3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 课标要求 考情分析 1．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． ◎考点考法：高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容，考查形式以选择题、填空题为主，属于中档题． ◎核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象． [对应学生用书P56] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)′＝－. (2)′＝－(f(x)≠0). 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．下列函数的求导正确的是(　　) A．(x-2)′＝－2x B．(x cos x)′＝cos x－x sin x C．(ln 10)′＝ D．(e2x)′＝2ex 解析　∵(x-2)′＝－2x-3，∴A错误；(x cos x)′＝cos x－x sin x，∴B正确；(ln 10)′＝0，∴C错误；(e2x)′＝2e2x，∴D错误．故选B. 答案　B 2．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析　过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直线lAB，由图可知，lA的斜率＞lAB的斜率＞lB的斜率， 即f′(2)＞＞f′(3)＞0， 所以0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选B. 答案　B 3．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　) A．－ cm/s B． cm/s C．－ cm/s D． cm/s 解析　h′(t)＝＝，所以h′(3)＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0＝________． 解析　f′(x)＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1. 答案　1 5．曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为________． 解析　因为(－1，a)在曲线y＝x3＋1上，所以a＝0.令f(x)＝x3＋1，则f′(x)＝3x2，f′(－1)＝3，即切线的斜率k＝3，所以所求切线的方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3. 答案　y＝3x＋3 [对应学生用书P57] 考点一　导数的运算　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝2x2－3x，则 ＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－3 解析　由题意有f′(x)＝4x－3，由导数定义知f′(1)＝ ， 所以 ＝4×1－3＝1.故选B. 答案　B 2．(多选)下列求导正确的是(　　) A．(e3x)′＝3e2x B．(2sin x－3)′＝2cos x C．′＝x D．(x sin x)′＝sin x＋x cos x 解析　对于A中，由(e3x)′＝3e3x，所以A错误；对于B中，由(2sin x－3)′＝(2sin x)′－3′＝2cos x，所以B正确；对于C中，由′＝＝，所以C错误；对于D中，由(x sin x)′＝sin x＋x cos x，所以D正确．故选BD. 答案　BD 3．设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________． 解析　由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1. 答案　1 4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f(1)＝________． 解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，则f′(2)＝－.∴f(1)＝1＋3×1×＋0＝－. 答案　－ 考点二　导数的几何意义　多维探究　发散思维 角度1　求切线方程 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． (2)(2022·新高考全国卷Ⅱ)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． [解析]　 (1)f′(x)＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A． (2)当x>0时，切点(x1，ln x1)(x1>0)处的切线为y－ln x1＝(x－x1).若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，切点(x2，ln (－x2))(x2<0)处的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. [答案]　(1)A　(2)y＝　y＝－ 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0). (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 角度2　求参数的值(范围) (1)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是(　　) A．e B．e2 C． D． (2)(2022·新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． [解析]　(1)设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0)， 因为y＝ln x，所以y′＝， 所以切线斜率＝， 所以曲线y＝ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 又y0＝ln x0，所以切线方程为y＝·x－1＋ln x0， 又切线方程为y＝kx＋1， 所以解得 (2)因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). [答案]　(1)D　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 解析　设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1，3)或(－1，3). 答案　C 2．过点(0，－1)作曲线f()＝ln x(x＞0)的切线，则切点坐标为________． 解析　由题意得f(x)＝ln x2＝2ln x，则f′(x)＝，设切点坐标为(x0，2ln x0)，显然(0，－1)不在曲线f(x)上，则＝，解得x0＝，则切点坐标为(，1). 答案　(，1) 考点三　两曲线的公切线　重难考点　师生共研 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． (2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________． [解析]　(1)令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln ＋a，所以a＝ln 2. (2)设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝，f′(x)＝ex， 所以f′(x1)＝，所以切点为(x1，)，切线斜率k＝， 所以切线方程为y－＝ (x－x1)， 即y＝·x－x1＋.① 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， 所以y2＝ln x2＋2，又g′(x)＝，所以g′(x2)＝， 所以切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝， 所以切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，② 由题意知，①与②相同， 把③代入④有－x1＋＝－x1＋1， 即(1－x1)(－1)＝0， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1. 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. 答案　(1)ln 2　(2)y＝ex或y＝x＋1 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 1．已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex，则直线l的斜率k＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋(1－m)em－1， 对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝， 则直线l的斜率k＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有2条． 答案　C 2．若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝________． 解析　f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2. 设公共切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2， f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0. 根据题意，有解得 答案　－3 学科网（北京）股份有限公司 $$