 ，解关于的不等式. 若，二次函数开口方向向上 大于零，取两边 (1) 开口方向向下： (2) 是方程的两根 故不等式 又因为， 整理得，即 不等式的解集为 小于零，取中间 变式1：已知关于的不等式的解集为 ，解关于的不等式. 【解析】 (1) 开口方向向下： (2) 是方程的两根 由韦达定理可得：， 所以 故不等式，整理得 即, 不等式的解集为 变式2：已知关于的不等式的解集为 ，解关于的不等式. 【解析】 (1) 开口方向向下： (2) 是方程的两根 所以 因式分解 对和的大小展开讨论 例题2：已知关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围. 【分析】 不等式对应二次函数 可化为，即方程有两根. 【解析】 原不等式的解集为 若解集中恰好有两个整数， 例题2：已知关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围. 不等式可化为 【解析】 原不等式的解集为,不满足题意 原不等式的解集为 若解集中恰好有两个整数， 例题2：已知关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围. 不等式可化为 【解析】 原不等式的解集为 若解集中恰好有两个整数， 综上所述， 例题2：已知关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围. 原不等式的解集为 若解集中恰好有两个整数， 原不等式的解集为,不满足题意 不等式可化为 第一层级： 二次不等式，且可以因式分解 对两根与1的大小关系展开讨论 第二层级： 变式1：已知关于的不等式，讨论该不等式所有可能出现的解集. 对与0的大小关系展开讨论 【分析】 该不等式最高次项系数含参数 【解析】 不等式可化为, 原不等式的解集为 不等式可因式分解为, 原不等式的解集为 原不等式的解集为 大于零，取两边 变式1：已知关于的不等式，讨论该不等式所有可能出现的解集. 原不等式的解集为 【解析】 不等式可化为, 原不等式的解集为 不等式可因式分解为, 原不等式的解集为 小于零，取中间 此时显然, 变式1：已知关于的不等式，讨论该不等式所有可能出现的解集. 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集为 变式1：已知关于的不等式，讨论该不等式所有可能出现的解集. 【解析】 综上所述: 【解析】 由题可知，方程的判别式. 故的取值范围为. 例题3：已知关于的不等式的解集为求实数的取值范围. 【分析】 二次函数 的图像恒在轴上或轴上方 二次函数的一定有一部分在轴下方. 【解析】 由题可知，，则 故的取值范围为. 变式1：已知关于的一元二次不等式 的解集为,求实数的取值范围. 【分析】 二次函数的图像恒在轴上方 【解析】 综上，的取值范围为. 对最高次项系数进行讨论 解得； 当时，不等式恒成立 当时，二次函数 恒在轴下方或轴上 变式2：已知关于的不等式 的解集为,求实数的取值范围. 【分析】 将原不等式整理为： 的解集为R 的解集为R 的解集为R 方法总结 不等式恒成立的解法 的解集为R “二次”函数 “二次”不等式 知识小结 1 求解一元二次不等式 “二次”方程 知识小结 2 求解分式不等式 1 求解一元二次不等式 练习题： 1．解下列关于 的不等式.(1)；(2) . 2．对于给定的实数 ，讨论不等式 的解集. 3．命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围. 4．若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围. $$