2.3 函数的奇偶性、周期性-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．3　函数的奇偶性、周期性 课标要求 考情分析 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用．函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点，常以选择题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象． [对应学生用书P24] 1．函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 1．(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ C．y＝|ln x| D．y＝2|x| 解析　A选项，f(x)为奇函数，C选项，f(x)的定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，为非奇非偶函数．故选BD. 答案　BD 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析　因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选B. 答案　B 3．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 解析　偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，得f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).对照选项，A正确． 答案　A 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________． 解析　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝. 答案　 5．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________． 解析　由题意知f(10)＝f(3×3＋1)＝f(1)，又f(－1)＝2f(10)＋3，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝2f(1)＋3，所以－3f(1)＝3，即f(1)＝－1.所以f(2026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝－1. 答案　－1 [对应学生用书P25] 考点一　函数奇偶性的判断　重难考点　师生共研 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ [解析]　(1)由 得－2＜x＜2， 即函数f(x)的定义域是{x|－2＜x＜2}，关于原点对称． 因此f(x)＝＝lg (4－x2)， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数． (2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)方法一(定义法)　当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 方法二(图象法)　如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 判定函数奇偶性的两种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln |1＋x| 解析　对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝tan (－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数． 答案　AC 2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析　由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2， 故f(0)＝－2. 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2， 故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]. 故f(x)＋2为奇函数． 答案　奇 考点二　函数的奇偶性的应用　多维探究　发散思维 角度1　利用奇偶性求值(解析式) (1)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝(　　) A．－＋2 B．1 C．＋2 D．3 (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2－x＋1，则函数f(x)的解析式为________________． [解析]　(1)∵函数f(x)是偶函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，∴f＝f＝2sin ＝.又∵当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x， ∴f(4)＝log24＝2，∴f＋f(4)＝＋2. (2)当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋x＋1＝x2＋x＋1，因为f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋x＋1， 所以f(x)＝－x2－x－1，综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝ [答案]　(1)C　(2)f(x)＝ 角度2　利用奇偶性解不等式 若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(2，5) B．(－∞，－1)∪(0，5) C．(－1，0)∪(2，5) D．(－1，0)∪(5，＋∞) [解析]　因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0， 所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)<0， 当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0， 所以由xf(x－2)<0， 可得或 解得－1<x<0或2<x<5， 即x的取值范围为(－1，0)∪(2，5). [答案]　C 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解 析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 求函 数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参 数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 解不 等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解 1．已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝________． 解析　因为f(x)＋g(x)＝2·3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2·3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2·3－x，则两式相加得，2f(x)＝2·3x＋2·3－x，所以f(x)＝3x＋3－x. 答案　3x＋3－x 3．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是________． 解析　f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1.又f(x)是增函数，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3. 答案　[－1，3] 考点三　函数的周期性　重难考点　师生共研 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________． [解析]　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2025＝6×337＋3，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝337×1＋1＋2－1＝339. [答案]　339 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2027)＝0 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 解析　f(2027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误．故选AB. 答案　AB 2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m＝________． 解析　因为f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝ 所以f＝f＝＋2×＋m＝－＋m， f＝＝，所以＝－＋m⇒m＝1. 答案　1 学科网（北京）股份有限公司 $$