2.10 函数模型的应用-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．10　函数模型的应用 课标要求 考情分析 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． ◎考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现． ◎核心素养：直观想象、数学运算、数学建模． [对应学生用书P49] 幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 解析　y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A、C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 答案　D 2．在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示： x 0.50 1.09 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D. 答案　D 3．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析　在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象(图略)，由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C. 答案　C 4．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 解析　因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的日利润最大时，当日售价为150元． 答案　150 5．学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留________s(结果保留两位小数).(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系式h＝v0t－gt2，其中g＝9.8 m/s2，≈25.593) 解析　由题意知，h＝12t－×9.8t2， 令h＝2，可得12t－×9.8t2＝2，即49t2－120t＋20＝0，所以t1＋t2＝，t1t2＝，所以＝＝≈2.09. 所以排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2.09 s. 答案　2.09 [对应学生用书P50] 考点一　用函数图象刻画变化过程　基础考点　自练自悟 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　) 解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确． 答案　A 2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 解析　水匀速流出，所以鱼缸水深h先降很快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快． 答案　B 3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 答案　D 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 考点二　已知函数模型求解实际问题　重难考点　师生共研 (1)(多选)(2025·蚌埠检测)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．t2＝20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6 (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [解析]　(1)由题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e-0.05t， 当θ＝30，则30＝10＋(θ1－10)，即＝，－0.05t1＝ln ，则t1＝20ln ， 其是关于θ1的单调递增函数． 当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28， 当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈30， 则28≤t1≤30，故B正确； 当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误； 当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误，故选BC. (2)由题意可知∈[60，90]，∈[50，60]，＝40， 对于选项A：可得－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ， 因为≥，则－＝20×lg ≥0， 即lg ≥0， 所以≥1，且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ， 因为－＝－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥， 所以≥，且p2，p3>0，可得p2≥p3， 当且仅当＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为＝20×lg ＝40，即lg ＝2， 可得＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：－＝20×lg ， 且－≤90－50＝40，则20×lg ≤40， 即lg ≤2，可得≤100，且p1，p2>0， 所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. [答案]　(1)BC　(2)ACD 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1．(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB 解析　设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2， 由题意可得f(x1)＝10×lg ＝140， 解得x1＝102， 因为＝＝108，所以x2＝10-6， 所以f＝10×lg ＝60， 所以一般说话时声音的等级约为60 dB.故选D. 答案　D 2．(2024·包头三模)冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q＝Q0·e-0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式Q＝Q0·e-0.002 5t推算，经过t0年臭氧量还保留初始量的四分之一，则t0的值约为(ln 2≈0.693)(　　) A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 解析　由题意知，Q＝Q0·＝Q0， 则＝，解得t0＝－400ln ＝－400(－2ln 2)≈554(年).故选D. 答案　D 考点三　构建函数模型解决实际问题　多维探究　发散思维 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元． 依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9， 即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立， 即当x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即： 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2024年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550-x·m D．y＝(1－0.0550-x)·m (2)(2025·青海海西模拟)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭(除燃料外)的质量m的函数关系是v＝2000ln .按照这个规律，当1000M＝8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M＝4m时，火箭的最大速度为v2.则v1－v2≈(参考数据：ln ≈0.004)(　　) A．8.0 km/s B．8.4 km/s C．8.8 km/s D．9.0 km/s [解析]　(1)设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%).所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m·(95%)＝0.95·m.故选A． (2)由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是v＝2000ln ，当1000M＝8m时，有＝， 所以v1＝2000ln ＝2000ln ； 当1000M＝4m时，有＝， 所以v2＝2000ln ＝2000ln ， 可得v1－v2＝2000ln ＝2000ln ≈2000×0.004＝8(km/s).故选A． [答案]　(1)A　(2)A 指数(对数)函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 1．运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元．则这次行车的总费用的最低值是________元． 解析　行车所用时间t＝ h，根据汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为y＝×6×＋＝＋(50≤x≤100). y＝＋≥2·＝600，当且仅当＝，即x＝70时，等号成立． 所以当x＝70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元． 答案　600 2．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为为酒后驾车，80 mg/100 mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100 mg/100 mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg 5≈0.7，lg 7≈0.85) 解析　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1－30%)x＜20，所以0.7x＜0.2. 又y＝0.7x为减函数， 所以x＞log0.70.2＝＝＝＝≈≈4.7， 所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车． 答案　4.7 学科网（北京）股份有限公司 $$