10.2 二项式定理-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

10．2　二项式定理 课标要求 考情分析 1．理解二项式定理、掌握二项式系数的性质． 2．会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． ◎考点考法：高考命题常以选择题、填空题的形式考查应用二项式定理求特定项(系数)、与二项式系数的性质及二项展开式有关的简单问题，试题难度中档． ◎核心素养：逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P247] 1．若二项展开式的通项为Tk＋1＝g(k)·xh(k)(k＝0，1，2，…，n)，g(k)≠0，则有以下常见结论： (1)h(k)＝0⇔Tk＋1是常数项． (2)h(k)是非负整数⇔Tk＋1是整式项． (3)h(k)是负整数⇔Tk＋1是分式项． (4)h(k)是整数⇔Tk＋1是有理项． 2．常用公式 (1)C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1. 1．(1＋x)10的展开式中x2的系数为(　　) A．1 B．10 C．45 D．120 解析　(1＋x)10的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cxk，令k＝2得x2的系数为C＝45，故选C. 答案　C 2．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析　方法一(赋值法)　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B. 方法二(通项公式法)　二项式(2x－1)4的通项为Tk＋1＝C(2x)4-k(－1)k，分别令k＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B. 答案　B 3．在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　) A．－32 B．－1 C．1 D．32 解析　∵二项式系数的和是32，则2n＝32，∴n＝5，令x＝1，则展开式中各项系数的和为(－1)5＝－1，故选B. 答案　B 4．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．31 B．32 C．15 D．16 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243， 即3n＝35，所以n＝5， 所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31. 答案　A 5．的展开式中常数项为________．(用数字作答) 解析　根据通项公式Tk＋1＝C(－)k＝(－1)kCx，令＝0， 解得k＝6，所以T7＝(－1)6C＝84. 答案　84 [对应学生用书P248] 考点一　展开式中的通项问题　多维探究　发散思维 角度1　(a＋b)n(n∈N*)型 (1)二项式的展开式的常数项是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)在6的展开式中，x2项的系数是________． [解析]　(1)二项式＝展开式的通项为C××＝×C×x－k，令－k＝0得k＝2，所以常数项为×C＝×＝7.故选D. (2)展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x3)6-kk＝(－1)k×26-k×C×x18-4k， 令18－4k＝2，可得k＝4，则x2项的系数为(－1)4×26-4×C＝4×15＝60. 故答案为60. [答案]　(1)D　(2)60 求(a＋b)n(n∈N*)型展开式中特定项问题的步骤 角度2　(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)型 (1)(2025·济南模拟)(1－x)6展开式中x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．15 D．35 (2)在(x－1)2(1＋x)6的展开式中，x4的系数是(　　) A．20 B．－20 C．10 D．－10 [解析]　(1)若要产生x2这一项，当在中取1时，再在(1－x)6中取2个(－x)、取4个1， 当在中取时，再在(1－x)6中取3个(－x)、取3个1， 所以(1－x)6展开式中x2的系数为1·C16-2(－1)2＋1·C16-3(－1)3＝15－20＝－5. 故选A． (2)因为(x－1)2(1＋x)6＝x2(1＋x)6－2x(1＋x)6＋(1＋x)6，展开式中含x4的项是x2Cx2×14－2xCx3×13＋Cx4×12， 则展开式中x4的系数是C－2C＋C＝15－2×20＋15＝－10.故选D. [答案]　(1)A　(2)D 求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法 角度3　(a＋b＋c)n(n∈N*)型 (x＞0)的展开式中的常数项为________． [解析]　(x＞0)可化为，因而Tk＋1＝C··()10-2k，令10－2k＝0，解得k＝5，故展开式中的常数项为C·＝. [答案]　 求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法 1．已知二项式7的展开式中x2的系数是280，则实数a的值等于(　　) A．1 B．2 C．±1 D．±2 解析　由二项式7展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x2)7-kk＝27-k·(－a)k·Cx14-3k， 令14－3k＝2，解得k＝4，所以23·(－a)4·C＝280，解得a＝±1.故选C. 答案　C 2．在(x＋3)的展开式中，常数项为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　原式＝x＋3①， 而的通项为Tk＋1＝Cx6-2k，当6－2k＝－1时，k＝∉Z，故①式中的前一项不会出现常数项．当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项的常数项乘以3即为所求，此时原式常数项为3C＝－.故选A． 答案　A 3．的展开式中，x3y3的系数是________(用数字作答). 解析　表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120. 答案　－120 考点二　二项式系数的和与各项系数的和问题　多维探究　发散思维 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A．二项式系数和为32 B．各项系数和为128 C．常数项为－135 D．常数项为135 (2)已知(x＋1)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a1＋a2＋…＋a10＝________． [解析]　(1)令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2n＋2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确； 的展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)6-k·＝36-k·(－1)kCx，令6－＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为32×(－1)4C＝135，故C不正确，D正确．故选D. (2)当x＝0时，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝110＝1①， 当x＝1时，得a0＝1024， 所以a1＋a2＋…＋a10＝－1023. [答案]　(1)D　(2)－1023 1．(变结论)本例(2)条件不变，则a0＋a2＋a4＋…＋a10＝________． 解析　当x＝2时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝310②， 由①②可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 答案　 2．(变结论)本例(2)条件不变，则a0＋＋＋…＋＝________． 解析　令x＝，则＝a0＋a1＋a2＋…＋a10， 所以＝a0＋a1·＋a2·＋…＋a10·，则a0＋＋＋…＋＝. 答案　 3．(变结论)本例(2)条件不变，则a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________． 解析　对(x＋1)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10两边求导可得： 10(x＋1)9＝－a1－2a2(1－x)－3a3(1－x)2－…－10a10(1－x)9， 当x＝0时，－a1－2a2－3a3－…－10a10＝10， 即a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝－10. 答案　－10 赋值法的应用 求展开式中各项系数的和，在使用赋值法时，令a，b等于多少，应视具体情况而定，一般取1，－1或0，有时也取其他值．如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 1．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　) A．50 B．70 C．90 D．120 解析　令x＝1，则＝4n，所以在的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.展开式的通项为Tk＋1＝Cx5-k·＝C3kx，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为C32＝90. 答案　C 2．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　) A．1 B．243 C．121 D．122 解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即a4＋a2＋a0＝－121. ①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244， 即a5＋a3＋a1＝122. 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝121＋122＝243. 答案　B 3．设(＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________． 解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10， 令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10， 故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1. 答案　1 考点三　二项式系数、项的系数的最值　重难考点　师生共研 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则 (1)的二项式系数最大的项为________； (2)的展开式系数最大的项为________． [解析]　由题意知，22n－2n＝992， 即(2n－32)(2n＋31)＝0， ∴2n＝32(负值舍去)，解得n＝5. (1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252. ∴T6＝C(2x)5＝C25＝8064. (2)设第k＋1项的系数最大． ∵Tk＋1＝C(2x)10-k＝C210-kx10-2k， ∴ 得即 解得≤k≤. ∵k∈N，∴k＝3. 故系数最大的项是第4项，第4项为 T4＝C27x4＝15 360x4. [答案]　(1)8064　(2)15 360x4 1．二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 2．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k即可． (多选)下列关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 解析　由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2048，故A正确； 因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误； 因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确． 答案　ACD 学科网（北京）股份有限公司 $$