2.6 指数与指数函数-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．6　指数与指数函数 课标要求 考情分析 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点． ◎考点考法：高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P35] 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线． 2．作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(0，1)，(1，a). 3．当x＞0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大． 1．化简(x＜0，y＜0)＝(　　) A．2x2y B．－2x2y C．2xy2 D．－2xy2 解析　因为x＜0，y＜0，所以＝(16x8y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y. 答案　B 2．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 解析　依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.故选C. 答案　C 3．(多选)设a>0，m，n是正整数，且n>1，则下列各式正确的是(　　) A．aa＝a B．(a)4＝a C．a＝ D．a＝ 答案　BCD 4．函数y＝ax-1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析　在函数y＝ax-1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax-1－1的图象恒过点(1，0). 答案　(1，0) 5．不等式＞1的解集为________． 解析　由＞1＝，可得x＜0，故解集为(－∞，0). 答案　(－∞，0) [对应学生用书P36] 考点一　指数幂的运算　基础考点　自练自悟 1．化简a·＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析　因为有意义，所以a<0，所以a＝－，所以a·＝－×＝－＝－.故选B. 答案　B 2．已知3a＋2b＝1，则＝________． 解析　因为3a＋2b＝1，所以a＋b＝， 所以原式 答案　 3．化简与求值． (1)8×100××； (2) ÷ (a＞0). 解析　(1)原式＝(23)×(102)×(2-2)-3×＝22×10-1×26×＝. (2)原式＝(aa)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1. 指数幂的运算顺序与原则 考点二　指数函数的图象及应用　一题多变　母题探究 (1)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有(　　) A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0 (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为________． [解析]　(1)如图所示，从图象上看出其是一个减函数，则0＜a＜1； 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即a0＋b－1＜0，可得b＜0，所以0＜a＜1且b＜0. (2)作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0，1). [答案]　(1)A　(2)(0，1) 1．(变条件)将本例(2)改为：若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b 没有公共点，则实数b的取值范围是________． 解析　作出曲线|y|＝2x＋1，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1. 答案　[－1，1] 2．(变条件、变结论)将本例(2)改为：若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为________． 解析　因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即实数k的取值范围为(－∞，0]. 答案　(－∞，0] 指数函数的图象及其应用要点 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断． (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象． (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 考点三　指数函数的性质及应用　多维探究　发散思维 角度1　比较指数式的大小 (1)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 [解析]　(1)a＝1.30.6>1.30＝1，b＝＝，c＝， 因为指数函数y＝是减函数， 所以<<＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a. (2)因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. [答案]　(1)D　(2)D 比较指数式大小的方法 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则方程f(x)＝的解是x＝________． (2)不等式2x2＋1≤的解集为________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝＋a为奇函数且定义域为R，故f(0)＝＋a＝0，解得a＝－，经检验，a＝－符合题意，故f(x)＝，即－＝，解得x＝－1. (2)∵＝(2-2)x-2＝2-2x+4，∴2x2＋1≤2-2x+4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故不等式的解集为[－3，1]. [答案]　(1)－1　(2)[－3，1] 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据：①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x).②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． 角度3　指数型函数性质的综合应用 已知函数. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． [解析]　(1)当a＝－1时，， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]. (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 指数型函数问题的求解策略 对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a＞1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0＜a＜1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间． 1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析　y＝0.4x为减函数，∴0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，又20.2＞1，即a＞b＞c. 答案　A 2．已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2. 答案　D 3．已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)f(x)＝×2x＋， 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以×＋2x＝－， 所以＝0，即＋1＝0， 解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x，x∈[1，2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]， 令t＝2x，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增，所以m≥4＋＝， 即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$