2.7 对数与对数函数-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．7　对数与对数函数 课标要求 考情分析 1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． ◎考点考法：高考命题常以考查对数的运算性质为主，考查学生的运算能力；对数函数的单调性及应用是考查热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P38] 1．换底公式及其推论 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2) ＝logab. (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 3．如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．计算：2lg －lg 4＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg 5 解析　原式＝lg ()2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 答案　B 2．如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是(　　) A．0＜c＜b＜1＜a B．0＜b＜c＜1＜a C．1＜b＜c＜a D．1＜c＜b＜a 解析　作直线y＝1(图略)，则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数，可得0＜c＜b＜1＜a. 答案　A 3．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 解析　因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2<π<，所以c>b>1.又a＝log32<1，所以a<b<c.故选A． 答案　A 4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2). 答案　(2，2) 5．函数f(x)＝的定义域为________． 解析　要使函数f(x)＝有意义，只需即解得x≥2，所以函数f(x)的定义域为[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) [对应学生用书P39] 考点一　对数的运算　基础考点　自练自悟 1．已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25. 又b＝log83＝＝log23， 所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4， 所以，故选C. 答案　C 2．若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　) A．－1 B． C． D．1 解析　由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510， ∴＝lg 2，＝lg 5， ∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 答案　D 3．计算：＝________． 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝1. 答案　1 4．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 解析　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝26＝64. 答案　64 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍数化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 考点二　对数函数的图象及应用　重难考点　师生共研 (1)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． [解析]　(1)当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B、D错误；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，A正确． (2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. [答案]　(1)A　(2) 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象可能是(　　) 解析　∵lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)， ∴ab＝1，∴a＝， ∴g(x)＝logx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝logx互为反函数， ∴函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性． 答案　B 2．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 解析　∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，由图知，在区间[a2，b]中，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2， ∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4. 答案　4 考点三　对数函数的性质及应用　多维探究　发散思维 角度1　比较对数值的大小 (1)已知实数a＝log23，b＝log，c＝log3，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a (2)已知0＜＜a＜1，则logba，logab，loga，－1，1，0的大小关系是________．(用“＜”连接) [解析]　(1)因为a＝log23＞1，b＝log＝log32∈(0，1)，c＝log3＝－log32＜0， 所以a＞b＞c. (2)∵0＜＜a＜1，∴0＜a＜1，b＞1，∴loga＞logaa＝1，－1＝logb＜logba＜logb1＝0， 即loga＞1，－1＜logba＜0，∴logab＜－1， ∴logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga. [答案]　(1)A　(2)logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga 比较对数式大小的常见类型及解题方法 角度2　解对数方程或不等式 (1)若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C． D．(0，1)∪(1，＋∞) (2)方程lg (x2－x－2)＝lg (6－x－x2)的解为________． [解析]　(1)由题意得a＞0且a≠1，又a2＋1＞2a，loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，所以＜a＜1.故a的取值范围是. (2)由题意及对数函数的性质，得x2－x－2＝6－x－x2，解得x＝±2.又x2－x－2＞0且6－x－x2＞0，解得x＝－2. [答案]　(1)C　(2)x＝－2 解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 角度3　对数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． [解析]　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3， 即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. 对数函数性质的应用 利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 1．设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. 答案　A 2．设函数f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B．是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， g(x)在(－∞，－3)和(0，3)上单调递减； 在(－3，0)和(3，＋∞)上单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间． 由f(－x)＝ln |(－x)2－9|＝ln |x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数． 答案　A 3．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析　令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－， 欲使函数f(x)＝loga有最小值， 则有解得1＜a＜， 即实数a的取值范围为(1，). 答案　(1，) 学科网（北京）股份有限公司 $$