第2讲 等差数列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第六章　数列 第2讲　等差数列 ⁠ 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 3.了解等差数列与一次函数的关系. ⁠ [对应学生用书P114] 1.等差数列的概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于⁠⁠　同一个常数　⁠，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：－an＝d（n∈N*，d为常数）. 同一个 常数　 （2）等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时⁠⁠　A　⁠叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝⁠⁠　a＋b　⁠. A　 a＋b 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 （1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝⁠⁠　a1＋（n－1）d　⁠. （2）前n项和公式：Sn＝⁠⁠　na1＋　⁠＝⁠⁠　　⁠. a1＋（n－1）d　 na1＋　 　 3.等差数列的性质 （1）通项公式的推广：an＝am＋⁠⁠　（n－m）d　⁠（n，m∈N*）. （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则⁠⁠　ak＋al＝am＋an　⁠. （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，，，…（k，m∈N*）是公差为⁠⁠　md　⁠的等差数列. （4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. （5）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. （n－m）d　 ak＋al＝am＋ an　 md　 ⁠⁠ 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，A≠0）. ｜思考辨析｜ 答案　(1) √ 答案　(2) √ 答案　(3) × 答案　(4) √ 3.（人A选择性必修第二册P21例6改编）记Sn为等差数列的前n项和.若a1＝ －2，a2＋a6＝2，则S9＝ （　　） A.－54 B.－18 C.18 D.36 解析　设公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝－4＋6d＝2，解得d＝1， 所以an＝n－3，所以S9＝＝＝18. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（求等差数列和最值漏解）已知数列中，前n项和Sn＝n2－15n，则Sn的最小值是 （　　） A.－14 B.－ C.－56 D.－112 解析　Sn＝n2－15n＝－，因为n∈N＋，二次项系数为正数， 所以n＝7或n＝8时，Sn取最小值为72－15×7＝－56，故选C. 答案　C 5.（忽视相邻项的符号致误）首项为30的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意知a1＝30，a8＜0，a7≥0.即解得－5≤d＜－. 答案　 [对应学生用书P115] 4.（2023·江西南昌·二模）已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝S5，a3＝－1，则an＝ 　　　　⁠.  解析　设等差数列的公差为d，由S2＝S5，a3＝－1， 所以 解得所以an＝a1＋（n－1）d＝n－4. 答案　n－4 ⁠ 等差数列的基本运算的解题策略 （1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想. （2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法. 考点2　等差数列的判定与证明（师生共研） ⁠ 1.证明数列是等差数列的主要方法： （1）定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－为同一常数.作差法，将关于和an的关系式代入an－，再化简得到定值. （2）等差中项法：验证2＝an＋（n≥3，n∈N*）都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论： （1）通项公式：an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列. （2）前n项和公式：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，A≠0）⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 考点3　等差数列的性质及应用（多维探究） 角度1　等差数列项的性质 [例2]　（1）在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2（··…·）＝（　　） A.10 B.20 C.40 D.2＋log25 解析　由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则··…·＝＝＝25×4，所以log2（··…·）＝log225×4＝20. 答案　B （2）（2023·江西萍乡·二模）已知函数f＝，等差数列满足a2 022＝0，则f＋f＋f（a3）＋…＋f＝ 　　　　⁠.  解析　f＋f＝＋＝＋＝1. 依题意是等差数列，a1＋a4 043＝a2＋a4 042＝…＝2a2 022＝0，所以a1＝－a4 043，a2＝－a4 042，… 令S＝f＋f＋f（a3）＋…＋f， S＝f＋f＋f（a4 041）＋…＋f， 结合等差数列的性质，两式相加得2S＝1×4 043，S＝. 答案　 ⁠ （1）项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq. （2）要仔细观察各项的下标，确定其关系，应用性质解决问题. ⁠ 和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 （1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋）； （2）S2n－1＝（2n－1）an. （3）依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. ⁠ 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； （2）利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 变式训练 1.已知等差数列的前n项和为Sn，S6＝－5S3≠0，则＝ （　　） A.18 B.13 C.－13 D.－18 解析　由S6＝－5S3，可设S6＝－5a，S3＝a， ∵为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6为等差数列， 即a，－6a，S9－S6成等差数列，∴S9－S6＝－13a，即S9＝－18a，∴＝－18. 答案　D 2.已知等差数列{an}满足＝－2，则下列结论一定成立的是 （　　） A.＝－1 B.＝－1 C.＝－1 D.＝－1 解析　由＝－2得a5≠0，2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0.因为a5≠0，a6＝0，所以a3≠0，＝－1. 答案　C 3.已知函数f（x），对任意实数m，n都有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－35，已知f（1）＝31，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（n）（n∈N*）的最大值等于 （　　） A.133 B.135 C.136 D.138 解析　因为对任意实数m，n都有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－35， 所以f（n＋1）＝f（n）＋f（1）－35＝f（n）－4，所以f（n＋1）－f（n）＝－4， 故{f（n）}是以31为首项，以－4为公差的等差数列， 所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（n）＝31n ＋×（－4）＝－2n2＋33n， 对称轴为n＝.因为n∈N*， 所以n＝8时，f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（n）取得最大值为136. 答案　C 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数． (　　) (4)若数列{an}是等差数列，则数列{an－a1}也是等差数列． (　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A选择性必修第二册P15例2改编)等差数列－5，－9，－13，…的第100项是(　　) A．－393 B．－397 C．－401 D．－405 解析　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，所以a100＝－4×100－1＝－401. 答案　C 1．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 解析　方法一：设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D. 方法二：因为{an}为等差数列，所以S9＝＝9a5＝1，得a5＝，则a3＋a7＝2a5＝，故选D. 答案　D 考点1 等差数列基本量的运算(题组通关) 2.(2023·广东湛江·统考二模)一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列{an}，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是(　　) A.第3层的塔数为3 B.第4层与第5层的塔数相等 C.第6层的塔数为9 D.等差数列{an}的公差为2 解析　设等差数列{an}的公差为d， 若d＝1，则这10层的塔数之和为10×1＋＝55， 则最多有55＋10＋10＝75座塔，不符合题意； 若d≥3，则这10层的塔数之和不少于10×1＋×3>108，不符合题意； 所以d＝2，这10层的塔数之和为10×1＋×2＝100， 塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 依题意剩下2层的塔数为3与5， 所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19，因此A，B，D正确，C错误. 答案　C 3．(2024·新课标全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 解析　方法一：(基本量法)　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 方法二：(利用下标和性质)　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 答案　95 [例1]　已知在数列{an}中，a1＝1，(an＋1－1)·(an＋3)＝－4.证明：数列为等差数列，并求出数列{an}的通项公式． 解　证明：由(an＋1－1)(an＋3)＝－4， 可得an＋1－1＝， 则an＋1＋1＝＋2＝， 所以＝＝＋， 即－＝. 又因为a1＝1，可得＝， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 即＝＋(n－1)·＝， 所以an＝. 变式训练 已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*. (1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝ b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列； (2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式． 解　(1)证明：由题意得b＝anan＋1， 则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1， cn＋1＝b－b＝an＋2an＋3－an＋1an＋2＝2dan＋2， 因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)， 所以数列{cn}是等差数列． (2)由题意得，当n＝1时，a＝S＝a， 因为a1>0，所以a1＝1. a＋a＋a＋…＋a＝S ①， 当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S②， ①－②，得a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1). 因为an>0，所以a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an③. 因为a1＝1也符合上式， 所以当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1④， ③－④，得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1. 又an＋an－1>0，所以an－an－1＝1. 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an＝n. 角度2　等差数列和的性质 [例3]　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A. B. C. D. 解析　由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列. ∵＝，即S6＝3S3，(S6－S3)－S3＝S3， ∴S9－S6＝3S3，S12－S9＝4S3， ∴S9＝6S3，S12＝10S3， ∴＝＝. 答案　A (2)(2023·广西玉林·统考三模)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 解析　因为{an}，{bn}是等差数列，且＝， 所以可设Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝kn(2n＋1)，k≠0. 又当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝k(6n－1)，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)， 所以＝＝.故选C. 答案　C 角度3　等差数列和的最值 [例4]　(多选)(2023·广东梅州·统考一模)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是(　　) A.若d<0，则S1是数列{Sn}的最大项 B.若数列{Sn}有最小项，则d>0 C.若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*，均有Sn<0 D.若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列 解析　对于A，取数列{an}为首项为4，公差为－2的等差数列，则S1＝4<S2＝6，故A错误； 对于B，等差数列{an}中，公差d≠0，Sn＝na1＋d＝n2＋n，Sn是关于n的二次函数.当数列{Sn}有最小项，即Sn有最小值，Sn对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，d>0，B正确； 对于C，取数列{an}为首项为1，公差为－2的等差数列，则Sn＝－n2＋2n，Sn＋1－Sn＝－(n＋1)2＋2(n＋1)－(－n2＋2n)＝－2n＋1<0，即Sn＋1<Sn恒成立，此时数列{Sn}是递减数列，而S1＝1>0，故C错误； 对于D，若数列{Sn}是递减数列，则an＝Sn－Sn－1<0(n≥2)，一定存在实数k，当n>k时，之后所有项都为负数，不能保证对任意n∈N*，均有Sn>0.故若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列，故D正确. 答案　BD $$