22.1 比例线段(知识点、例题、课时作业）---2025-2026学年沪科版数学九年级上册

22.1 比例线段 一、主要知识点 知识点1 相似多边形与相似比 概念：形状相同的图形叫做相似图形，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比. 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形的大小不一定相同. 【例1】下列选项中，是相似图形的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：根据形状相同的图形称为相似图形逐项分析判断如下： A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． 故选：A． 【例2】下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是　 　 ． 【解答】解：①两个正三角形相似，正确． ②两个等腰直角三角形相似，正确． ③两个菱形相似，错误． ④两个矩形相似，错误． ⑤两个正方形相似，正确． 故答案为：①②⑤． 【例3】利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为　　 ． 【解答】解：因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8， 所以放大前后的两个三角形的周长比为6：8＝14：， 故答案为： 知识点2 线段的比和成比例线段 概念：（1）如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比。如果把表示成比值k,那么=k，或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比. （2）四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比例线段.那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项，d 叫做 a、b、c的第四比例项.特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项. 注意：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致，两条线段的比值是一个没有单位的正数。四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 【例4】下列给出的四条线段，是成比例线段的为（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．，，， D．1cm，3cm，4cm，7cm 【解答】解：A、2×3≠1×4，故A错误，不符合题意； B、2×3＝1×6，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、3×4≠1×7，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【例5】在比例尺是1：1000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是（　　） A．200平方米 B．500平方米 C．2000平方米 D．20000平方米 【解答】解：∵比例尺是1：1000，长方形的土地长5厘米，宽4厘米， ∴实际长为55000（厘米）＝50（米）， 宽为44000（厘米）＝40（米）， ∴实际面积为50×40＝2000（平方米）， 故选：C． 【例6】已知，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 知识点3 比例的性质 （1）基本性质：如果（a,b,c,d都不等于0），那么ab=cd. （2）合比性质：如果（a,b,c,d都不等于0），那么. （3）等比性质：如果（a,b,c,d都不等于0），那么. 【例7】如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵3a＝4b， ∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵3a＝4b， ∴，故此选项正确，符合题意； C、∵3a＝4b， ∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵3a＝4b， ∴，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【例8】已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．4 【解答】解：由条件可得． 故选：A． 【例9】已知正实数a，b，c，d，满足，则下列结论正确的个数为（　　） ①；②ad＝bc；③；④当a≥b时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵， ∴①，正确； ②ad＝bc，正确； ③，正确； ④当a≥b时，，正确； 故选：D． 知识点4 黄金分割的概念 概念：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.A B C 注意：一条线段有两个黄金分割点，黄金比：较长线段：原线段 = 【例10】如图，点P是AB上一点，且满足，则P点是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D．1.236 【解答】解：∵P点满足， 由，AB＝2得， 故选：A． 【例11】已知线段AB的长度为4，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　） A．或 B．或 C． D． 【解答】解：由条件可知当时，； 当时，； ∴； 故选：B． 【例12】如图，在△ABC中，∠A＝36°，点E是线段AB的黄金分割点（AE＞BE），若AB＝AC＝4cm，则BC的长为　 　 cm（结果保留根号）． 【解答】解：由题知， 因为AB＝AC，∠A＝36°， 所以△ABC是黄金三角形， 则． 因为AB＝4cm， 所以BC＝（）cm． 故答案为：（）． 知识点5 平行线分线段成比例与推论 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 【例13】如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm， ∴， ∴， 解得：DF＝27cm． ∴BF＝BD+DF＝72cm， ∴BF＝BD+DF＝72cm， 故选：C． 【例14】如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点F作FG∥BN交AC于点G， ∴， ∴EN＝GN， ∵DE∥BC， ∴． ∴EC＝3AE． ∵EF∥AB， ∴． ∵FG∥BN， ∴． ∴GC＝3NG． 设EN＝NG＝a，则GC＝3a， ∴EC＝EN+NG+GC＝5a ∴EC＝3AE＝5a． ∴． ∴． ∴． 故选：A． 【例15】如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F． （1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 　　 ； （2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 　 　 ； （3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 　 　 ； （4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 　 　 ，并证明． 【解答】解：（1）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴DG是△BCF的中位线， ∴DG∥EF， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：3， 故答案为：1：3； （2）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴DG∥EF， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：5， 故答案为：1：5； （3）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴DG∥EF， ∴， ∵AE：ED＝1：3， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：7， 故答案为：1：7； （4）AF：AC＝1：（2n+1）． 理由：取CF中点G，连接DG，则FG＝CG， ∵AD为BC边上的中线， ∴DG∥EF， ∴， ∵AE：ED＝1：n， ∴， 又FG＝CG， ∴， 即AF：AC＝1：（2n+1）， 故答案为：1：（2n+1）． 二、课时检测 1.下列图形不一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个圆 C．两个等腰直角三角形 D．两个正方形 【解答】解：两个圆，两个等腰直角三角形，两个正方形一定相似，两个菱形不一定相似． 故选：A． 2.下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A．4，8，3，6 B．3，4，5，6 C．2，1，3，4 D．9，5，6，2 【解答】解：根据比例线段的性质逐项分析判断如下： A．∵4：8＝3：6， ∴4，8，3，6是成比例线段，符合题意； B．3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意； C．2，1，3，4不是成比例线段，不符合题意； D．∵9：5≠6：2， ∴9，5，6，2不是成比例线段，不符合题意． 故选：A． 3.已知a，c，b，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．16cm 【解答】解：已知a，c，b，d是成比例线段， ∴， ∴， 解得d＝4cm， 故选：B． 4.已知线段a＝4，b＝6，则线段a，b的比例中项为（　　） A． B． C．或 D． 【解答】解：设线段a，b的比例中项为x， ∵a＝4，b＝6， ∴x2＝4×6＝24， ∴． ∵a、b为线段， ∴线段a，b的比例中项为正值， ∴． 故选：B． 5.如果x，y都不为零，且4x＝5y，那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：等式两边同时除20，得， 故选：B． 6.若，则的值是（　　） A．4 B．5 C． D． 【解答】解：设x＝3k，y＝7k，z＝5k， ∴， 故选：B． 7.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB，已知AB为2米，则线段BE的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【解答】解：设BE＝x米，则AE＝（2﹣x）米， ∵AB＝2米， ∴x2＝2（2﹣x）， 即x2+2x﹣4＝0， 解得：，（舍去）， ∴线段BE的长为米． 故选：B． 8.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则CE的长为（　　） A． B．12 C．10 D．20 【解答】解：由平行线分线段成比例可得：， ∴， ∴， 故选：A． 9.如图所示，在△ABC中，点E是BC上的一点，BE＝2CE，F是AE上的中点，则DF：BF的值（　　） A．1：4 B．2：5 C．1：5 D．3：5 【解答】解：由题意可得：AF＝EF， 过点F作FG∥AC交BC于点G， ∴， ∴EC＝2EG＝2CG， ∴BE＝2EC＝4EG＝4CG， ∴BG＝5CG， ∵FG∥AC， ∴， 故选：C． 10.下列各组图形中，是全等图形的是 　 　 ，是相似图形的是 　 　 ．（填序号） 【解答】解：全等图形：②．相似图形有：②④⑤． 故答案为：②，②④⑤． 11.已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝5cm，c＝2cm，则d＝　　 cm． 【解答】解：∵a，b，c，d四条线段成比例， ∴， ∴， 故答案为：． 12.若实数a，b，c满足，则m＝ 　 　 ． 【解答】解：根据题意， ∵， 当a+b+c≠0时，利用等比性质，得， ∴m＝2； 当a+b+c＝0时，有a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b， ∴，，， ∴m＝﹣1． 故答案为：2或﹣1． 13.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为　 　 ． 【解答】解：过点D作DH∥AE交BC于H， ∴，， ∵D是AC的中点，BF：FD＝4：1，BC＝10， ∴CD＝DA，BF＝4FD， ∴1，4， ∴CH＝HE，BE＝4EH， ∴BE＝2CE， ∴10＝BC＝BE+CE＝2CE+CE， ∴CE， 即CE的长为． 故选：． 14.已知：，若a﹣c+2e﹣3g≠0，求　 　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∵a﹣c+2e﹣3g≠0， ∴． 故答案为：． 15.已知，且a﹣b+c＝10，则a+b﹣c的值为　 　 ． 【解答】解：由等比性质，得 2， 2， 由等式的性质，得 a+b﹣c＝2×3＝6． 故答案为：6． 16.如图，DE∥BC，AB＝15，AC＝9，BD＝4，求AE的长． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 又AB＝15，AC＝9，BD＝4， 即， 解得AE． 17.如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，DF＝16，求EF的长． 【解答】解：由条件可知， ∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DF＝16， ∴， ∴EF＝10． 18.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，点C就是线段AB的黄金分割点．若AB＝2，求BC。 【解答】解：由题知， ∵AB＝2，BD， ∴BD＝1． 又∵BD⊥AB， ∴AD． 又∵DE＝BD＝1， ∴AE， 则AC＝AE， ∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（）＝3． 19.如图，在△ABC中，延长CB至点D，使BD＝BC，在AC上取一点F，连接DF交AB于点E，过F点作FH∥AB交CD于点H，已知AC＝DE＝3，EF＝2． （1）DB：DH＝　 　 ； （2）求AF的长． 【解答】解：（1）因为DE＝3，EF＝2， 所以DE：EF＝3：2． 又因为FH∥AB， 所以DB：BH＝DE：EF＝3：2， 所以DB：DH＝3：5． 故答案为：3：5； （2）因为BD＝BC，DB：BH＝3：2， 所以BC：BH＝3：2， 因为FH∥AB， 所以AC：AF＝BC：BH＝3：2， 又因为AC＝3， 所以AF＝2． 20.阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 　　 ． 【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴； （2）解：如图3，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴BD＝3， ∴， ∴△ABD的周长． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 比例线段 一、主要知识点 知识点1 相似多边形与相似比 概念：形状相同的图形叫做相似图形，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比. 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形的大小不一定相同. 【例1】下列选项中，是相似图形的是（　　） A．B．C．D． 【例2】下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是　 　 ． 【例3】利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为　　 ． 知识点2 线段的比和成比例线段 概念：（1）如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比。如果把表示成比值k,那么=k，或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比. （2）四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比例线段.那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项，d 叫做 a、b、c的第四比例项.特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项. 注意：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致，两条线段的比值是一个没有单位的正数。四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 【例4】下列给出的四条线段，是成比例线段的为（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm C．，，， D．1cm，3cm，4cm，7cm 【例5】在比例尺是1：1000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是（　　） A．200平方米 B．500平方米 C．2000平方米 D．20000平方米 【例6】已知，则　　 ． 知识点3 比例的性质 （1）基本性质：如果（a,b,c,d都不等于0），那么ab=cd. （2）合比性质：如果（a,b,c,d都不等于0），那么. （3）等比性质：如果（a,b,c,d都不等于0），那么. 【例7】如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例8】已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．4 【例9】已知正实数a，b，c，d，满足，则下列结论正确的个数为（　　） ①；②ad＝bc；③；④当a≥b时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点4 黄金分割的概念 概念：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.A B C 注意：一条线段有两个黄金分割点，黄金比：较长线段：原线段 = 【例10】如图，点P是AB上一点，且满足，则P点是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则AP的长为（　　） A． B． C． D．1.236 【例11】已知线段AB的长度为4，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（　　） A．或 B．或 C． D． 【例12】如图，在△ABC中，∠A＝36°，点E是线段AB的黄金分割点（AE＞BE），若AB＝AC＝4cm，则BC的长为　 　 cm（结果保留根号）． 知识点5 平行线分线段成比例与推论 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 【例13】如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【例14】如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则的值是（　　） A． B． C． D． 【例15】如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F． （1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 　　 ； （2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 　 　 ； （3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 　 　 ； （4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 　 　 ，并证明． 二、课时检测 1.下列图形不一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个圆 C．两个等腰直角三角形 D．两个正方形 2.下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A．4，8，3，6 B．3，4，5，6 C．2，1，3，4 D．9，5，6，2 3.已知a，c，b，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．16cm 4.已知线段a＝4，b＝6，则线段a，b的比例中项为（　　） A． B． C．或 D． 5.如果x，y都不为零，且4x＝5y，那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6.若，则的值是（　　） A．4 B．5 C． D． 7.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB，已知AB为2米，则线段BE的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则CE的长为（　　） A． B．12 C．10 D．20 9.如图所示，在△ABC中，点E是BC上的一点，BE＝2CE，F是AE上的中点，则DF：BF的值（　　） A．1：4 B．2：5 C．1：5 D．3：5 10.下列各组图形中，是全等图形的是 　 　 ，是相似图形的是 　 　 ．（填序号） 11.已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝5cm，c＝2cm，则d＝　　 cm． 12.若实数a，b，c满足，则m＝ 　 　 ． 13.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为　 　 ． 14.已知：，若a﹣c+2e﹣3g≠0，求　 　 ． 15.已知，且a﹣b+c＝10，则a+b﹣c的值为　 　 ． 16.如图，DE∥BC，AB＝15，AC＝9，BD＝4，求AE的长． 17.如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，DF＝16，求EF的长． 18.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，点C就是线段AB的黄金分割点．若AB＝2，求BC。 19.如图，在△ABC中，延长CB至点D，使BD＝BC，在AC上取一点F，连接DF交AB于点E，过F点作FH∥AB交CD于点H，已知AC＝DE＝3，EF＝2． （1）DB：DH＝　 　 ； （2）求AF的长． 20.阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$