2.4 函数性质的综合应用-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．4　函数性质的综合应用 课标要求 考情分析 　　会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． ◎考点考法：函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性多交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题为主，为中等偏上难度． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理． [对应学生用书P27] 考点一　函数的单调性与奇偶性的综合应用　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－3)＜2的解集是(　　) A．(1，2) B． C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．∪ [解析]　显然f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝＝＝4－单调递增．又f(1)＝2，所以f(2x－3)＜2可化为f(2x－3)＜f(1)，可得|2x－3|＜1，解得1＜x＜2.故选A． [答案]　A 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2(或x1＞x2)求解． 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析　由题意，知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)＞g(－log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.故选C. 答案　C 考点二　函数的奇偶性与周期性的综合应用　重难考点　师生共研 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)＝2，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2023)＋f(2024)＝(　　) A．4 B．0 C．－2 D．－4 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(6)＜f(－7)＜f B．f(6)＜f＜f(－7) C．f(－7)＜f＜f(6) D．f＜f(－7)＜f(6) [解析]　(1)因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2023)＋f(2024)＝f(3)＋f(0)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选C. (2)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f＝f＝－f＝f，f(－7)＝f(1)，又当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，∴f(0)＜f＜f(1)，即f(6)＜f＜f(－7). [答案]　(1)C　(2)B 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期． (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化． (3)代入已知的解析式求解即得要求的函数值． (多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4) 解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2).∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2).∴f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∵f(－x－1)＝f(x－1)，∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数． 答案　CD 考点三　函数的对称性与周期性的综合应用　重难考点　师生共研 (多选)设函数f(x)的定义域为R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b.若f(0)＋f(3)＝－1，则(　　) A．b＝－2 B．f(2024)＝0 C．f(x)为偶函数 D．f(x)的图象关于点对称 [解析]　由f(2x＋1)为奇函数，得f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，∴f(x)的图象关于点(1，0)对称，D错误；由f(x＋2)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)的周期为4×(2－1)＝4，于是f(－x)＝f(x＋4)＝f(x)，C正确；在f(－x＋1)＝－f(x＋1)中，令x＝0，得f(1)＝0，由x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b，可得f(0)＝1＋b，f(3)＝f(1)＝a＋b＝0，又f(0)＋f(3)＝－1，∴f(0)＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝－1，B错误．综上，故选AC. [答案]　AC 综合应用对称性与周期性解题的技巧 函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x都有f(x＋4)＝－f(x)，若函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(－1)＝2，则f(2025)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，可知函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，则f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2. 答案　B 考点四　函数的对称性、周期性与单调性的综合应用　重难考点　师生共研 (1)(多选)已知f(x)的定义域为R，函数f(x)的图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(100)＝9 (2)(2025·福建漳州质量检测)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f是奇函数，且f(x)＋g＝－4，y＝g(x)的图象关于x＝1对称，f(4)＝2，则f＋g＝(　　) A．4 B．8 C．－4 D．－6 [解析]　(1)因为f(x)的图象关于直线x＝－3对称，所以f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，所以f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故选项A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，所以f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故选项B不正确；因为f(x)的图象关于直线x＝－3对称且T＝6，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称，故选项C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故选项D正确．故选ACD. (2)因为y＝g(x)的图象关于x＝1对称，所以g(3－x)＝g(x－1).因为f(x)＋g(3－x)＝－4①，所以f(4－x)＋g(3－(4－x))＝－4，即f(4－x)＋g(x－1)＝－4②，①－②得，f(x)＝f(4－x)，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称．令h(x)＝f(2x＋1)，则h(x)是奇函数，所以h＋h＝f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(4－x)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)＋g(x－1)＝－4，所以g(x)＝－4－f(x＋1).因为f(x)是以4为周期的周期函数，所以g(x)也是以4为周期的周期函数，取x＝0，f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.因为f(4)＝2，所以f(0)＝2，所以f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝－f(1)＝0.取x＝3，所以f(3)＋g(0)＝－4，所以g(0)＝－4，所以f＋g＝f(2)＋g(0)＝－2－4＝－6，故选D. [答案]　(1)ACD　(2)D 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式． 已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 解析　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)， ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$