3.3 导数与函数的极值、最值-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

3．3　导数与函数的极值、最值 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． ◎考点考法：高考命题以考查函数的极值、最值的概念，求函数的极值、最值为重点内容，常常需要对参数分类讨论，是每年的必考内容，三种题型都可能出现，题目难度较大． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P62] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个． 答案　A 2．连续函数f(x)在[a，b]上有最大值是有极大值的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为函数的最值是整体概念，而函数的极值是局部概念，这两者之间没有必然关系，所以连续函数f(x)在[a，b]上有最大值是有极大值的既不充分也不必要条件，故选D. 答案　D 3．设函数f(x)＝xex，则(　　) A．1为f(x)的极大值点 B．1为f(x)的极小值点 C．－1为f(x)的极大值点 D．－1为f(x)的极小值点 解析　f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，则x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1时，f′(x)＞0，所以－1为f(x)的极小值点． 答案　D 4．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B. 答案　B 5．已知函数f(x)＝，则f(x)的极大值为________． 解析　函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，可得x＝e，列表如下， x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f(x)的极大值为f(e)＝. 答案　 [对应学生用书P63] 考点一　利用导数求解函数极值问题　多维探究　发散思维 角度1　根据函数图象判断极值 (多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的是(　　) A．f(x)在[－2，－1]上单调递增 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在上单调递增，在上单调递减 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 [解析]　由题图知，当x∈[－2，－1]时，f′(x)≤0恒成立，即f(x) 在[－2，－1] 上单调递减，A项错误；又当x∈时，f′(x)>0恒成立，即f(x) 在上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，B项正确；当x∈时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在上单调递减，x＝3不是f(x)的极值点，C项正确，D项错误．故选BC. [答案]　BC 由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 角度2　求已知函数的极值 已知函数f(x)＝aex. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝－1时，求函数g(x)＝f(x)＋x2－4x的极值． [解析]　(1)由题得f′(x)＝aex(x－2)， 若a>0，由f′(x)<0，得x<2；由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，单调递增区间为(2，＋∞). 若a<0，由f′(x)<0，得x>2；由f′(x)>0，得x<2，所以f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，2). (2)当a＝－1时，g(x)＝f(x)＋x2－4x＝－ex(x－3)＋x2－4x， g′(x)＝－ex(x－2)＋2x－4＝－(x－2) (ex－2). 由g′(x)＝0，得x＝2或x＝ln 2. 当x 变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表： x ln 2 (ln 2，2) 2 (2，＋∞) g′(x) － 0 ＋ 0 － g(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以g(x)极小值＝g(ln 2)＝(ln 2)2－6ln 2＋6，g(x)极大值＝g(2)＝e2－4. 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)检查在方程的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 角度3　已知极值(点)求参数 (2025·八省联考)已知函数f(x)＝a ln x＋－x. (1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程； (2)若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围． [解析]　(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝ln x－－x，则f′(x)＝＋－1， 设切点为(x0，f(x0))，则f′(x0)＝2，则＋－1＝2，则3x－x0－2＝0，则x0＝1或x0＝－(舍)，又f(1)＝－3，故切线方程为y＝2(x－1)－3， 即y＝2x－5. (2)由f′(x)＝－－1，又f′(1)＝0， 则a－b－1＝0，则a＝b＋1， 则f′(x)＝－－1＝. ①若b>1，令f′(x)>0，则1<x<b；令f′(x)<0，则x>b或0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，(1，b)上单调递增，(b，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极小值，符合题意； ②若b＝1，则f′(x)＝－≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极小值； ③若0<b<1，令f′(x)>0，则b<x<1；令f′(x)<0，则0<x<b或x>1，所以f(x)在(0，b)上单调递减，(b，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极大值，与题意不符； ④若b≤0，令f′(x)>0，则0<x<1；令f′(x)<0，则x>1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是极大值，与题意不符； 综上可得，b的取值范围为(1，＋∞). 1．已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 2．已知极值点的个数求参数范围 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，可转化为y＝f′(x)在(a，b)内有变号零点，若y＝f′(x)易求其零点x0，则a<x0<b；若y＝f′(x)不易求零点，则转化为函数f′(x)在(a，b)内有变号零点问题，利用函数与方程思想求解． 1．若函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值，则实数a的取值范围是________． 解析　∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)， ∴f′(x)＝＋x－a， ∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x＞0)有极值， ∴y＝f′(x)有变号零点． 令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x. 设g(x)＝＋x，则g(x)在(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2， ∴a＞2，即实数a的取值范围是(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解析　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 则当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 ln 2－1 单调递减 故f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)f′(x)＝－a＝(x＞0). 当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立， 则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a＞0时，若x∈，则f′(x)＞0， 若x∈，则f′(x)＜0， 故函数f(x)在x＝处有极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点； 当a＞0时，函数f(x)有一个极大值点，即x＝. 考点二　利用导数求函数的最值　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是________，最小值是________； (2)(2025·苏州模拟)若函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为________． [解析]　(1)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (2)由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上有最大值，则即－2≤a＜1. [答案]　(1)π　0　(2)[－2，1) 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法 (1)若所给的问题中不含有参数，则只需求f′(x)，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的问题中含有参数，则需求f′(x)，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 1．函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为(　　) A．－ B．－1 C． D．1 解析　f′(x)＝，令f′(x)＞0，解得x＞3，令f′(x)＜0，解得2≤x＜3，故f(x)在[2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(3)＝. 答案　C 2．已知函数f(x)＝x2－ln x在区间(其中a＞0)上存在最小值，则实数a的取值范围为________． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为f(x)在区间(其中 a＞0)上存在最小值，所以解得＜a＜1. 答案　 考点三　生活中的优化问题　重难考点　师生共研 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为R米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． [解析]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). 由题意得r＞0，又由h＞0可得r＜5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). (2)因为V(r)＝(300r－4r3)， 所以V′(r)＝(300－12r2). 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去). 当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数； 当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5米，h＝8米时，该蓄水池的体积最大． 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 [提醒]　在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解． 高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t＜10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t). (1)求P(t)的表达式； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益(单位：元)Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？最大为多少？ 解析　(1)当2≤t＜10时，减少的人数与(10－t)2成正比，设比例系数为k， 所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t＜10， 当t＝5时，P(5)＝950， 即1200－k(10－5)2＝950， 解得k＝10， 所以P(t)＝ (2)由题意可得 Q(t)＝ 所以＝ 令H(t)＝，当2≤t＜10时，H′(t)＝－4t＋＝， 令H′(t)＝0，得t＝8. 当2≤t＜8时，H′(t)＞0， 当8＜t＜10时，H′(t)＜0， 所以H(t)的最大值为H(8)＝316. 当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋＜0， 所以H(t)的最大值为H(10)＝295.2， 因为295.2＜316，所以当t＝8时，单位时间的净收益最大，为316元． 综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间的净收益最大，为316元． 学科网（北京）股份有限公司 $$