2.2 函数的单调性与最值-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．2　函数的单调性与最值 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值． 2．理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查对函数单调性的判断，利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值．函数单调性的应用是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． [对应学生用书P21] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 1．下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝2x 解析　y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误． 答案　A 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) A．[－1，2]∪[4，5] B．[－1，2]和[4，5] C．[－3，－1]∪[2，4] D．[－3，－1]和[2，4] 解析　由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B. 答案　B 3．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　) A．2 B． C． D．－ 解析　因为y＝在[2，3]上单调递减，所以ymin＝＝.故选B. 答案　B 4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________． 解析　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由题意得1－a≥4，解得a≤－3. 答案　(－∞，－3] 5．函数f(x)＝的单调递增区间是________． 解析　由题意可知x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 设y＝，u＝x2－2x，二次函数u＝x2－2x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)，所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) [对应学生用书P22] 考点一　函数的单调性　多维探究　发散思维 角度1　求具体函数的单调区间 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) (2)函数f(x)＝|x－2|x的单调递增区间为________． [解析]　(1)∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． (2)f(x)＝作出f(x)的大致图象，如图所示，由图象知f(x)的单调递增区间是(－∞，1)和(2，＋∞). [答案]　(1)ACD　(2)(－∞，1)和(2，＋∞) 确定函数的单调区间的方法 角度2　判断或证明函数的单调性 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [解析]　设－1<x1<x2<1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 定义法证明或判断函数单调性的步骤 [提醒]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 1．下列函数在区间(－1，1)上为减函数的是(　　) A．y＝2－x B．y＝|x| C．y＝ln (x＋1) D．y＝cos x 解析　由于y＝2－x＝在区间(－1，1)上为减函数，故A正确； y＝|x|在区间(－1，0)上单调递减，在区间[0，1)上单调递增，故B错误； y＝ln (x＋1)在区间(－1，1)上单调递增，故C错误； 由余弦函数的图象和性质，可得y＝cos x在区间(－1，0)上单调递增，在区间[0，1)上单调递减，故D错误．故选A． 答案　A 2．函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递增区间为________． 解析　g(x)＝x·|x－1|＋1＝ 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为和[1，＋∞). 答案　和[1，＋∞) 考点二　函数单调性的应用　多维探究　发散思维 角度1　比较函数值的大小 若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有＜0，则(　　) A．f(3)＜f(1)＜f(－2) B．f(3)＜f(－2)＜f(1) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(1)＜f(－2)＜f(3) [解析]　∵对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有＜0，∴当x≥0时，函数f(x)单调递减，∴f(3)＜f(2)＜f(1)，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，f(x)＝f(－x)， ∴f(3)＜f(－2)＜f(1). [答案]　B 比较函数值的大小的方法 利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小． 角度2　解函数不等式(一题多变) 已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，总有>0，则f(x＋1)>f(2x)的解集是________． [解析]　依题意不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以，函数f(x)是定义在R上的增函数，因为f(x＋1)>f(2x)，则x＋1>2x，解得x<1.因此，f(x＋1)>f(2x)的解集为(－∞，1). [答案]　(－∞，1) (变条件)本例中的“定义域为R”变为“定义域为[－2，2]”，其余不变，则f(x＋1)>f(2x)的解集是________． 解析　对任意的x1，x2∈[－2，2]且x1≠x2，总有>0，不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以，函数f(x) 是定义在[－2，2]上的增函数，因为f(x＋1)>f(2x)，则解得－1≤x<1.因此，不等式的解集为[－1，1). 答案　[－1，1) 利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将函数不等式转化为f(x1)＞f(x2)的形式． (2)确定函数f(x)的单调性． (3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式，从而得解． 角度3　求参数的范围(值) 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0，1) D．(0，1] [解析]　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0＜a≤， 所以实数a的取值范围为. [答案]　B 利用函数的单调性求参数的方法 (1)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解． (2)对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 1．已知函数f(x)在R上是减函数，a，b∈R且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 解析　因为f(x) 是R上的减函数，a＋b<0，所以a<－b，b<－a，所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b).又f(a)＋f(b)与0无法比较大小．故选D. 答案　D 2．已知函数f(x)＝＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析　由函数f(x)＝＋1，可得函数f(x) 的单调递增区间为[a，＋∞)，因为函数f(x) 在[2，＋∞)上单调递增，可得[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，解得a≤2，所以实数a 的取值范围为(－∞，2]. 答案　(－∞，2] 3．已知函数f(x)＝则不等式f(t2－t)≥f(2t－2)的解集是________． 解析　当0<x<1时，f(x)＝＋1单调递减，且f(x)>2； 当x≥1时，f(x)＝2－ln x单调递减，且f(x)≤f(1)＝2，所以f(x) 在(0，＋∞)上单调递减，因此由f(t2－t)≥f(2t－2)可得即解得故不等式的解集是(1，2]. 答案　(1，2] 考点三　函数的最值　重难考点　师生共研 (1)(多选)(2025·河南南阳六校联考)已知函数f(x)＝的最小值为f(1)，则a的可能取值是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 (2)函数f(x)＝＋的最小值为________． (3)函数f(x)＝2x－的值域为________． [解析]　(1)函数y＝x＋－3a在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故当x>1时，函数f(x)min＝f(3)＝6－3a.函数y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，其图象的对称轴为直线x＝a，当a≥1，x≤1时，f(x)min＝f(1)＝3－2a，要想函数的最小值为f(1)，只需f(3)≥f(1)⇒6－3a≥3－2a⇒a≤3，即1≤a≤3，显然选项A，B符合．当a<1，x≤1时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，显然f(x)的最小值不是f(1).综上所述，只有选项A，B符合条件，故选AB. (2)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， ∴f(x)＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当x＝1时，f(x)min＝. (3)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， ∴g(t)＝2(t2＋1)－t＝2＋(t≥0)， 其图象开口向上，对称轴t＝， 所以g(t)在上单调递减，在上单调递增， 从而当t＝时，g(t)取得最小值，即g(t)min＝， 所以函数f(x)的值域为. [答案]　(1)AB　(2)　(3) 1．求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 1．函数y＝1＋x－的值域为________． 解析　由1－2x≥0得x≤， 即函数y＝1＋x－的定义域为. 又易知函数y＝1＋x和y＝－都是增函数， 所以y＝1＋x－在上是增函数， 故y≤1＋－＝， 则函数y＝1＋x－的值域为. 答案　 2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝ 设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 解析　方法一(数形结合法) 在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分． 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 方法二(单调性法) 依题意，h(x)＝ 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数； 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 答案　1 学科网（北京）股份有限公司 $$