导学培优1 集合的新定义问题-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P3] 一、集合的新定义问题 所谓集合“新定义”问题，是指在现有集合的定义，以及相关概念、运算法则的基础上，定义一种新运算、新性质、新元素等． 二、解决集合新定义问题的着手点 1．正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识． 2．合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键． 3．对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明． 类型一　集合的“新概念” (多选)大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B.即A×B＝{(x，y)|x∈A且y∈B}．关于任意非空集合M，N，T，下列说法错误的是(　　) A．M×N＝N×M B．(M×N)×T＝M×(N×T) C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T) D．M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T) [解析]　对于A，若M＝{1}，N＝{1，2}，则M×N＝{(1，1)，(1，2) }，N×M＝{(1，1)，(2，1) }，M×N≠N×M，A错误；对于B，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×N＝{(1，2) }，(M×N)×T＝{((1，2)，3) }，而M×(N×T)＝{(1，(2，3))}，(M×N)×T≠M×(N×T)，B错误；对于C，若M＝{1)，N＝{2}，T＝{3}，则M×(N∪T)＝{(1，2)，(1，3) }， M×N＝{(1，2) }，M×T＝{(1，3) }，M×(N∪T)＝(M×N)∪(M×T)，C错误；对于D，任取元素(x，y)∈M×(N∩T)，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且y∈T， 于是(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，即(x，y)∈(M×N)∩(M×T). 反之，若任取元素(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，则(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T， 因此x∈M，y∈N且y∈T， 即x∈M且y∈N∩T， 所以(x，y)∈M×(N∩T)，即M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)，D正确． 故选ABC. [答案]　ABC 1．已知集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P－Q的所有真子集的个数为(　　) A．32 B．31 C．30 D．29 解析　集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}， 则P－Q＝{1，2，3，4，5}，元素个数为5， 故集合P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B. 答案　B 2．定义集合A⊙B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，若A＝{n，－1}，B＝{，1}，且集合A⊙B有3个元素，则由实数n所有取值组成的集合的非空真子集的个数为(　　) A．2 B．6 C．14 D．15 解析　因为A⊙B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，A＝{n，－1}，B＝{，1}， 所以x＝，，，， 又集合A⊙B有3个元素， 当＝，即n＝0时，A⊙B＝{，，1}，满足题意； 当＝，即n＝1(n＝－1舍去)时，A⊙B＝{，}，不符合题意； 当＝，即n＝±时，A⊙B＝{，，2}，满足题意； 当＝，即n＝1(n＝－1舍去)时，A⊙B＝{，}，不符合题意． 综上，n∈{0，，－}，故所构成集合的非空真子集的个数为23－2＝6.故选B. 答案　B 类型二　集合的“新运算” 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}．若集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则∁A*BB＝(　　) A．{0} B．{0，4} C．{3，4，6} D．{0，4，6} [解析]　因为A∩B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}，所以A*B＝{0，1，2，3，4，6}，∁A*BB＝{3，4，6}． 故选C. [答案]　C 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义集合A，B间的运算A－B＝{x|x∈A，x∉B}，则集合A－(A－B)＝(　　) A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，4} D．{2} 解析　因为集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}， 所以A－B＝{1，3}，所以A－(A－B)＝{2}． 故选D. 答案　D 类型三　集合的“新性质” 若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i<j≤n)，aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则(　　) A．{1，3，4}为“权集” B．{1，2，3，6}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 [解析]　因为3×4与均不属于数集{1，3，4}，所以A错误； 因为1×2，1×3，1×6，2×3，，都属于数集{1，2，3，6}，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知{2，3，6}是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误．故选B. [答案]　B (多选)设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A具有性质P.下列命题为真命题的是(　　) A．若A具有性质P，则A可以是有限集 B．若A1，A2具有性质P，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2具有性质P C．若A1，A2具有性质P，则A1∪A2具有性质P D．若A具有性质P，且A≠R，则∁RA不具有性质P 解析　对于A，取集合A＝{0，1}具有性质P，故A可以是有限集，故A正确；对于B，取x，y∈A1∩A2，则x∈A1，x∈A2，y∈A1，y∈A2，又A1，A2具有性质P，∴x＋y∈A1，xy∈A1，x＋y∈A2，xy∈A2，∴x＋y∈A1∩A2，xy∈A1∩A2，所以A1∩A2具有性质P，故B正确；对于C，取A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，2∈A1，3∈A2，但2＋3∉A1∪A2，故C错误；对于D，若A具有性质P，且A≠R，假设∁RA也具有性质P， 设0∈A，在∁RA中任取一个x，x≠0，此时可证得－x∈A，否则若－x∈∁RA，由于∁RA也具有性质P，则x＋(－x)＝0∈∁RA，与0∈A矛盾，故－x∈A， 由于A具有性质P，∁RA也具有性质P， 所以(－x)2∈A，x2∈∁RA， 而(－x)2＝x2，这与A∩∁RA＝∅矛盾， 故当0∈A且A具有性质P时，则∁RA不具有性质P， 同理当0∈∁RA时，也可以类似推出矛盾，故D正确． 答案　ABD 学科网（北京）股份有限公司 $$