2.9 函数的零点与方程的解-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．9　函数的零点与方程的解 课标要求 考情分析 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解二分法求方程的近似解． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数及其图象为载体，考查函数零点是否存在、存在的区间及个数，利用零点的存在情况求参数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． [对应学生用书P46] 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析　根据二分法的概念可知选项A不能用二分法求零点． 答案　A 2．函数f(x)＝ln x－的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 解析　因为函数f(x)＝ln x－的图象在定义域(0，＋∞)内是一条连续不断的曲线，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(e)＝ln e－＝1－＞0，所以必存在x0∈(2，e)，使得f(x0)＝0.所以函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(2，e)，故选C. 答案　C 3．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 解析　由或 解得x＝－2或x＝e，故f(x)有两个零点． 答案　B 4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个． 解析　依题意，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． 答案　3 5．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________． 解析　当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意．当a≠0时，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，则a＞1.若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，不符合题意，故实数a的取值范围为(1，＋∞). 答案　(1，＋∞) [对应学生用书P47] 考点一　函数零点所在区间的判定　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　方法一　函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 方法二　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B. 答案　B 2．(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－3＜0，f(2)＝e2－4＞0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内必存在零点． 答案　AD 3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 解析　对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象， 判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(2，3)，即n＝2. 答案　2 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断．适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．适用于容易画出函数图象的情形． 考点二　函数零点个数的判定　重难考点　师生共研 (1)(2025·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)(2025·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 [解析]　(1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)， 即函数f(x)是以2为周期的偶函数， 令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|， 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示． 由图象可知，两函数图象共有12个交点， 即函数g(x)共有12个零点． [答案]　(1)D　(2)C 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)零点存在定理：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． (3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 1．函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝的解， 即y＝|log2x|与y＝图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. 答案　C 2．函数f(x)＝·cos x的零点个数为________． 解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， 所以f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6； 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6，6]， 所以x的取值为－，－，，. 故f(x)共有6个零点． 答案　6 考点三　函数零点的应用　多维探究　发散思维 角度1　根据零点的个数求参数 (2024·北京西城区月考)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________． [解析]　①当λ＝2时，f(x)＝由f(x)<0得或解得2≤x<4或1<x<2.所以不等式的解集为(1，4). ②函数y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示． 结合图象可知，当λ≤1时，函数f(x)有1个零点；当1<λ≤3时，函数f(x)有2个零点；当3<λ≤4时函数f(x)有3个零点；当λ>4时函数f(x)有2个零点．所以当f(x)有2个零点时，λ的取值范围是(1，3]∪(4，＋∞). [答案]　(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞) 角度2　根据函数的零点范围求参数 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪(0，＋∞) C．∪(0，＋∞) D． [解析]　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上均单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D. [答案]　D 利用函数零点求参数(范围)的方法 1．函数f(x)＝2x＋x－5的零点x0∈(a－1，a)，a∈N*，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝2x＋x－5是连续增函数，f(2)＝4＋－5＝－＜0，f(3)＝8＋－5＝＞0，所以函数f(x)＝2x＋x－5的零点在(2，3)内，所以a＝3.故选C. 答案　C 2．(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是________． 解析　当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2； 当0<x<1时，f(x)＝ln (1－x)，f′(x)＝－<0，其在(0，1)上单调递减，且f′(0)＝－1. 作出f(x)的图象，如图，易知实数a的取值范围是[－1，2). 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$